カオス９ 現在のカオス研究
色々な種類のダイナミックスがある．
複雑なものも
簡単なものもある．
このパラメータａに依存する
空間のベクトル場を見てごらん．
ａ＝0.3で始めて，
たくさんの初期値に対し，
その後どうなるか見てみよう．
しばらくすると，
すべてが周期軌道になる．
ここにはカオスは存在しない．
もちろん，ＳＲＢ測度は存在している．
すべてが，やがて
閉曲線を回るからだ．
パラメータａを徐々に変化させよう．
見てごらん．ａ＝0.335に対し，
閉軌道は２重に分裂する．
依然としてカオスは存在しないが，
２倍の長さの周期軌道がある．
それから，ａ＝0.380に対し，
周期軌道は，４倍になる．
それから，そんなふうにどんどん変わる．
ａ＝0.405に対しては，
運動は複雑でカオス的になる．
しかし，驚いたことに
パラメータａを
さらに増加させると，
時々，予告なしに
カオス的なダイナミックスが消え，単純になる：
ダイナミックスは，また，
周期軌道になってしまう．
この分岐現象は，どう理解されるのだろうか？
自然界で最もよく起こる現象は
どういうものなのだろうか？
カオス的だろうか？非カオス的だろうか？
これは全くわからない！
何世紀もの間，
カオスが存在しているとは
考えていなかったのだ．
そして今は至る所にカオスがある．
ａの各値に対し，
アトラクタの位置を判定しよう．
それを赤色で描こう．
パラメータａを変化させて描くと，
図は，レース編みのようになる．
これを分岐図式と呼ぶ．
美しい図だ…しかし理解するのは容易ではない！
ここに別のダイナミックスがある．
もちろん数学者は，
常に成立する定理を求めている．しかし，
具体例の研究から
始めることも多い．
数学者は，
簡単な例で成り立つことが，
一般に成立することを望んでいるのだ．
ローレンツの考え方，つまりＳＲＢ，
シナイ・ルエル・ボーエン測度に戻ろう．
軌道が１つの球を
通過している時間の割合は，
初期条件の取り方に依らず
同じ極限値に収束する．
このことが常に成り立つと
予想して良いのだろうか？
それでは，話がうま過ぎる！
実際，それは成り立たないことが，
これから説明するボーエンの
簡単な例からわかる．
この平面上のベクトル場を見てみよう．
３つの平衡点がある．
ここから軌道をたどろう．
しばらくして
１つの平衡点に近づき，それから，
もう１つの平衡点に近づく．
軌道が平衡点に近づくと，
速度が遅くなり，平衡点の近くに
しばらくとどまる．
それから，他の平衡点に向かい，
その平衡点の近くにもっと長くとどまる．
それから，最初の平衡点の
もっと近くに戻ってきて，
その近傍にさらに長くとどまる．それを繰り返す．
ここに緑色の円板をとり，
この円板を通過する時間を観察しよう．
そうすると，
長い時間その円板にとどまるので，
滞在時間の割合は100%近くになる．
それからもっと長い時間その外にいるから，
滞在時間の割合は０に近い値に落ちてしまう．
その後，また100%近くに増加し，また減少し，これを繰り返す．
これは全く収束しないことがわかる．
シナイ・ルエル・ボーエン測度は存在しないのだ．
それではどうすれば良いのだろうか？
この考え方を放棄すべきだろうか？
ローレンツは間違っていたのだろうか？
そういうわけではない！
この例は非常に特殊なものだと
考えなければならない．
ベクトル場をこんなふうに
ほんの少しだけ変形すると，
変形したベクトル場には，もう問題は起こらない．
新しい軌道は，
平面上を動き，
やがて周期軌道に近づく．
だから統計的には，
すべてのものは周期的に動き，
このベクトル場はシナイ・ルエル・ボーエン測度を持つ．
だから，問題とすべきは，ＳＲＢ測度が，
すべてのダイナミックスに存在するかではなく，
ほとんどすべてのダイナミックスに
存在するか，ということだ．
しかし，ここで再び，はやる気持ちを
抑えなければならない．
このベクトル場を観察しよう．
この軌道を見てみよう．
これはうまくいく．軌道は蝶の図形に
近づいていく．前に見た通りだ．
初期条件がゆっくりと
青色の軸の上を変化すると，思った通りに
すべてが連続的に変化する．
軌道は，少し多く時間が必要となるかもしれないが
同じアトラクタに近づき，
統計的には
常に同じように動く．
しかし予告なく突然，驚いたことが起こる！
軌道は，違う場所に近づく．
元のアトラクタとは全く関係のない
別のアトラクタに近づくのだ．
空間が２つの領域に
分けられているようだ．
１つ目の領域から出発すれば
１つの蝶の図形に近づき，
２つ目の領域から出発すれば
別のものに近づく．
言い方を変えると，初期条件によって
統計的な極限が変わるので，
ＳＲＢ測度があるとは言えない．
しかし２つのＳＲＢ測度があるとも言える！
ある初期条件では，統計値は
１つ目のものになり，別の初期条件では，
２つ目のものになるのだ．
1990年代に
ブラジル人数学者ジャコブ・パリスは，
考えるべき問題のすべてを整理した．
もしこれらの問題が解ければ，
カオスの全体が理解できるというものだ．
その中の１つの問題が，
先ほど出会った状況は典型的なものだ
という主張だ．
どんな次元の空間内でも，
典型的なベクトル場は
アトラクタの数が有限個である
という性質を持つはずだ．
典型的な初期条件に対しては，
軌道はアトラクタの１つに引き寄せられるはずだ．
それぞれのアトラクタは
シナイ・ルエル・ボーエン測度をもち，
そのアトラクタに引き寄せられる軌道が
漸近する統計量を記述しているはずだ．
多くの数学者が精力的に
これらの予想に取り組み，
少しずつ，
体系的な解決が
進んでいるようだ…
全体の様子が明らかになってきたようだ．
この考え方は楽天的過ぎるだろうか？
時間が解決する問題だ．
決定論が，
各軌道の動きを決めるものとは，
現在では，もう誰も考えていない．
それは，軌道全体の動きを決めるものと
考えているのだ．
軌道の初期条件への鋭敏な依存性は
軌道全体の統計的な安定性により
埋め合わされている．
1783年にビュフォンは，
このことを予見して，
全体を理解しなければならない，
複雑でカオス的な世界についての
素晴らしい文章を
書いたのではないだろうか．
「すべてが生じる，
なぜなら，時間がすべてを会わせ，
空間の自由な広がりの中で，
絶え間ない動きの中で，
すべてのものが混ぜられ，
すべての形態を与えられ，
すべての形相を与えられる；
そして，すべてが近づき，離れ，
すべてが集まり，散らばり，
すべてが組み合わさり，反発しあい，
すべてが生まれ，なくなる．
それを起こす相互の引力と
反発力という力だけは一定で，
傷つけあうことなく均衡し，
宇宙を動かし，
常に新しい場面に変わる，
絶え間なく再生する物体の
舞台を作りだすのだ．」