KAOS - 9. del Sodobne raziskave
Obstaja več vrst dinamike.
Nekatere so zapletene, druge ne.
To vektorsko polje v prostoru je odvisno od parametra a.
Začnimo z izbiro a = 0.3
in si oglejmo, kaj se zgodi
za večje število začetnih pogojev.
Sčasoma vsi pristanejo na periodični trajektoriji.
Tu ni kaosa.
V tem primeru SRB mera obstaja,
saj nazadnje vse točke sledijo sklenjeni krivulji.
Zdaj parameter počasi spremenimo.
Pri vrednosti a = 0.335 se periodična trajektorija razdeli.
Še vedno brez kaosa, a dvakrat daljša perioda.
Pri vrednosti a = 0.380 se trajektorija navije štirikrat.
Potem se proces pospeši.
Pri a = 0.405 postane vse skupaj zapleteno in kaotično.
Toda res presenetljivo je, da lahko ob večanju vrednosti a
kaotična dinamika nenadoma postane nepričakovano preprosta
in se vrne v periodično orbito.
Kako razumeti tovrstne bifurkacije?
Kakšno je običajno obnašanje v naravi?
Kaotično ali nekaotično?
To nam sploh ni jasno.
Dolga stoletja se nismo zavedali, da kaos sploh obstaja,
danes pa ga vidimo povsod.
Za vsako vrednost parametra a lahko označimo sled atraktorja
na ravnini z rdečo barvo.
Ko se parameter spreminja, dobljena slika spominja na čipke.
Imenujemo jo bifurkacijski diagram.
Lepo, a ne prav enostavno razumljivo.
Tukaj je še več dinamike.
Matematiki želijo dokazati rezultate, ki so vedno veljavni,
toda pogosto začno s študijem posebnih primerov.
Upajo, da bodo lahko odkritja iz preprostega primera
posplošili na vse različne možnosti.
Spomnimo se ideje Lorenza in pojma SRB mere.
Delež časa znotraj krogle konvergira k limiti,
ki ni odvisna od začetnih pogojev.
Ali je smiselno pričakovati, da to vselej velja?
To bi bilo prelepo...
A žal je odgovor ne,
kot pokaže preprosti primer, ki ga je odkril Bowen.
To vektorsko polje v ravnini ima tri ravnovesne položaje.
Trajektorija začne pot.
Čez nekaj časa se približa ravnovesnemu položaju,
nato potuje do naslednjega.
Ko se mu približa, se upočasni in dalj časa ostane v bližini.
Nato gre proti drugemu ravnovesju, kjer se zadrži še dlje.
Spet se vrne k prvemu ravnovesju, kjer se postanek spet podaljša
in tako dalje.
Tu je majhen zeleni disk.
Opazujmo čas prehoda diska.
Delež časa ko se trajektorija zadržuje v območju diska,
se približuje 100%.
Potem zapustimo disk za zelo dolgo časa.
Delež pade proti ničli, skoči nazaj proti 100%,
pa nazaj k ničli in tako dalje.
Konvergence v tem primeru ni, torej ni SRB mere!
Kaj lahko storimo?
Opustimo to idejo?
Se je morda Lorenz motil?
Pravzaprav ne!
Razumeti je potrebno, da je zadnji primer zelo poseben.
Če vektorsko polje le malenkost spremenimo,
novo polje te težave nima.
Nove trajektorije potujejo v ravnini in se sčasoma
približajo periodični trajektoriji.
Zato se statistično vse dogajanje obnaša periodično.
V tem primeru SRB mera obstaja.
Pravo vprašanje torej ni, ali obstaja za vsak dinamičen sistem
temveč, ali obstaja za skoraj vsakega.
Pri tem pa moramo zopet brzdati svoje navdušenje.
Oglejmo si tole vektorsko polje.
Tukaj je trajektorija.
Vse poteka lepo, trajektorija se nabira na metulju,
kot smo že videli.
Če začetni pogoj počasi prestavimo na modro os,
se vse smiselno nadaljuje: trajektorija se nabira
na istem atraktorju, četudi za to potrebuje nekaj več časa.
Zlahka lahko preverimo, da se statistika ni spremenila.
Toda nenadoma se trajektorije brez opozorila zberejo drugje,
na drugem atraktorju, ki s prvim nima zveze!
Zdi se, da je prostor razdeljen na dve območji.
Če se začne v prvem območju, se trajektorija nabere na enem,
v nasprotnem primeru pa na drugem atraktorju.
Povedano drugače, v tem primeru SRB mera ne obstaja,
saj je obnašanje dolgoročno odvisno od začetnega pogoja.
V bistvu imamo dve SRB meri!
Pri nekaterih začetnih pogojih statistika sledi prvi meri,
sicer pa sledi drugi!
Okoli leta 1990 je brazilski matematik Jacob Palis
določil seznam problemov,
katerih rešitev bi omogočila globalno vizijo kaosa.
Med njimi je trditev, da je naš zadnji primer tipičen.
V vseh dimenzijah bi moralo tipično vektorsko polje
zadoščati lastnosti, da ima le končno število atraktorjev.
Različni začetni pogoji bi ustrezali različnim atraktorjem.
Vsak atraktor pa bi moral imeti svojo SRB mero,
ki opisuje statistiko tipa trajektorij, ki jih privlači.
Cela vrsta matematikov danes resno proučuje te domneve
in jih delček za delčkom sistematično rešuje.
Zdi se, da dobivamo obris globalne slike.
Ali smo preveč optimistični?
To bo pokazal čas.
Determinizma zdaj ne razumemo več kot evolucijo ene trajektorije,
marveč kot skupno evolucijo celotne družine.
Občutljivost trajektorij na začetne pogoje nadomešča
nekakšna statistična stabilnost celotne družine.
Ali je to že leta 1783 predvidel Buffon,
ko je zapisal čudoviti odstavek o kompleksnem in kaotičnem svetu,
ki ga moramo razumeti globalno?
»Vse se zgodi, zakaj sčasoma se vse sreča,
in v prostem obsegu prostorov ter zveznem zaporedju gibanja
je vsa snov premešana, vsaka oblika dana,
vse figure izrisane;
zato vse prihaja ali odhaja, se združuje ali izmika,
se dopolnjuje ali si nasprotuje, nastane ali se uniči
s sorodnimi ali nasprotnimi silami, ki so edine konstante,
in med tehtanjem brez škode oživljajo vesolje
in ga spremenijo v gledališče z večno novimi prizori
in sproti porojenimi stvarmi.«