Κεφάλαιο 9 : ο Palis και η έρευνα του χάους σήμερα
Υπάρχουν πολλών ειδών δυναμικές.
Κάποιες είναι περίπλοκες,
κάποιες όχι.
Κοιτάξτε αυτό το διανυσματικό πεδίο στον χώρο
που εξαρτάται από την παράμετρο a.
Ας ξεκινήσουμε θέτοντας a = 0,3
και ας δούμε τι γίνεται για ένα μεγάλο πλήθος
αρχικών συνθηκών.
Μετά από λίγο,
όλες καταλήγουν σε μια περιοδική τροχιά.
Δεν υπάρχει χάος.
Υπάρχει βέβαια ένα μέτρο SRB
καθώς τελικά όλα καταλήγουν
σε μια κλειστή καμπύλη.
Ας αλλάξουμε την παράμετρο a αργά – αργά.
Βλέπουμε ότι, όταν a = 0,335 ,
η περιοδική τροχιά διακλαδώνεται.
Πάλι δεν υπάρχει χάος, αλλά μια περιοδική τροχιά
με διπλάσιο μήκος…
Και μετά για a = 0,380,
η τροχιά διακλαδώνεται ξανά και είναι τώρα τετραπλή.
Μετά τα πράγματα επιταχύνουν.
Για a = 0,405
επικρατεί ένα πολύπλοκο και χαοτικό καθεστώς.
Αυτό όμως που είναι εκπληκτικό
είναι το ότι αν συνεχίσουμε
να αυξάνουμε την παράμετρο a
τότε, μερικές φορές, χωρίς προειδοποίηση,
οι χαοτικές δυναμικές γίνονται πάλι απλές
και επιστρέφουν εκ νέου
σε μια περιοδική τροχιά.
Πώς μπορούμε να κατανοήσουμε αυτή την διακλάδωση;
Ποια είναι η συχνότερη
συμπεριφορά στη φύση;
Χαοτική; Μη χαοτική;
Δεν είναι καθόλου ξεκάθαρο!
Για αιώνες
δεν είχαμε ιδέα
ότι μπορεί να υπάρχει χάος…
και σήμερα το βλέπουμε παντού!
Για κάθε τιμή του a
μπορούμε να παρατηρήσουμε το ίχνος του ελκυστή στο επίπεδο
και να το σημειώσουμε με κόκκινο.
Καθώς η παράμετρος μεταβάλλεται,
προκύπτει αυτό το σχέδιο που μοιάζει με δαντέλα,
το οποίο ονομάζουμε διάγραμμα διακλάδωσης.
Όμορφο… αλλά όχι και τόσο εύκολα κατανοητό!
Να κάποιες άλλες δυναμικές.
Οι μαθηματικοί αποσκοπούν
στο να θεσπίσουν αποτελέσματα που ισχύουν πάντα,
αλλά συχνά ξεκινούν
μελετώντας παραδείγματα.
Ελπίζουν λοιπόν ότι
αυτό που βλέπουν σε ένα απλό παράδειγμα
μπορεί να ισχύσει γενικά, σε κάθε περίπτωση.
Ας θυμηθούμε την ιδέα του Lorenz,
το μέτρο Sinai-Ruelle-Bowen, ή SRB.
Το ποσοστό του χρόνου κατά το οποίο
μια τροχιά βρίσκεται μέσα σε μια σφαίρα
συγκλίνει σε ένα όριο που είναι
ανεξάρτητο από την αρχική κατάσταση.
Είναι λογικό να περιμένουμε
ότι αυτό θα ισχύει πάντα;
Αυτό θα παραήταν ωραίο…
Έτσι, δυστυχώς, η απάντηση είναι όχι,
όπως θα δούμε σε ένα μικρό παράδειγμα
που ανακάλυψε ο Bowen.
Κοιτάξτε αυτό το διανυσματικό πεδίο στο επίπεδο.
Υπάρχουν τρεις θέσεις ισορροπίας.
Μια τροχιά ξεκινάει…
μετά από λίγο
πλησιάζει μια θέση ισορροπίας
και μετά συνεχίζει προς μια άλλη.
Όταν πλησιάζει μια ισορροπία
επιβραδύνει, και παραμένει κοντά της
για λίγη ώρα.
Μετά ξαναξεκινάει προς την άλλη ισορροπία
και μένει εκεί ακόμα περισσότερο.
Έπειτα επιστρέφει κοντά
στην πρώτη ισορροπία,
και μένει εκεί ακόμη περισσότερο, κτλ...
Να λοιπόν ένας μικρός πράσινος δίσκος.
Ας παρατηρήσουμε τον χρόνο παραμονής μέσα σ’ αυτόν τον δίσκο.
Λοιπόν, η τροχιά μένει στο εσωτερικό του για τόσο πολύ,
ώστε το ποσοστό του χρόνου
κατά τον οποίο βρίσκεται εκεί είναι κοντά στο 100%.
Μετά φεύγει από το δίσκο για τόσο πολύ καιρό
ώστε το ποσοστό του χρόνου πέφτει σχεδόν στο μηδέν.
Έπειτα ανεβαίνει πάλι σχεδόν στο 100%, μετά ξαναπέφτει, κ.ο.κ..
Όπως βλέπετε, δεν υπάρχει κάποια σύγκλιση.
Δεν υπάρχει μέτρο Sinai-Ruelle-Bowen!
Οπότε τι μπορούμε να κάνουμε;
Να εγκαταλείψουμε αυτήν την ιδέα;
Να πούμε ότι ο Lorenz έκανε λάθος;
Ε, λοιπόν, όχι!
Πρέπει να γίνει σαφές ότι το παράδειγμα
που μόλις είδαμε είναι πολύ ιδιαίτερο.
Αν αλλάξουμε λίγο
το διανυσματικό πεδίο κάπως έτσι:
… δεν υπάρχει πια πρόβλημα στο νέο πεδίο.
Οι νέες τροχιές
ταξιδεύουν στο επίπεδο και τελικά
πλησιάζουν μια περιοδική τροχιά,
οπότε στατιστικά
τα πάντα συμπεριφέρονται περιοδικά
και τώρα έχουμε ένα μέτρο Sinai-Ruelle-Bowen.
Οπότε το ερώτημα είναι
κατά πόσο αυτά τα μέτρα παρουσιάζονται,
όχι για όλα τα δυναμικά συστήματα,
αλλά για σχεδόν όλα;
Αλλά, και πάλι, πρέπει
να μετριάσουμε τον ενθουσιασμό μας…
Κοιτάξτε αυτό το διανυσματικό πεδίο.
Να μια τροχιά.
Όλα πάνε καλά, συγκεντρώνεται
σε μια πεταλούδα, όπως είδαμε και νωρίτερα…
Αν η αρχική κατάσταση
μετακινηθεί αργά στον μπλε άξονα,
όλα συνεχίζουν όπως θα ‘πρεπε:
η τροχιά εξακολουθεί να συγκεντρώνεται στον ίδιο ελκυστή,
ακόμα κι αν αργεί να φτάσει εκεί.
Και εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε
ότι τα στατιστικά δεν έχουν αλλάξει.
Αλλά ξαφνικά, χωρίς προειδοποίηση, η έκπληξη…
Οι τροχιές συγκεντρώνονται αλλού:
σε έναν άλλον ελκυστή
που δεν έχει καμία σχέση με τον πρώτο!
Διαπιστώνουμε ότι ο χώρος φαίνεται
να χωρίζεται σε δύο περιοχές:
αν ξεκινήσουμε από την πρώτη περιοχή,
η τροχιά συγκεντρώνεται στον πρώτο ελκυστή,
και αν ξεκινήσουμε από την δεύτερη
θα καταλήξουμε στον άλλον…
Με άλλα λόγια, δεν μπορούμε να πούμε
ότι υπάρχει μέτρο SRB, καθώς η μακροπρόθεσμη
συμπεριφορά εξαρτάται από την αρχική συνθήκη.
Υπάρχουν λοιπόν δύο μέτρα SRB!
Για ορισμένες αρχικές συνθήκες
τα στατιστικά ακολουθούν το πρώτο
και για άλλες το δεύτερο!
Στην δεκαετία του '90,
ο Βραζιλιάνος μαθηματικός Jacob Palis
διατύπωσε μια ολόκληρη σειρά από προβλήματα
τα οποία, αν λύνονταν,
θα μας έδιναν μια σφαιρική άποψη του χάους.
Ένα από αυτά είναι να πούμε
ότι η κατάσταση που μόλις συναντήσαμε
θα πρέπει να είναι τυπική.
Σε κάθε διάσταση,
ένα τυπικό διανυσματικό πεδίο
θα πρέπει να έχει την ιδιότητα
να έχει έναν πεπερασμένο αριθμό ελκυστών.
Μια τυπική αρχική συνθήκη
θα πρέπει να έλκεται από έναν από αυτούς τους ελκυστές.
Κάθε ελκυστής θα πρέπει να έχει
ένα μέτρο Sinai-Ruelle-Bowen
που να περιγράφει τα ασυμπτωτικά στατιστικά
των τυπικών τροχιών τις οποίες ελκύει.
Μια ολόκληρη ομάδα μαθηματικών
παλεύουν ενεργά μ’ αυτές τις εικασίες,
και μέχρι στιγμής φαίνεται
να τις επιλύουν κομμάτι - κομμάτι,
μεθοδικά...
Μια συνολική εικόνα αρχίζει να φαίνεται.
Είναι υπερβολικά αισιόδοξη αυτή η εικόνα;
Ο χρόνος θα δείξει.
Σήμερα, δεν βλέπουμε πια
τον ντετερμινισμό ως την εξέλιξη
μιας μεμονωμένης τροχιάς,
αλλά ως την εξέλιξη
ενός ολόκληρου συνόλου.
Η ευαισθησία των τροχιών σε αρχικές συνθήκες
αντισταθμίζεται από κάποια
στατιστική σταθερότητα όλου του συνόλου.
Δεν το είχε προβλέψει αυτό ο Buffon,
το 1783, όταν έγραψε αυτήν
την υπέροχη πρόταση
η οποία δείχει έναν κόσμο
περίπλοκο και χαοτικό,
τον οποίο πρέπει κάποιος να προσπαθήσει να κατανοήσει σφαιρικά;
«Όλα γίνονται
επειδή με τον καιρό όλα συναντώνται,
και επειδή στην έκταση του ελεύθερου χώρου
και στη συνεχή αλληλουχία της κίνησης
όλη η ύλη αναδεύεται,
όλες οι μορφές δίνονται,
όλα τα σχήματα σχηματίζονται.
Έτσι όλα πλησιάζουν ή απομακρύνονται,
όλα ενώνονται ή διαφεύγουν,
όλα συνεργάζονται ή αντιτίθενται,
όλα δημιουργούνται ή καταστρέφονται
από το συσχετισμό ή την αντίθεση δυνάμεων,
οι οποίες μόνο αυτές είναι σταθερές,
και, καθώς λικνίζονται χωρίς να βλάπτουν,
δίνουν ζωή στο σύμπαν
και το μετατρέπουν σε ένα θέατρο
με συνεχώς νέες σκηνές
και διαρκώς αναγεννώμενα αντικείμενα».