CHAOS 9-Chaos onderzoek vandaag
Er zijn vele soorten dynamiek.
Sommige zijn ingewikkeld,
andere niet.
Bekijk dit vectorveld in de ruimte
dat afhangt van een parameter a.
We kiezen eerst a = 0,3
en bekijken de baan vanuit
een groot aantal beginvoorwaarden.
Na een zekere tijd komen ze
alle terecht op een periodieke baan.
Daarin zit helemaal geen chaos.
Er is natuurlijk een SRB maat omdat
op de lange duur iedereen
op een gesloten kromme draait.
We veranderen nu langzaam de parameter a.
Kijk, voor a = 0,335 wordt
de periodieke baan ontdubbeld.
Nog steeds geen chaos, maar
een periodieke baan die twee keer zo lang is ...
En dan, voor a = 0,380,
wordt de baan vierledig.
Nu gaat het sneller.
Voor a= 0,405 krijgen we
een ingewikkeld, chaotisch regime.
Maar verrassend genoeg,
als we de parameter a verder verhogen
wordt de chaotische dynamiek
soms zonder waarschuwing
opnieuw eenvoudig :
het wordt terug
een periodieke baan.
Hoe kunnen we die plotse veranderingen begrijpen?
Wat is het meest
voorkomende gedrag in de natuur?
Chaotisch? Niet chaotisch?
Dat is helemaal niet duidelijk.
We hebben er eeuwenlang
niet aan gedacht dat
chaos zou kunnen bestaan ...
en vandaag zien we hem overal!
Voor iedere waarde van a zetten we
het spoor van de attractor op een vlak,
we tekenen het in het rood.
Als de parameter a varieert krijgen we dan
deze tekening die eruit ziet als een stuk kant,
en men noemt dit een bifurcatie diagram.
Mooi ... maar niet makkelijk te begrijpen!
Hier zijn nog andere dynamische systemen.
Een wiskundige probeert natuurlijk om
resultaten te vinden die altijd geldig zijn,
maar hij begint dikwijls met
het bestuderen van enkele voorbeelden
Hij hoopt dan dat
wat hij ziet in een eenvoudig voorbeeld
ook in het algemeen gerealiseerd kan worden.
We gaan terug naar het idee van Lorenz,
Sinaï-Ruelle-Bowen, SRB.
Het aandeel van de tijd
dat een baan doorbrengt in een bol
gaat naar een limiet die
niet afhangt van de beginvoorwaarde.
Zouden we mogen hopen dat dit
ALTIJD waar kan zijn?
Dat zou te mooi zijn ...
Het antwoord is helaas nee,
zoals we zullen zien in een klein voorbeeld
ontdekt door Bowen.
Bekijk dit vectorveld in het vlak.
Je ziet drie evenwichtsposities.
Een baan vertrekt ...
na een bepaalde tijd,
nadert ze een evenwichtspositie
en daarna een andere.
Wanneer een baan een evenwicht benadert,
vertraagt ze en blijft ze
enige tijd in die omgeving.
Dan vertrekt ze terug naar het andere
evenwichtspunt en blijft ze daar nog langer.
De volgende keer komt ze nog dichter
bij het eerste evenwicht en
blijft ze er nog wat langer, enzovoort.
We nemen een kleine groene schijf
en meten de tijd dat de baan binnen de schijf zit.
Wel, een heel lange tijd
blijft de baan in de schijf. Zo lang
dat het aandeel van die tijd bijna 100% is.
Vervolgens verlaat de baan de schijf voor een lange, lange tijd
en het aandeel daalt tot een waarde dicht bij 0.
Daarna stijgt het aandeel weer terug naar bijna 100%, valt dan weer terug, enzovoort.
Je ziet dat er geen convergentie is.
Er is geen Sinaï-Ruelle-Bowen maat!
Wat moeten we dan doen?
Dit idee opgeven?
Zeggen dat Lorenz het fout had?
Wel nee!
Men moet begrijpen dat het voorbeeld
dat we zonet gezien hebben heel bijzonder is.
Als we het vectorveld
een beetje veranderen..
...dan is er met dit nieuwe geen probleem meer.
De nieuwe banen
bewegen door het vlak en
benaderen op de duur een periodieke baan.
Statistisch gezien gedraagt
het systeem zich regelmatig.
We hebben nu wel een maat van Sinaï-Ruelle-Bowen.
We moeten dus de vraag stellen
of een dergelijke maat daarom niet bestaat
voor ALLE dynamische systemen,
maar misschien wel voor BIJNA ALLE?
Maar ook hier moeten we
ons enthousiasme temperen ...
Bekijk dit vectorveld.
Hier is een baan.
Alles gaat goed, ze volgt de vorm
van een vlinder, zoals we al gezien hebben ...
We verplaatsen de beginpositie
langzaam langs de blauwe as.
De baan blijft naar
dezelfde attractor lopen,
al duurt het enige tijd voor ze daar aankomt.
We zouden zonder probleem
kunnen nagaan dat de statistiek steeds dezelfde blijft.
Maar plotseling, zonder waarschuwing, een verrassing ...
de banen gaan opeens
naar een andere attractor
die niets te maken heeft met de eerste!
We stellen vast dat
de ruimte verdeeld is in twee zones :
Indien men vertrekt van een punt in de ene zone
gaan we naar de eerste attractor,
en als we starten vanuit de andere zone,
lopen we naar de tweede.
Met andere woorden, we kunnen niet zeggen
dat er een SRB maat is, want
de statistische limiet hangt af van het beginpunt.
Er zijn er blijkbaar twee!
Voor bepaalde beginposities
volgt de statistiek de eerste maat
en voor andere de tweede !
In de jaren1990 formuleerde
de Braziliaanse wiskundige Jacob Palis
een verzameling van problemen
waarvan de oplossing
een globale visie op chaos zou bieden.
Een van die problemen is de bewering
dat de situatie die we net ontmoet hebben
eigenlijk een typische situatie is.
Een typisch vectorveld
in een willekeurig aantal dimensies,
zou de eigenschap moeten hebben
dat er slechts een eindig aantal attractors zijn.
Een typische beginpositie wordt
dan aangetrokken door een van deze attractors.
Bij elke attractor hoort dan
een Sinaï-Ruelle-Bowen maat die
de asymptotische statistiek beschrijft
van de typische banen die er naartoe gaan.
Een hele groep van wiskundigen
werkt nu hard aan deze vermoedens.
Het ziet ernaar uit
dat ze beetje bij beetje opgelost worden,
op een systematische manier.
Er lijkt een algemeen beeld naar voor te komen.
Is dit beeld te optimistisch?
De tijd zal het leren.
Vandaag de dag bekijkt men
het determinisme niet langer in termen
van de evolutie van een individuele baan,
maar eerder als de
collectieve evolutie van een geheel.
De gevoeligheid van de banen voor de beginvoorwaarden
wordt gecompenseerd door een vorm
van statistische stabiliteit van het geheel.
Was dit niet wat Buffon
in 1783 voorzag toen hij
de volgende prachtige zin schreef
over een chaotische
en complexe wereld,
een wereld die men in zijn geheel moet trachten te begrijpen?
"Alles gebeurt,
want met de tijd komt alles mekaar tegen.
In de uitgestrekte ruimte van het universum
en in een onophoudelijke dynamiek,
beweegt alle materie,
wordt elke vorm ons gegeven,
komt elke figuur tot stand;
en alles komt en gaat,
komt bijeen of vlucht weg,
wordt samengevoegd of uiteen getrokken,
alles ontstaat of wordt vernietigd
door helpende of tegenwerkende krachten,
die de enige constanten zijn.
Zonder nadenken,
animeren ze het universum
en maken er een theater van
met steeds nieuwe scènes en
met dingen die steeds opnieuw herboren worden ".