CHAOS9-A pesquisa, hoje
Existem muitos tipos de dinâmicas.
Algumas são complicadas,
E outras, não.
Observe este campo de vetores no espaço
que depende de um parâmetro a.
Comecemos escolhendo a=0,3
e observemos o futuro de um grande número
de condições iniciais.
Depois de certo tempo,
todas elas se aproximam de uma trajetória periódica.
Nenhum caos aí.
É claro que existe uma medida SRB
pois todas as trajetórias, ao final,
acabam girando firmemente em torno de uma curva fechada.
Mudemos lentamente o parâmetro a.
Veja, para a=0,335,
a trajetória periódica se duplicou.
Não temos ainda o caos, mas uma trajetória periódica
duas vezes maior.
E depois para a = 0,380
a trajetória periódica é quadriplicada.
E depois tudo se acelera.
Para a=0,405,
o sistema se torna complicado e caótico.
Mas o que é surpreendente
é que se continuarmos
a aumentar o parâmetro a,
de repente, sem aviso,
a dinâmica caótica volta a ser simples:
se reduz, de novo,
a uma trajetória periódica.
Como entender estas bifurcações?
Qual é o comportamento
mais frequente na natureza?
Caótico? Não caótico?
Isto não está nada claro.
Durante séculos,
nem sequer pensávamos
que o caos pudesse existir...
E, hoje, nós o encontramos em toda parte!
Para cada valor de a,
observamos a passagem do atrator por um plano,
e a desenhamos em vermelho.
Quando o parâmetro varia,
surge um desenho ramificado, que chamamos
de diagrama de bifurcação.
Lindo... mas difícil de entender !
Veja ainda outras dinâmicas.
Naturalmente, o matemático procura
criar resultados que sejam sempre válidos
mas muitas vezes,
ele começa por observar exemplos.
Sua esperança é então
que isto que ele vê num exemplo simples
possa se realizar com toda generalidade
Retomemos a ideia de Lorenz,
Sinai-Ruelle-Bowen, SRB.
A proporção do tempo passado
numa bola por uma trajetória
converge para um limite
independente da condição inicial.
É razoável esperar
que isto possa ser SEMPRE verdadeiro ?
Seria muito bonito...
Mas não... como veremos
num exemplinho
descoberto por Bowen.
Observe este campo de vetores num plano.
Nele você vê três posições de equilibrio.
Uma trajetória é iniciada...
depois de um certo tempo,
ela se aproxima de uma posição de equilíbrio
e depois de outra.
Quando se aproxima de um equilíbrio,
desacelera e fica um certo tempo
na sua vizinhança.
Em seguida, parte, para outro equilíbrio.
E fica por aí, um tempo ainda maior.
Depois, volta ainda mais perto
do primeiro equilíbrio,
e aí fica ainda mais tempo, etc
Então, eis aqui um disquinho verde
e observemos o tempo de passagem neste disco.
Bem, durante períodos bem longos
ficamos dentro dele,
tanto que a proporção é próxima de 100%
depois saímos por muito muito tempo
e a proporção cai a um valor próximo de 0
depois ela chega de novo perto de 100% e depois cai etc.
Veja que não há nenhuma convergência.
Não há medida de Sinai-Ruelle-Bowen!
Então, que fazer ?
Abandonar esta ideia ?
Dizer que Lorenz se enganou ?
Claro que não !
É preciso entender que o exemplo
que acabamos de ver é muito particular.
Se modificamos um pouquinho
o campo de vetores, como aqui
o novo campo não apresenta mais o problema.
As novas tajetórias
viajam no plano e acabam
por se aproximarem de uma trajetória periódica,
do ponto de vista estatístico
tudo se comporta periodicamente
e temos então uma medida de Sinai-Ruelle-Bowen.
Então, o que precisamos perguntar
não é se estas medidas se apresentam
para TODAS as dinâmicas,
mas sim para QUASE todas ?
Mas mesmo assim, é preciso moderar
nosso entusiasmo...
Observe este campo de vetores.
Eis aqui uma trajetória.
Tudo vai bem, ela se acumula
sobre uma borboleta, como vimos.
Se a condição inicial se desloca
lentamente sobre o eixo azul,
a coisa segue bem :
a trajetória se acumula sobre o mesmo atrator,
mesmo que seja preciso certo tempo para chegar aí,
e podemos assegurar que a estatistica
é sempre a mesma.
Mas de repente, sem nenhum aviso, surpresa!
as trajetórias vão se acumular noutro lugar ,
Sobre outro atrator,
que nada tem a ver com o primeiro.
Constatamos que o espaço parece
se decompor em duas regiões
se partimos de um ponto da primeira região
nos acumulamos sobre a primeira borboleta
e se partimos da segunda região,
vamos para a outra...
Dito de outra forma, não se pode dizer
que existe aí uma medida SRB porque
porque a estatística limite depende da condição inicial,
mas dizemos que temos duas medidas!!
Para algumas condições iniciais
a estatística segue a primeira,
e para outras, a segunda .
Nos anos de 1990
o matemático brasileiro Jacob Palis
formulou um conjunto de problemas que
se fossem resolvidos
nos dariam uma visão global do caos.
Um deles consiste em afirmar
que a situação que nós acabamos de ver
deve ser típica.
Em todas as dimensões
um campo de vetores típico
deve ter a propriedade de possuir
apenas um número finito de atratores.
Uma condição inicial típica deve
ser atraída por um destes atratores.
A cada atrator deve ser associada
uma medida de Sinai-Ruelle-Bowen
que descreve a estatística assintótica
das trajetórias típicas que ele atrai.
Todo um grupo de matemáticos
trabalha energeticamente sobre estas conjecturas
e parecem resolvê-las neste momento
pedacinho por pedacinho
metodicamente...
Uma imagem global parece emergir.
Será que esta imagem é muito otimista ?
O futuro dirá.
Hoje, não se pensa mais
no determinismo como a evolução
de uma trajetória individual,
mas sim como todo um conjunto
em evolução coletiva.
A sensibilidade às condições iniciais das trajetórias
é compensada por um tipo
de estabilidade estatística de todo um conjunto.
Será que Buffon, em 1783,
não pressentiu isto
escrevendo esta magnífica frase
mostrando um mundo totalmente
caótico e complexo
que necessita ser compreendido globalmente ?
«tudo acontece,
pois com o passar do tempo tudo se reencontra,
e na extensão livre dos espaços
e na sucessão contínua do movimento
toda matéria é revolvida,
toda forma se apresenta,
toda figura se imprime ;
assim tudo se aproxima ou se distancia,
tudo se une ou se separa,
tudo se combina ou se opõe,
tudo se produz ou se destrói
pelas forças semelhantes ou contrárias,
que por si são constantes,
e oscilam sem se anularem,
animam o Universo
e o transformam num teatro de cenas
sempre novas,
e de objetos que renascem sem cessar.»