CHAOS 9-Chaosforschung heute
Es gibt viele Arten von Dynamik.
Manche sind kompliziert,
andere nicht.
Schauen wir uns dieses Vektorfeld im Raum an.
Es hängt ab von einem Parameter a ab.
Wählen wir zuerst a = 0.3
und schauen wir uns die Entwicklung
einer großen Anzahl an Startbedingungen an.
Nach einiger Zeit,
landen alle auf einer periodischen Bahn.
Kein chaotisches Verhalten.
Es gibt also ein SRB-Maß,
denn alles bewegt sich am Ende
auf einer geschlossenen Kurve.
Verändern wir den Parameter langsam.
Für a = 0.335
verdoppelt sich die periodische Bahn.
Immer noch kein Chaos, sondern eine periodische Bahn,
die doppelt so lang ist.
Für a = 0.380
hat sich die Bahn vervierfacht.
Dann geht es schneller.
Für a = 0.405
wird es kompliziert und chaotisch.
Aber überraschenderweise wird,
wenn wir a erhöhen
manchmal, ohne Vorwarnung,
die chaotische Dynamik
wieder einfach
und sie reduziert sich
auf einen periodischen Orbit.
Wie können wir diese Verzweigungen verstehen?
Was ist das häufigste
natürlich vorkommende Verhalten?
Chaotisch? Nicht-chaotisch?
Das ist überhaupt nicht klar.
Über Jahrhunderte wussten wir nicht,
dass Chaos existieren kann
und heute sehen wir es überall!
Wir markierten für jeden Wert von a
den Schnitt des Attraktors mit einer Ebene.
Wir zeichnen ihn rot.
Wenn wir den Parameter ändern erhalten wir ein Bild,
das wie ein Stück Spitzenstoff aussieht.
Dies nennt man Verzweigungsdiagramm.
Hübsch... aber nicht so leicht zu verstehen!
Hier ein paar weitere Dynamiken.
Natürlich suchen Mathematiker Resultate
die immer gelten,
aber sie beginnen oft damit,
Beispiele zu studieren.
Dann hoffen sie,
dass die Gesetzmäßigkeiten der einfachen Beispiele
sich auf alle Fälle verallgemeinern lassen.
Erinnern Sie sich an die Idee von Lorenz,
Sinai-Ruelle-Bowen, SRB?
Der Anteil der Zeit
den eine Bahn in einer Kugel verbringt
konvergiert gegen einen Grenzwert,
der nicht von den Anfangsbedingungen abhängt.
Ist es vernünftig anzunehmen,
dass dies immer gilt?
Das wäre zu schön!
Leider ist die Antwort: nein,
wie wir an einem kleinen Beispiel sehen
das von Bowen entdeckt wurde.
Schauen Sie sich dieses Vektorfeld in der Ebene an.
Es gibt drei Gleichgewichtszustände.
Eine Bahn startet
und nach einer Weile
nähert sie sich einem Gleichgewichtspunkt.
Dann bewegt sie sich zu einem anderen.
Wenn sie sich einem Gleichgewichtspunkt nähert
verlangsamt sie sich
und bleibt einige Zeit in seiner Nähe.
Dann geht sie zum anderen Gleichgewichtspunkt
und bleibt dort sogar länger.
Zurück geht es zum ersten Gleichgewichtspunkt
wo sie sich noch länger aufhält.
Und so weiter.
Betrachten wir die Durchgangszeit
durch die kleine grüne Scheibe.
Nun, die Bahn bleibt so lange
in der Scheibe,
dass der Anteil nahezu 100% ist.
Dann verlassen wir die Scheibe für eine sehr lange Zeit.
Der Anteil fällt nahezu auf null.
Dann steigt er wieder auf 100%, fällt wieder, und so weiter.
Wie Sie sehen, gibt es keine Konvergenz.
Es gibt kein Sinai-Ruelle-Bowen-Maß!
Was können wir tun?
Die Idee aufgeben?
Lag Lorenz falsch?
Nein!
Das Beispiel, was wir gerade
gesehen haben, ist sehr speziell.
Wenn wir das Vektorfeld nur ein wenig ändern,
zum Beispiel so,
gibt kein Problem mehr mit dem neuen Vektorfeld.
Die neuen Bahnen
laufen durch die Ebene und nähern
sich schließlich einer periodischen Bahn.
Statistisch verhält sich nun alles periodisch.
Wir haben ein Sinai-Ruelle-Bowen-Maß.
Die Frage ist nun,
warum haben wir diese Maße
nicht für alle dynamischen Systeme,
sondern nur für sehr viele?
Aber auch hier müssen wir
unseren Enthusiasmus zügeln.
Beobachten Sie dieses Vektorfeld.
Hier ist eine Bahn.
Alles sieht gut aus, sie häuft sich
auf einem Schmetterling, wie zuvor.
Wenn sich die Anfangsbedingung langsam
auf der blauen Achse ändert,
verhält sich alles, wie es sollte: Die Bahn
häuft sich weiterhin auf dem gleichen Attraktor,
selbst wenn es etwas dauert, bis sie dort ankommt.
Wir können einfach überprüfen,
dass die Statistik sich nicht geändert hat.
Doch plötzlich, ohne Vorwarnung,
häuft sich die Bahn woanders,
auf einem anderen Attraktor
der nichts mit dem ersten zu tun hat.
Der Raum scheint
in zwei Regionen geteilt zu sein:
Wenn man mit einem Punkt in der ersten Region startet,
häuft sich die Bahn auf dem ersten Attraktor.
Startet man in der zweiten Region
landen wir auf dem anderen.
Anders gesagt, wir können nicht sagen,
dass es ein SRB-Maß gibt, weil
das Langzeitverhalten von der Anfangsbedingung abhängt.
Es gibt zwei SRB-Maße!
Für bestimmte Anfangsbedingungen
folgt die Statistik dem ersten
und für andere dem zweiten.
In den 1990er Jahren
formulierte der brasilianische Mathematiker Jacob Palis
eine ganze Reihe von Problemen, die,
falls sie gelöst werden,
einen Überblick über das Chaos erlauben würden.
Eines behauptet,
dass die Situation, der wir gerade begegnet sind,
typisch ist.
In jeder Dimension
sollte ein typisches Vektorfeld
die Eigenschaft haben, dass es
nur eine endliche Anzahl von Attraktoren hat.
Eine typische Anfangsbedingung
sollte zu einem dieser Attraktoren hingezogen werden.
Jeder Attraktor sollte
ein Sinai-Ruelle-Bowen-Maß haben,
das die asymptotische Statistik
der Bahnen beschreibt, die er anzieht.
Eine ganze Reihe Mathematiker
arbeitet hart an diesen Vermutungen
und sie werden
Stück für Stück gelöst,
systematisch.
Ein umfassendes Bild scheint zu entstehen.
Ist dieses Bild zu optimistisch?
Die Zeit wird es zeigen.
Heute denken wir uns
Determinismus nicht länger als Evolution
einer einzelnen Bahn,
sondern als
kollektive Evolution einer ganzen Menge.
Die empfindliche Abhängigkeit der Bahn
von den Anfangsbedingungen wird kompensiert
durch die statistische Stabilität der ganzen Menge.
Hat Buffon, im Jahr 1783,
dies nicht vorhergesehen,
als er seinen großartigen Satz schrieb,
über eine komplexe und chaotische Welt,
die man versuchen sollte,
global zu verstehen?
"Alles passiert,
weil sich durch die Kraft der Zeit alles trifft,
und weil im freien Raum
und in der stetigen Bewegung
alle Materie bewegt wird,
jede Form auftritt,
alle Werte angenommen werden;
so kommt und geht alles,
alles vereint sich oder flieht,
alles verbindet sich oder stellt sich gegeneinander,
alles passiert oder wird zerstört
durch relative oder gegensätzliche Kräfte,
dies sind die einzigen Konstanten,
und ohne Schaden ausgleichend
beleben sie das Universum
und machen es zu einem Theater
mit ständig neuen Szenen
und unaufhörlich wiedergeborenen Objekten".