ХАОС Глава 9 — Современные исследования
Есть много видов динамических систем.
Некоторые устроены сложно, другие — нет.
Посмотрите на это векторное поле в пространстве, зависящее от параметра а.
Для начала положим a=0.3
и понаблюдаем за происходящим для большого количества разных начальных условий.
Через некоторое время все они ложатся на периодическую траекторию.
Никакого хаоса.
Конечно, здесь есть СРБ-мера,
поскольку всё в конечном счёте начинает вращаться вдоль замкнутой кривой.
Будем постепенно изменять параметр a.
Посмотрите, для a=0.335
периодическая траектория раздваивается.
По-прежнему нет хаоса, но периодическая траектория удлинилась вдвое.
Затем, для a=0.380
траектория оказывается учетверённой.
Затем всё ускоряется.
Для a=0.405 динамика уже сложная и хаотическая.
Но что удивительно,
если мы продолжим увеличивать параметр a,
иногда, без предупреждения, хаотичное движение становится простым:
всё снова попадает на периодическую орбиту.
Как понять эти бифуркации?
Какое поведение более распространено в природе?
Хаотическое? Не хаотическое?
Совершенно не ясно!
В течение столетий мы не подозревали, что хаос может существовать,
а сегодня мы видим его повсюду!
Для каждого значения а нарисуем красным цветом след аттрактора на плоскости.
При изменении параметра получается вот такое кружево,
которое называется бифуркационной диаграммой.
Красиво… Но непросто для понимания!
Вот ещё примеры различной динамики.
Конечно, математики всегда стараются установить общие результаты.
Но они часто начинают с изучения примеров.
Они надеются, что закономерность, замеченная на простом примере,
будет выполняться и в общем случае.
Вспомним идею Лоренца, Синая, Рюэлля, Боуэна: СРБ.
Доля времени, которую траектория проводит внутри шара,
стремится к пределу, не зависящему от начальных условий.
Разумно ли надеяться, что это может быть верно всегда?
Это было бы слишком хорошо!
Увы, но нет,
как мы увидим на маленьком примере, открытом Боуэном.
Посмотрите на это векторное поле на плоскости.
Вы видите три точки равновесия.
Движение начинается…
Через некоторое время траектория приближается к одной точке равновесия,
затем к другой.
Приближаясь к точке равновесия, она замедляется
и некоторое время остается в её окрестности.
Затем она направляется к другой точке равновесия, где остаётся ещё дольше.
Затем она возвращается, подходя ещё ближе к первой точке равновесия,
где задерживается ещё дольше, и так далее…
Возьмём этот зелёный круг и измерим долю времени, проведённую в нём.
В течение длинных промежутков времени траектория находится там,
и доля времени, проведённого внутри, приближается к 100%.
Затем она надолго покидает этот диск,
и доля времени приближается к нулю.
Затем снова к 100%, затем снова к нулю, и так далее.
Вы видите, предела не существует.
И нет никакой меры Синая — Рюэлля — Боуэна!
Что же нам делать?
Оставить эту идею?
Сказать, что Лоренц ошибался?
Ну уж нет!
Нужно понимать, что пример, на который мы натолкнулись, очень особенный.
Если мы совсем немного изменим векторное поле,
вот так,
то для нового поля проблем не будет.
Новые траектории путешествуют по плоскости
и в конце концов приближаются к периодической траектории,
так что с точки зрения статистики всё происходит периодически.
И теперь у нас есть мера Синая ­— Рюэлля — Боуэна.
Теперь вопрос в следующем: верно ли, что эта мера появляется
если не во всех динамических системах, то почти во всех?
Но мы снова должны умерить наш энтузиазм.
Посмотрите на это векторное поле.
Вот траектория.
Все идёт хорошо, она накапливается к бабочке, как мы уже видели.
Когда начальное условие постепенно двигается по синей оси, все идёт хорошо.
Траектория продолжает накапливаться к тому же аттрактору,
даже если ей требуется некоторое время, чтобы туда попасть.
И можно быть уверенным, что статистика всегда остаётся одинаковой.
Но внезапно, без предупреждения, сюрприз!
Траектория начинает накапливаться в другом месте,
к другому аттрактору, ничуть не похожему на предыдущий.
Пространство кажется разделённым на две области.
Если начать в первой области, попадёшь к первому аттрактору,
если во второй — ко второму.
Другими словами, нельзя сказать, что здесь имеется СРБ-мера,
поскольку предельная статистика зависит от начальных условий.
Но можно сказать, что у нас их две!
Для некоторых начальных условий
статистика траектории соответствует первой мере,
а для других — второй.
В 1990-х годах бразильский математик Якоб Палис
сформулировал целый ряд задач,
которые, будучи решёнными, дадут нам глобальный взгляд на хаос.
Одна из них утверждает,
что ситуация, с которой мы столкнулись, должна быть типичной.
Во всех размерностях типичное векторное поле
должно иметь конечное число аттракторов.
Типичное начальное условие должно притягиваться одним из этих аттракторов.
Каждому аттрактору должна соответствовать мера Синая — Рюэлля — Боуэна,
которая описывает асимптотическую статистику типичных траекторий, которые он притягивает.
Целая группа математиков напряжённо работает над этими гипотезами,
и они разрешаются постепенно,
методично, шаг за шагом...
Глобальная картина постепенно проясняется.
Оптимистична ли эта картина?
Время покажет!
Сегодня мы думаем о детерминизме не в движении индивидуальной траектории,
но в движении всего множества целиком.
Чувствительность траекторий к начальным условиям
компенсируется статистической стабильностью всего множества.
Не это ли предвидел Бюффон в 1783 году в своей великолепной фразе,
описывающей мир одновременно сложный и хаотичный,
мир, который нужно стараться понять глобально?
«Всё происходит,
потому что под властью времени всё встречается,
и в свободной протяжённости пространств,
и в бесконечном движении,
всякая материя перемещается,
всякая фигура обретает свой облик,
всякая форма отпечатывается;
так, всё приближается или удаляется,
сходится вместе или разбегается,
объединяется или сталкивается,
воспроизводится или уничтожается
силами родственными или противоположными, которые одни остаются неизменными
и уравновешивают друг друга, не мешая друг другу,
населяют Вселенную и превращают её в театр с вечно новыми сценами,
где всё постоянно перерождается».