CAOS 9- La ricerca di oggi
Esistono molti tipi di dinamiche.
Alcuni sono complicati,
altri no.
Osserviamo questo campo vettoriale nello spazio
che dipende da un parametro a.
Cominciamo scegliendo a=0,3
e osserviamo il futuro di un grande numero
di condizioni iniziali.
Dopo un po',
sono tutte finite su una traiettoria periodica.
Non c'è caos là dentro.
Certo, c'è una misura SRB
poiché tutti prima o poi si mettono
a girare bravi bravi su una curva chiusa.
Facciamo evolvere lentamente il parametro a.
Guardate, per a=0,335,
la traiettoria periodica è sdoppiata.
Non c'è ancora caos, ma una traiettoria periodica
il doppio più lunga.
E poi per a=0,380,
la traiettoria è quadrupla.
E poi le cose si accelerano.
Per a=0,405,
il regime è diventato complicato e caotico.
Ma quello che stupisce,
è che se si continua
ad aumentare il parametro a,
a volte, senza avviso,
la dinamica caotica ritorna semplice:
si riduce di nuovo
ad una traiettoria periodica.
Come capire queste biforcazioni?
Qual è il comportamento
più frequente in natura?
Caotico? Non caotico?
Non è per niente chiaro!
Per secoli,
non si era pensato
che il caos potesse esistere
e, oggi, lo si vede ovunque.
Per ogni valore di a,
si osservi la traccia dell'attrattore sul piano.
La disegniamo in rosso.
Quando il parametro a varia,
ciò produce un merletto che viene chiamato
diagramma di biforcazione.
Bello... ma non semplice da capire!
Ecco ancora qui altre dinamiche.
Indubbiamente, il matematico cerca
di stabilire dei risultati che siano sempre validi.
Ma molto spesso,
inizia osservando degli esempi.
La sua speranza è allora
che ciò che osserva su un esempio semplice
possa trovare conferma nella grande generalità.
Riprendiamo l'idea di Lorenz,
Sinai, Ruelle, Bowen: SRB.
La proporzione del tempo passato
in una palla da una traiettoria
converge ad un limite
indipendente dalla condizione iniziale.
È ragionevole sperare
che questo possa essere sempre vero?
Sarebbe troppo bello!
Purtroppo no, come vedremo subito
grazie ad un semplicissimo esempio
scoperto da Bowen.
Osservate questo campo vettoriale nel piano.
Vi vedete tre posizioni d'equilibrio.
Una traiettoria inizia.
Dopo un po',
si avvicina ad una posizione d'equilibrio,
poi ad un'altra.
Quando ci si avvicina ad un equilibrio,
si rallenta e si resta per un po'
in un suo intorno.
Poi si riparte verso un altro equilibrio.
E ci si resta ancora più a lungo.
Poi si torna ancora, ancora più vicino
al primo equilibrio,
e ci si resta ancora più a lungo, etc.
Allora ecco un piccolo disco verde
ed osserviamo il tempo di passaggio in questo disco.
Ebbene, durante dei periodi molto lunghi,
ci si resta, fino a che la proporzione
del tempo passato all'interno si avvicina al 100%.
Quindi lo si lascia molto, molto a lungo
e la proporzione ricade ad un valore che è quasi 0.
Poi risale fino al quasi 100%, poi ricade, etc.
Vedete, non c'è per nulla convergenza.
Non c'è nessuna misura di Sinai-Ruelle-Bowen.
Che fare allora?
Abbandonare questa idea?
Dire che Lorenz si è sbagliato?
Ebbene no!
Bisogna capire che l'esempio
che abbiamo appena fatto è molto particolare.
Se si modifica un pochettino
il campo vettoriale, così ad esempio,
il nuovo campo non pone più problemi.
Le nuove traiettorie
viaggiano nel piano e finiscono
per avvicinarsi ad una traiettoria periodica,
così statisticamente,
tutto si comporta in modo periodico.
Si ha così una misura di Sinai-Ruelle-Bowen.
Allora ci si deve chiedere
se queste misure non valgano,
non per ogni dinamica,
ma magari per quasi tutte?
Però anche qui, si deve moderare
il nostro entusiasmo.
Osservate questo campo vettoriale.
Ecco una traiettoria.
Tutto OK, si accumula su una farfalla,
di quelle che abbiamo già visto.
Se la condizione iniziale si muove
lentamente sull'asse blu,
tutto prosegue per il meglio.
La traiettoria si accumula sullo stesso attrattore,
anche se gli ci vuole un po' di tempo per arrivarci.
E ci potremmo assicurare che la statistica
sarà sempre la stessa.
Ma ad un tratto, senza avviso, sorpresa!
Le traiettorie vanno ad accumularsi altrove,
su un altro attrattore
che non a nulla a che vedere con il primo.
Constatiamo che lo spazio sembra
diviso in due regioni.
Se si parte da un punto nella prima regione,
ci si accumula sulla prima farfalla
e se si parte dalla seconda regione,
si va sull'altra.
In altre parole, non si può dire
che c'è una misura SRB poiché
la statistica limite dipende dalla condizione iniziale.
Ma si dice che ce ne sono due!
Per certe condizioni iniziali,
la statistica segue la prima,
e, per altre, la seconda.
Negli anni '90,
il matematico brasiliano Jacob Palis
formulò un insieme di problemi che,
nel caso in cui fossero stati risolti,
avrebbero permesso di avere una visione globale del caos.
Uno di questi consiste nell'affermare
che la situazione che abbiamo appena incontrato
deve essere tipica.
In ogni dimensione,
un campo vettoriale tipico
dovrebbe avere la proprietà di possedere
solo un numero finito di attrattori.
Una condizione iniziale tipica dovrebbe
dunque essere attirata da uno di questi attrattori.
Ad ogni attrattore, dovrebbe essere associata
una misura di Sinai-Ruelle-Bowen
che descriva la statistica asintotica
delle traiettorie tipiche che attira.
Un intero gruppo di matematici
attacca queste congetture con tutte le forze
e sembra risolverle, in questo momento,
pezzetto per pezzetto,
metodicamente...
Un'immagine globale sembra ora emergere.
Questa immagine è troppo ottimista?
L'avvenire lo dirà!
Oggi, non si pensa più
al determinismo come all'evoluzione
di una traiettoria individuale,
ma piuttosto come a tutto un insieme
in evoluzione collettiva.
La sensibilità alle condizioni iniziali delle traiettorie
viene compensata da una sorta
di stabilità statistica di tutto un insieme.
Buffon, nel 1783,
non aveva percepito tutto ciò
mentre scriveva questa magnifica frase
che mostra un mondo allo stesso tempo
caotico e complesso,
un mondo che bisogna temere nella sua globalità.
«Tutto si opera,
perché a forza di tempo ogni cosa si incontra,
e perché nella sua libera distesa di spazi
e nella sequenza continua di movimento,
ogni materia è mescolata,
ogni forma data,
ogni figura è impressa;
così, tutto si avvicina o si allontana,
tutto si unisce o fugge,
tutto si combina o si oppone,
tutto si produce o si distrugge
per causa di forze relative o contrarie,
che sole sono costanti,
e si bilanciano senza nuocersi,
animano l'Universo
e ne fanno un teatro con scene
sempre nuove,
e con oggetti perpetuamente rinascenti.»