CHAOS9- 當今的研究
動態系統有許多種
有些很複雜
有些很簡單
讓我們觀察這個空間中的向量場
這個向量場，取決於參數a
我們從a=0.3開始
並觀察畫面中
大量起始點的未來
一段時間過後
它們都落在週期軌道上
沒有任何混沌現象
當然，這個系統具有SRB測度
因為久而久之，所有的點
都將果斷地繞行在一條封閉曲線上
現在我們慢慢改變a的值
你看，在a=0.335的時候
週期軌道分裂成兩圈
兩倍長的週期軌道
但依舊沒有混沌現象
接著，當a=0.380時
軌跡又分裂了一次，變成四倍長
接著事情的進展越來越快
當a=0.405時
系統變得既複雜又混沌
但令人驚訝的是
如果我們繼續
增大參數a的值
有時候，毫無預警地
混沌系統又變簡單了：
系統再次縮回成為
一條週期軌跡
該如何理解這樣的分岔？
混沌與非混沌
哪一種現象在自然界中
較常發生？
一點也不清楚
好幾個世紀以來
人們根本不曾想過
混沌可能存在
但如今，我們看到混沌現象比比皆是
對於每個參數值a
我們觀察吸引子在鉛直面上的痕跡
並用紅色表示
隨著參數的變動
我們會看到一個花邊圖形
稱之為分岔圖
很漂亮，但不容易理解！
這些是其它的動態系統
當然，數學家的目的
是找出永遠成立的內在規律
但通常
他們會先觀察一些例子
並希望
簡單例子上觀察到的現象
能夠被推廣到一般的狀況
重新回到
勞侖次、Sinai、Ruelle、和Bowen的想法
軌跡穿過小球的平均時間比例
將趨近於一個
與初始條件無關的極限值
我們是否有理由期望
這項結果總是對的？
如果可以，那真是太美好了！
可惜這不是真的，一如我們將看到
Bowen發現的一個
小小的例子
讓我們觀察這個平面上的向量場
上面有三個平衡位置
現在發出一道軌跡
一段時間過後
它將交互靠近於
左右兩端的平衡位置
當它接近平衡點時
它會減慢，並在附近
滯留一段時間
然後離開至另一點附近
在那裡滯留更長的時間
接著再回來
並且比上一次更接近平衡點
同時也滯留更加長的時間，以此類推
左邊有一個小綠圓盤
我們觀察軌跡在圓盤裡滯留的時間
軌跡在很長的一段時間內
都滯留於圓盤中
所以它在圓盤內度過的時間比例接近100%
然後離開一段更長、更長的時間
時間比例因此下降到接近0
然後又回升到100%，接著又下降至0，以此類推
你看，沒有任何收斂性
因此沒有SRB測度
那怎麼辦？
要放棄這個想法嗎？
要說勞侖次錯了嗎？
喔，不！
我們應該要瞭解到
剛才看到的例子，是非常特殊的
如果我們像這樣
稍微改變向量場
那麼新的向量場就不再有任何問題
新的軌線
在平面上運動
並將最終趨近於一道週期軌線
因此從統計上的觀點
所有行徑都是週期性的
它確實有個SRB測度
於是我們該問的
不是這些測度是否會出現在所有的動態系統中
而是它們是否會出現在
「幾乎所有」的動態系統中？
但這裡，我們還是得稍微
克制一下我們的熱情
我們觀察這個向量場
這裡有一道軌跡
就像之前一樣
軌跡積聚在一隻蝴蝶上，一切順利
如果初始條件
慢慢沿著藍軸移動
同樣的情況會繼續下去
軌線被同一個吸引子吸引
即使它需要一段預熱時間
而且我們可以驗證
統計數字始終如一
不過突然間，毫無預警地，驚喜發生！
軌跡掉頭換了一個積聚的地方
到另一個吸引子身上
與前一個吸引子毫無關連
我們注意到
空間似乎被分成兩個區域
如果從第一個區域出發
我們將積聚在第一隻蝴蝶上
若從第二個區域出發
則會到聚到另一隻身上
換言之，我們不能說
這個系統有個SRB測度
因為統計結果的極限取決於初始條件
但可以說它有兩個測度！
對於某些初始條件
統計數據遵循第一個測度
對另一些，則遵循第二個測度
1990年代
巴西數學家Jacob Palis
提出了一整套的問題
如果能夠解決它們
就能夠拓展我們對混沌整體的視界
其中一項
斷言我們剛剛遇到的情況
應該是典型的
在任何維度的空間裡
一個典型的向量場
應該只會具備有限多個吸引子
而一個典型的初始條件
應該會被其中一個吸引子吸引
每一個吸引子
都有相對應的SRB測度
來描述吸引子所吸引典型軌線的
漸近統計特徵
有一整群的數學家
此時此刻正活躍地解決這些猜想
有條不紊地
一環扣著一環
大格局的圖像似乎逐漸浮現出來
至於這樣的圖像，是否顯得過於樂觀？
未來會告訴我們！
今天，我們不再認為
決定論關乎的是
單個路徑的演變
而是關乎一個群體
整體的發展
軌跡對於初始條件的敏感性
似乎被某種統計上的穩定性所抵消
布馮，不是早在1783年
就已預見到這些？
請欣賞他所寫下的優美篇章
文句中展現出
紛繁與複雜與世界
以及一個需要透過整體去領會的世界
「世界運轉無止息
因為萬物都在時間的洪流中相遇
在廣袤無盡的空間中
以及物換星移的接軌瞬間
萬物混成冥和
不拘任何形體
不拘任何被賦予的形象
因此，萬事萬物或相近，或遠離
或合一，或分離
或相容，或互斥
或生，或滅
恆久不變的
只有交互作用的力
恣意橫行，卻靈巧而不自戕
為宇宙燃起生命氣息
讓生命舞台上，無時無刻上演著新的戲碼
寫下生生不息，永無止盡的詩篇」