CHAOS9- 当今的研究
动力系统有许多种
有些很复杂
有些很简单
让我们观察这个空间中的向量场
这个向量场，取决于参数a
我们从a=0.3开始
并观察画面中
大量起始点的未来
一段时间过后
它们都落在一条周期轨道上
没有任何混沌现象
当然，这个系统具有SRB测度
因为久而久之，所有的点
都必将绕行在同一条闭曲线上
现在我们慢慢改变a的值
你看，在a=0.335的时候
周期轨道分裂成两圈
两倍长的周期轨道
但依旧没有混沌现象
接着，当a=0.380时
轨迹又分裂了一次，变成四倍长
接着事情的进展越来越快
当a=0.405时
系统变得既复杂又混沌
但令人惊讶的是
如果我们继续
增大参数a的值
有时候，毫无预警地
混沌系统又变简单了：
系统再次缩回成为
一个周期轨迹。
该如何理解这样的分岔？
混沌与非混沌
哪一种现象在自然界中
较常发生？
一点儿也不清楚！
在过去好几个世纪里
人们根本不曾想过
混沌可能存在
但如今，混沌现象比比皆是。
对于每个参数值a
我们观察吸引子在垂直面上的痕迹
并将它用红色表示。
随着参数的变动
我们会看到一个花边图形
称之为分岔图
很漂亮，但不容易理解！
这些是一些其它的动力系统
当然，数学家的目的
是找出永远成立的内在规律
但通常
他们会先观察一些例子
并希望
简单例子上观察到的现象
能够被推广到一般的情况
重新回到
洛伦茨、Sinai、Ruelle、和Bowen的想法
轨迹穿过小球的平均时间比例
将趋近于一个
与初始条件无关的极限值
我们是否有理由期望
这项结果总是对的？
如果是这样，那真是太美好了！
可惜这不是真的，一如我们将看到
Bowen发现的
一个小小的例子
让我们观察这个平面上的向量场
上面有三个平衡位置
现在发出一道轨迹
一段时间过后
它将交替靠近于
左右两端的平衡位置
当它接近平衡点时
它会减慢，并在附近
滞留一段时间
然后离开至另一点附近
在那里滞留更长的时间
接着再回来
并且比上一次更接近平衡点
因此也滞留更加长的时间，以此类推
左边有一个小绿圆盘
我们观察轨迹在圆盘里滞留的时间
轨迹在很长的一段时间内
都滞留于圆盘中
所以它在盘内度过的时间比例接近100%
然后离开一段更长、更长的时间
时间比例因此下降到接近0
然后又回升到100%，接着又下降至0，以此类推
你看，没有任何收敛性
因此没有SRB测度
那怎么办？
要放弃这个想法吗？
要说洛伦茨错了吗？
喔，不！
我们应该要了解到
刚才看到的例子，是非常特殊的
如果我们像这样
稍微改变一点向量场
那么新的向量场就不再有任何问题
新的轨线
在平面上运动
并将最终趋近于一道周期轨线
因此从统计上的观点看
所有行径都是周期的
它确实有个SRB测度
于是我们该问的
不是这些测度是否会出现在所有的动力系统中
而是它们是否会出现在
「几乎所有」的动力系统中？
但这里，我们还是得
稍微克制一下我们的热情
现来观察一下这个向量场
这里有一道轨迹
就像之前一样
轨迹积聚在一只蝴蝶上，一切顺利
如果初始条件
慢慢沿着蓝轴移动
同样的情况会继续下去
轨线被同一个吸引子吸引
即使它需要一段预热时间
而且我们可以验证
统计数字始终如一
不过突然间，毫无预警地，意外发生！
轨迹掉头换了一个积聚的地方
到另一个吸引子身上
与前一个吸引子毫无关连
我们注意到
空间似乎被分成两个区域
如果从第一个区域出发
轨迹将积聚到第一只蝴蝶身上
若从第二个区域出发
则会聚集到另一只身上
换言之，我们不能说
这个系统有个SRB测度
因为统计结果的极限取决于初始条件
但可以说它有两个测度！
对于某些初始条件
统计数据遵循第一个测度
对另一些，则遵循第二个测度
1990年代
巴西数学家Jacob Palis
提出了一整套的问题
如果能够解决它们
就能拓展我们对混沌的整体视界。
其中一项
断言我们刚刚遇到的情况
应该是典型的：
在任何维度的空间里
一个典型的向量场
应该只会具备有限多个吸引子
而一个典型的初始条件
应该会被其中一个吸引子吸引
每一个吸引子
都有相对应的SRB测度
来描述吸引子所吸引典型轨线的
渐近统计特征。
有一整群的数学家
此时此刻正努力证实这些猜想。
他们有条不紊地
一环扣着一环地验证
大格局的图像似乎正在浮现出来
至于这个图像是否显得过于乐观了？
未来会告诉我们！
今天，我们不再认为
决定论关乎的是
单个路径的演变
而是关乎一个群体的
整体的发展
轨迹对于初始条件的敏感性
似乎被某种统计上的稳定性所抵消
布冯，不是早在1783年
就已预见到这些？
请欣赏他所写下的优美篇章
文句中展现出
一个纷繁与复杂的世界
以及一个需要透过整体去领会的世界
「世界运转无止息
因为万物都在时间的洪流中相遇
在广袤无尽的空间中
以及物换星移的接轨瞬间
万物混成冥和
不拘任何形体
不拘任何被赋予的形象
因此，万事万物或相近，或远离
或合一，或分离
或相容，或互斥
或生，或灭
恒久不变的
只有交互作用的力
恣意横行，却灵巧而不自戕
为宇宙燃起生命气息
让生命舞台上，无时无刻上演着新的戏码
写下生生不息，永无止尽的诗篇」