ক্যাওস ৯ – আধুনিক ক্যাওস গবেষণা
গতি-তন্ত্র অনেক ধরনের হতে পারে।
কয়েকটা বেশ জটিল,
অন্যগুলো ততটা নয়।
ত্রিমাত্রিক দেশে এই ভেক্টর ফিল্ডটা দেখুন,
এটা প্রচল a-এর ওপর নির্ভরশীল।
শুরুতে a = ০.৩ নেওয়া যাক।
বিভিন্ন প্রারম্ভিক শর্তের সাপেক্ষে
কী হয় দেখা যাক।
কিছুক্ষণ পর,
সবাই একটা পর্যাবৃত্ত ট্রাজেক্টোরিতে মিশে গেল।
এখানে কোনো 'ক্যাওস' নেই,
অবশ্য এখানে একটা SRB 'মেজার' রয়েছে,
কারণ শেষ পর্যন্ত
সবাই একটা বদ্ধ বক্ররেখায় পাক খায়।
আসুন, প্রচলটা পরিবর্তন করা যাক।
যেমন a = ০.৩৩৫ হলে
পর্যাবৃত্ত ট্রাজেক্টোরিটা ভেঙে যাচ্ছে ...
এখনো কোনো 'ক্যাওস' নেই, তবে পর্যাবৃত্ত ট্রাজেক্টোরিটা
আগের থেকে দু'গুণ লম্বা ...
তারপর a = ০.৩৮০ হলে,
ট্রাজেক্টোরিটা আবার ভাঙছে; এখন এটা চারপাকে সম্পূর্ণ।
এরপর ব্যাপারটা হঠাৎ করে বেড়ে গেল।
a = ০.৪০৫ হলে
পরিস্থিতি খুবই জটিল এবং 'ক্যাওটিক'।
কিন্তু যেটা সবচেয়ে অবাক করা
তাহল, প্রচল a-এর মান
ক্রমশ বাড়াতে থাকলে
কখনো কখনো, কোনোরকম পূর্বাভাস ছাড়াই
এর ক্যাওটিক গতি-তন্ত্র
হঠাৎ করে সরল হয়ে যায়
এবং তা পর্যাবৃত্ত কক্ষপথে ফিরে আসে।
এই 'বাইফারকেশান'-কে কীভাবে বোঝা যায়?
প্রকৃতিতে সবচেয়ে স্বাভাবিক
গতিবিধিগুলো কেমন?
'ক্যাওটিক'? নাকি 'ক্যাওটিক' নয়?
ব্যাপারটা আদৌ পরিষ্কার নয়।
বহু শতাব্দী ধরে
'ক্যাওস' সম্ভন্ধে আমাদের কোনো ধারণাই ছিল না ...
আর আজ এটা সর্বত্র চোখে পড়ছে!
a-এর প্রতিটি মানের জন্য
আমরা একটা সমতলে 'অ্যাট্রাক্টর'-টার
'ট্রেস্'-কে লাল রং-এ আঁকলাম।
প্রচল-টা পরিবর্তিত হলে,
ফিতের মতন দেখতে এই ছবিখানা তৈরী হয়;
এর নাম 'বাইফারকেশান' চিত্র।
সুন্দর দেখতে ... তবে বোঝা খুব শক্ত!
এগুলো আরও কিছু গতিতন্ত্র।
গণিতজ্ঞেরা এমন সূত্র খোঁজেন
বা সর্বদা সত্য হবে,
তবে অনেক সময়তেই তাঁরা
শুরু করেন উদাহরণ থেকে।
তাঁরা আশা করেন যে
ওই সরল উদাহরণে যা দেখছেন
সেটাই সবক্ষেত্রে সাধারণভাবে সত্য হয়ে ধরা পড়বে।
লরেঞ্জ-এর ধারণার কথা ভাবুন,
অথবা সিনাই-রুয়েল্-বাওয়েন বা SRB-র কথা।
কোনো ট্রাজেক্টোরি একটা বলের ভেতর
কতটা সময় কাটাবে,
তা ক্রমশ একটা সীমাস্থ মানের দিকে এগিয়ে চলে
এবং তা প্রারম্ভিক শর্তের ওপর নির্ভর করে না।
আচ্ছা, এটা কি আশা করা যায় যে
এই ব্যাপারটা ‘সবসময়’ সত্যি হবে?
সেটা হলে তো খুবই ভালো হত ...
সুতরাং দুর্ভাগ্যবশত, উত্তরটা হল, 'না'।
বাওয়েন-এর দেওয়া এই উদাহরণটা
এই বিষয়কে তু্লে ধরে।
সমতলে এই ভেক্টর ফিল্ডটা দেখুন।
এখানে তিনটে সাম্যাবস্থার বিন্দু রয়েছে।
একটা ট্রাজেক্টোরি শুরু হল ...
এবং একটুক্ষণ পরে,
এটা একটা সাম্যাবস্থার অবস্থানে পৌঁছল
এবং তারপর অন্যটার দিকে সরে গেল।
সাম্যাবস্থার কাছাকাছি এসে
এটার গতি শ্লথ হল এবং কিছুক্ষণ সময় সেখানেই রইল।
তারপর আবার অন্য সাম্যাবস্থার দিকে
যাত্রা করল এবং সেখানে রইল আরও বেশীক্ষণ।
এবার ফিরে এল
প্রথম সাম্যাবস্থায়,
যেখানে সময় কাটালো
আরও অনেকক্ষন বেশী।
ছোট্ট সবুজ চাক‌তিটা দেখুন।
এই চাকতির ওপর কাটানো সময়টা খেয়াল করুন।
ট্রাজেক্টোরিটা এখানে
এতটাই সময় ধরে থাকছে যে,
সময়ের অনুপাত প্রায় ১০০% দাঁড়াচ্ছে।
এরপর চাকতির বাইরে কাটাচ্ছে অতিদীর্ঘ সময়।
তখন অনুপাত কমে প্রায় শূন্যের কাছে চলে যাচ্ছে,
এরপর তা আবার বেড়ে দাঁড়াচ্ছে প্রায় ১০০%, তারপ‌র আবার কমছে, আর এভাবেই চলতে থাকছে।
লক্ষ্য করুন, 'কনভার্জ' করার কোনো বালাই নেই।
এখানে কোনো সিনাই-রুয়েল-বাওয়েন ‘মেজার’ নেই।
তাহলে কী করা যায়?
এই ধারণাটা বাতিল করে দেব ?
বলবো যে লরেঞ্জ ভুল করেছিলেন ?
না, একেবারেই নয়।
এটা বুঝতে হবে, যে উদাহরণটা আমরা এখুনি দেখলাম
তা এক অতি বিশেষ উদাহরণ।
আমরা যদি ভেক্টর ফিল্ডটাকে সামান্য একটুখানি
বদলে দিই-
...নতুন ফিল্ডটাকে নিয়ে আর কোনো সমস্যা নেই।
নতুন ট্রাজেক্টোরিগুলো
সমতলে ঘুরে বেড়ায় এবং শেষ পর্যন্ত
এক পর্যাবৃত্ত ট্রাজেক্টোরির দিকে এগিয়ে যায়,
যার সুবাদে রাশিবিজ্ঞানগতভাবে
সবকিছুই পর্যাবৃত্ত হয়ে পড়ে
এবং এবার আমরা সিনাই-রুয়েল-বাওয়েন 'মেজার' পাই।
সুতরাং প্রশ্নটা হল, 'মেজার'-টার
দেখা মেলে কিনা,
সবরকম গতিতন্ত্রের জন্য না হলেও।
কিন্তু এখানেও আমাদের
উৎসাহে একটু রাশ টানতে হবে...
এই ভেক্টর ফিল্ডটা দেখুন।
এটা একটা ট্রাজেক্টোরি।
ভালো কথা, এটা দিব্যি একটা প্রজাপতির আকার নিচ্ছে,
যেমনটা আমরা আগেও দেখেছি...
যদি প্রারম্ভিক শর্ত, নীল অক্ষের ওপর
ধীরে ধীরে বদলাতে থাকে,
গোটা বিষয়টা ঠিকঠাক চলতে থাকে, যেমনটা চলা উচিত,
ট্রাজেক্টোরিটা একই অ্যাট্রাক্টর-এর ওপর জমা হতে থাকে,
যদিও সেখানে পৌঁছতে হয়তো একটু সময় লাগতে পারে।
এবং আমরা সহজেই দেখে নিতে পারি যে
রাশিবিজ্ঞানগত বক্তব্যের কোনো পরিবর্তন হয়নি।
কিন্তু অবাক কান্ড, কোনো আভাস না দিয়েই, হঠাৎ...
ট্রাজেক্টোরিটা অন্য যায়গায় জড়ো হতে থাকে...
অন্য এক অ্যাট্রাক্টর-এর ওপর,
যার সঙ্গে প্রথমটার কোনো সম্বন্ধই নেই!
ত্রিমাত্রিক দেশ যেন বিভক্ত হয়ে পড়ে
দুটো পৃথক অঞ্চলে:
কেউ যদি প্রথম অঞ্চলে কোনো বিন্দু নিয়ে শুরু করেন তাহলে
সেটা প্রথম অ্যাট্রাক্টর-এর ওপর জড়ো হতে থাকে,
আর যদি দ্বিতীয় অঞ্চলে কোনো বিন্দু নিয়ে শুরু করেন
তাহলে ব্যাপারটা গিয়ে পড়ে অন্যটায়...
অন্যভাবে বললে, আমরা বলতে পারবোনা যে
কোনো একটা SRB 'মেজার' রয়েছে, কারণ
এখানে শেষ পর্যন্ত ঘটনাটা প্রারম্ভিক শর্তের ওপর নির্ভরশীল হয়ে পড়ছে।
এখানে দুটো SRB 'মেজার' রয়েছে!
কিছু প্রারম্ভিক শর্তের বেলায়
সংখ্যাতত্ত্ব প্রথমটা মেনে চলে,
অন্যগুলোর বেলায় দ্বিতীয়টা!
১৯৯০-এর দশকে,
ব্রাজিলীয় গণিতজ্ঞ জ্যাকব পালিস্
এমন কিছু সমস্যাকে পরপর সাজিয়ে লেখেন
যেগুলোর সমাধান হলে
ক্যাওস বিষয়ে আমাদের সম্যক ধারণা গড়ে উঠবে।
এদের মধ্যে একটা হল এই যে,
আমাদের এতক্ষনের উদাহরণটাই
একটা আদর্শ পরিস্থিতি হতে হবে।
যে মাত্রায়-ই হোক না কেন,
একটা আদর্শ ভেক্টর ফিল্ড-এর
এই ধর্ম থাকবে যে তার অ্যাট্রাক্টর-এর
সংখ্যা হবে সসীম।
একটা আদর্শ প্রারম্ভিক শর্ত
কোনো একটা বিশেষ অ্যাট্রাক্টর-এর দিকে নির্দেশ করবে।
প্রতিটি অ্যাট্রাক্টর-এর
একটা সিনাই-রুয়েল-বাওয়েন ‘মেজার’ থাকবে,
যা তার দিকে আকৃষ্ট আদর্শ ট্রাজেক্টোরিগুলোর
রাশিবিজ্ঞানগত বৈশিষ্ট্যকে আসন্নভাবে প্রকাশ করবে।
বর্তমানে একদল গণিতজ্ঞ
এইসব অনুমিতি নিয়ে গভীর গবেষণা চালাচ্ছেন,
এবং ধীরে ধীরে, ধাপে ধাপে
এগুলোর সমাধান করা হচ্ছে।
রহস্যের পর্দা ধীরে ধীরে সরে যাচ্ছে।
এটাকে কী বড্ড বেশী আশাবাদী চিত্র মনে হচ্ছে?
সময়ই এর উত্তর দেবে।
আজকে আমরা ‘ডিটারমিনিজম্’-কে আর
কোনো একটা বিশেষ ট্রাজেক্টোরির
উদ্ভব বলে ভাবি না,
একে আমরা দেখি
একটা গোটা ‘সেট’-এর সামগ্রিক উদ্ভব হিসেবে।
প্রারম্ভিক শর্তের প্রতি ট্রাজেক্টোরিদের স্পর্শকাতরতা
এখন গোটা ‘সেট’-এর এক ধরনের
রাশিবিজ্ঞানগত স্থিতিশীলতা দিয়ে প্রতিস্থাপিত হয়।
১৭৮৩ সালে, যখন বুফোঁ
এই জটিল এবং ক্যাওটিক জগতকে নিয়ে,
যাকে বুঝতে চেষ্টা করতে হয় সামগ্রিকভাবে,
এই অসামান্য বাক্যটা লেখেন,
তখনও কি তিনি এই কথাই ভাবেননি?
“সবকিছুই ঘটে,
কারণ, সময়ের সাথে সাথে সবকিছুই মিলিত হয়,
এবং দেশ-কালের মুক্ত সীমানায়
ও ক্রমাগত গতির পারম্পর্যে,
সকল বস্তুতেই নাড়াচাড়া পড়ে;
যেকোনো আকার-ই ভাবা যাক না কেন,
সব চিত্রই আঁকা হয়;
অতএব সবকিছুই আসছে আর যাচ্ছে,
সবকিছুই হয় যুক্ত হচ্ছে বা দূরে সরে যাচ্ছে,
সবকিছুই হয় একত্রিত হচ্ছে অথবা বিরোধীতা করছে,
আপেক্ষিক বা বিপরীতমুখী বলের দ্বারা
সবকিছুই হয় সংঘটিত হচ্ছে বা ধ্বংস হচ্ছে,
এদের ভারসাম্যই একমাত্র ধ্রুব সত্য,
এবং কোনোরকম ক্ষতি না করেই,
তারা এই বিশ্বকে রচনা করে চলেছে
এবং এই বিশ্বের রঙ্গমঞ্চে অবিশ্রান্তভাবে সৃষ্টি করে চলেছে
নতুন নতুন বস্তুর
এবং অবতারণা হচ্ছে নিত্যনতুন দৃশ্যের।”