CAOS, Capítulo 9. Investigando el caos hoy
Hay muchos tipos de dinámicas.
Algunas son complicadas,
otras no.
Observa este campo vectorial en el espacio.
Depende de un parámetro a.
Empecemos eligiendo a=0,3
y miremos qué pasa
para muchas condiciones iniciales.
Después de un tiempo,
todas caen en una órbita periódica.
No hay caos aquí.
Desde luego, hay una medida SRB,
ya que todos acaban cayendo
en una curva cerrada.
Cambiemos lentamente el parámetro.
Mira, para a=0,335,
la trayectoria periódica se desdobla
Todavía no hay caos, sólo una trayectoria periódica
del doble de longitud.
Y luego, para a=0,380, la trayectoria
se divide nuevamente y ahora es cuádruple.
Después, las cosas se aceleran.
Para a=0,405,
las cosas se vuelven complicadas y caóticas.
Pero lo que es sorprendente,
es que si seguimos incrementando
el parámetro a,
a veces, sin advertencia,
la dinámica caótica se vuelve simple
y regresa
a una órbita periódica.
¿Cómo entender estas bifurcaciones?
¿Cuál es el comportamiento
más común en la naturaleza?
¿El caótico? ¿El no caótico?
No es del todo claro.
Durante siglos,
no tuvimos ni idea
de que el caos existiera
¡y ahora lo vemos en todos lados!
Para cada valor de a,
podemos marcar la curva atractora en un plano
y dibujarla en rojo.
Conforme el parámetro varía
obtenemos este encaje
que llamamos diagrama de bifurcación.
¡Lindo! Pero difícil de entender.
Aquí hay más dinámicas.
Los matemáticos buscan establecer
resultados que sean siempre ciertos.
Pero, usualmente,
empiezan estudiando ejemplos.
Luego esperan
que lo que ven en un ejemplo
se vea realizado en toda generalidad.
Recuerden la idea de Lorenz,
Sinai-Ruelle-Bowen, SRB.
La proporción del tiempo que una trayectoria
pasa en una bola
converge a un límite
que no depende de la condición inicial.
¿Es razonable esperar
que esto sea siempre cierto?
Eso sería muy agradable...
Desafortunadamente, la respuesta es no, como veremos
en un ejemplo simple
descubierto por Bowen.
Mira este campo vectorial en el plano.
Hay tres posiciones de equilibrio.
Empieza una trayectoria.
Después de un tiempo
se acerca a una posición de equilibrio
y luego se acerca a otra.
Cuando se acerca a una posición de equilibrio,
desacelera y permanece cerca de ella
por un tiempo.
Luego se dirige hacia otra posición de equilibrio
y se queda ahí más tiempo.
Regresa más cerca
del primer equilibrio,
la estancia es más larga, etc.
He aquí un disco verde.
Observemos el tiempo de tránsito en el disco.
La trayectoria se queda por periodos largos,
de manera que la proporción del tiempo
en el disco es cercana al 100%.
Luego abandonamos el disco por un tiempo muy, muy largo.
La proporción cae a un valor muy cercano a 0%,
luego vuelve a ser casi del 100%, luego vuelve a caer, etc.
Como ves, no hay convergencia.
¡No hay medida de Sinai-Ruelle-Bowen!
¿Qué podemos hacer?
¿Abandonar esta idea?
¿Decir que Lorenz se equivocó?
¡Pues no!
Debe entenderse que este ejemplo
es muy especial.
Si cambiamos un poco
el campo vectorial, así...
...ya no hay problema con el nuevo campo.
Las nuevas trayectorias
van por el plano y, finalmente,
se acercan a una trayectoria periódica;
estadísticamente,
todo se comporta de manera periódica
y tenemos una medida Sinai-Ruelle-Bowen.
Entonces, la pregunta es
si estas medidas ocurren,
no para todos los sistemas dinámicos,
sino para casi todos.
Pero, inclusive ahí,
tenemos que calmar nuestro entusiasmo.
Observa este campo vectorial.
Aquí, una trayectoria.
Todo va bien, se acumula en
una mariposa, como ya hemos visto.
Si la condición inicial
se mueve lentamente en el eje azul,
todo continúa como debería:
la trayectoria se sigue acumulando en el mismo atractor,
aunque le tome más tiempo llegar ahí.
Y podríamos verificar que las estadísticas
son las mismas.
Pero de repente, sin advertencia, ¡sorpresa!
Las trayectorias se acumulan en otro lado,
en otro atractor,
totalmente distinto al primero.
Aparentemente, el espacio
se divide en dos regiones:
si uno empieza en un punto en la primera región,
la trayectoria se acumula en el primer atractor;
si empezamos en la segunda región,
terminamos en el otro atractor.
En otras palabras, no podemos decir
que haya una medida SRB,
ya que la estadística límite depende de la condición inicial.
¡Pero diremos que hay dos medidas SRB!
Para ciertas condiciones iniciales,
las estadísticas siguen a la primera
y para otras, a la segunda.
En los noventa,
el matemático brasileño Jacob Palis
formuló un conjunto de problemas que,
de ser resueltos,
darían una visión global del caos.
Uno ellos es afirmar
que la situación que acabamos de ver
es típica.
En cualquier dimensión,
un campo vectorial típico
debería tener solamente
un número finito de atractores.
Una condición inicial típica
debe ser atraída por uno de esos atractores.
Cada atractor debería tener
una medida de Sinai-Ruelle-Bowen
que describe la estadística asintótica
de las trayectorias típicas que atrae.
Todo un grupo de matemáticos
trabaja arduamente en estas conjeturas
y las está resolviendo
metódicamente,
pedazo a pedazo.
Una imagen global parece surgir.
¿Es una imagen alentadora?
El tiempo lo dirá.
Hoy ya no pensamos
en el determinismo como en la evolución
de una sola trayectoria,
sino como la evolución colectiva
de todo un conjunto.
La sensibilidad de las trayectorias a las condiciones iniciales
se compensa por cierta
estabilidad estadística de todo el conjunto.
¿Predijo esto Buffon
en 1783 cuando escribió
este hermoso pasaje
sobre un mundo complejo y caótico
que hay que
que entender en su globalidad?
«Todo sucede,
porque con el tiempo todo se encuentra,
y en la extensión de los espacios
y en la sucesión continua del movimiento,
toda la materia se mezcla,
toda forma sucede,
toda figura se imprime;
así, todo viene y va,
todo se junta o se separa,
todo se combina o se opone,
todo se produce o se destruye
por fuerzas semejantes u opuestas,
las únicas constantes,
y, equilibrándose sin perjucio,
animan el Universo
lo convierten en un teatro de escenas
siempre inéditas
y de objetos que incesantemente renacen.»