CHAOSAS 9 - Chaoso tyrinėjimas šiandien
Yra visokių judėjimų.
Vieni yra sudėtingi,
kiti ne.
Stebėkime šį erdvinį vektorinį lauką,
kuris priklauso nuo parametro a.
Pasirinkime a = 0.3 ir
žiūrėkime į daugelio pradinių
sąlygų nulemtus judėjimus.
Po kurio laiko,
jie visi tampa periodiški.
Jokio chaoso.
Žinoma, yra SRB matas, nes
visos trajektorijos galiausiai
juda apie uždarą kreivę.
Lėtai keiskime parametrą a.
Žiūrėkite, kai a = 0.335,
periodinės trajektorijos išsiskiria...
Vis dar jokio chaoso, tačiau periodinė
trajektorija yra dvigubai ilgesnė...
O kai a = 0.380,
trajektorija tampa keturguba.
Tada reikalai pagreitėja.
Kai a = 0.405,
turime gana sudėtingą ir chaotišką situaciją.
Tačiau pribloškia, kad,
jei ir toliau didiname
parametrą a,
kartais, be jokio įspėjimo,
chaotiškas judėjimas
tampa paprastas ir vėl sugrįžta
prie periodinio judėjimo.
Kaip suprasti šį staigų pasikeitimą?
Koks yra pats natūraliausias
elgesys gamtoje?
Chaotiškas? Ne chaotiškas?
Tai yra visiškai neaišku.
Per amžius mes manėme,
kad chaoso nėra, o dabar...
... randame jį visur!
Kiekvienai a vertei,
plokštumoje galime raudonai pažymėti
atraktoriaus pėdsaką.
Kai parametras kinta, gauname
piešinį, panašų į nėrinius, kuris
vadinamas bifurkacijos diagrama.
Gražu... Bet nelengva suprasti!
Štai dar daugiau dinamikos.
Matematikai nori rasti tai,
kas galioja visada,
tačiau dažnai ieškoti jie pradeda
nagrinėdami pavyzdžius.
Tada jie tikisi, kad tai,
ką jie mato paprastame pavyzdyje,
gali būti apibendrinta visoms klasėms.
Prisiminkime Lorenco idėją,
Sinai-Ruelle-Bowen, SRB.
Laiko, kurį trajektorija būna
rutulio viduje, dalis artėja prie ribos,
kuri nėra priklausoma
nuo pradinių sąlygų.
Ar protinga tikėtis, kad
tai yra VISADA teisinga?
Būtų per gerai...
Deja, atsakymas yra ne,
kaip pamatysime mažame pavyzdyje,
atrastame Bowen'o.
Stebėkime šį vektorinį lauką plokštumoje.
Yra trys pusiausvyros pozicijos.
Judėjimas prasideda...
Po kurio laiko
trajektorija artėja prie pusiausvyros pozicijos,
o tada juda prie kitos.
Kai ji artėja prie pusiausvyros,
ji sulėtėja ir kurį laiką
pasilieka pusiausvyros kaiminystėje.
Tada vėl iš naujo judama prie
kitos pozicijos ir ten pasiliekama ilgiau.
Grįžus prie pirmosios
pusiausvyros pozicijos, čia
pasiliekama dar ilgiau ir t.t.
Štai nedidelis žalias diskas.
Matuokime kiek laiko jis yra kertamas.
Taigi, ten pasiliekama
gana ilgam laikui, todėl
ši laiko dalis bus arti 100%.
Tada paliekame diską labai labai ilgam laikui.
Laiko dalis praleista diske bus arti 0%,
tada vel grįšime prie 100% ir t.t.
Matome, nėra jokio artėjimo prie ribos.
Nėra Sinai-Ruelle-Bowen mato!
Ką galime padaryti?
Užmiršti šią idėją?
Gal Lorencas klydo?
Betgi ne!
Reikia suprasti, kad pavyzdys,
kurį matėme, yra ypatingas.
Jei vos kiek pakeisime
vektorinį lauką, štai taip:
problemos naujame lauke nebeliko.
Naujos trajektorijos
keliauja plokštumoje ir galiausiai
tampa periodinėmis.
Taigi, statistiškai
viskas vyksta periodiškai ir
mes turime Sinai-Ruelle-Bowen matą.
Lieka klausimas: gal šie matai
pasirodo NE VISOSE
dinaminėse sistemose, bet
BEVEIK visose.
Ir vėl privalome
valdyti savo entuziazmą...
Vektorinis laukas.
Štai trajektorija.
Viskas gerai, ji skrieja apie drugelį,
kaip jau matėme anksčiau...
Jei pradinė pozicija pamažu
juda mėlyna ašimi,
viskas gražiai tęsiasi: trajektorija
skrieja apie tą patį atraktorių,
nors ir užtrunka kiek ilgiau.
Mes lengvai galime matyti,
kad statistika nepasikeitė.
Tačiau staiga, be įspėjimo, siurprizas...
Trajektorijos nuskrieja kitur,
prie kito atraktoriaus,
kuris niekaip nesusijęs su pirmuoju!
Erdvė yra padalinta į
du regionus:
jei pradedame vieno regiono tašku,
trajektorija skrieja prie vieno atraktoriaus,
o jei pradedame kitame regione,
atsidursime kitame atraktoriuje...
Kitaip tariant, negalime teigti,
kad turime SRB matą, nes
ilgalaikis judėjimas priklauso nuo pradinių sąlygų.
Yra du SRB matai!
Tam tikroms pradinėms pozicijoms
statistika yra vienokia,
kitoms - kitokia!
XX a. paskutiniame dešimtmetyje
brazilų matematikas Jacob'as Palis'as
suformulavo visą aibę uždavinių,
kuriuos išsprendę turėtume globalų
vaizdą apie chaosą.
Vienas jų - tai teigti, kad
mūsų ką tik sutikta situacija
yra tipinė.
Visose dimensijose
vektorinis laukas turėtų turėti
tik baigtinį skaičų atraktorių.
Tipiškų sąlygų nulemta trajektorija turėtų
būti traukiama prie vieno iš atraktorių.
Kiekvienas atraktorių turėtų
turėti Sinai-Ruelle-Bowen matą,
kuris apibūdina tipinių trajektorijų,
kurias traukia, statistiką.
Visa grupė matematikų
sunkiai dirba su šiais teiginiais.
Jie pamažu, metodiškai sprendžiami
truputis po truputį.
Atrodo, bendras chaoso vaizdas aiškėja.
Ar šis vaizdas per daug optimistiškas?
Laikas parodys.
Šiandien galvojame ne apie determinizmą
vienos trajektorijos vystymesi,
bet greičiau apie bendrą
visos aibės vystymąsi.
Trajektorijų priklausomybė nuo pradinių sąlygų
yra kompensuojama bendro
visos sistemos statistinio stabilumo.
Argi 1783-iais Buffon'as
nenumatė viso to,
kai rašė savo įstabų sakinį
apie sudėtingą ir chaotišką pasaulį,
jog turime stengtis
suprasti jį globaliai?
,,Visko nutinka,
nes bėgant laikui viskas susiduria;
nes erdvės platybėse ir
nenutraukiamame judėjime
visa materija maišosi,
įgauna visas formas,
duoda visus skaičius;
taip viskas ateina arba nueina,
jungiasi arba tolsta,
susideda ar atsiima,
kuriasi ar yra sunaikinama
giminingų ar priešingų jėgų,
kurios yra vienintelės konstantos,
balansuojančios be trukdžių,
suteikiančios visatai judesį
ir paverčiančios ją į teatrą
su vis naujomis scenomis
ir nepaliaujamai atgimstančiais objektais.''