CHAOS8洛伦兹的水车。
来听一下爱德华·洛伦茨如何解释
他的混沌概念的三部曲。
「如果一只蝴蝶搧动翅膀
就能导致飓风
那么它之前和之后的振翅，
也会有类似的效应。
同样的论言，也适用于
其他成千上万的蝴蝶，
更不必提及
无数更强大的生物，
特别是人类。」
这第一点，我们已经看到过，
也已被公众理解。
第二点，「如果一只蝴蝶搧动翅膀
能够引起飓风
它同样也可能阻止飓风。」
是的！
但是，接下来的这第三点，
才是最重要的，
也是科学家所要面临的工作。
「普遍来说，
我认为，在时间长河里，
微小的变化既不会增加
也不会降低天气事件
诸如飓风等发生的频率。
它们唯一能做的，
是改变这些事件
所发生的顺序。」
回到洛伦茨的模型。
可记得模型中的每个点，
都代表着一个大气状态。
某些部位，代表晴朗的天气，
而另些部位，则代表飓风的侵袭。
我们假设
对应于飓风的区域
是这颗黄色的小球。
考虑一个初始气候条件，
并观察其演变轨迹。
不时的，
轨迹穿过小球，
引发一场飓风。
纪录一下，从0到时间t之间
飓风肆虐的时间比例。
你看，似乎很难猜测
轨迹经过小球的具体时间。
但我们观察到
路径穿越小球的
平均时间比例，
当t趋于无穷大时，
收敛到一个极限，
约5.1％。
现在，换一个初始条件，
并做同样的计算。
好了，我们再次看到
平均时间比例
还是收敛到一个极限。
但是，令人意外的是，
这个极限与刚才的是一样的！
大约也是5.1％。
再试一个不同的轨迹，
猜测正确！
极限仍然相同。
然而这些轨迹
却是各行其道的。
它们对初始条件，如蝴蝶振翅，
是极度敏感的。
现另取一球，再一球，
粉红色和绿色的。
或许它们分别代表大雪和炎暑？
当轨迹展开，
它按照一定的顺序穿越各球。
为了看个明白，
考虑三条路径
发于三个不同的初始条件。
瞧！
沿着运动轨迹，
飓风，雪和热浪
以难以理解的方式交替，
且对于轨迹两两不同。
真是毫无依据可言。
然而轨线中黄绿粉各色的比例
很快收敛到各自的极限：
分别是5.1%、14.03%和7.4%。
就好像是，
我们是在按照既定的概率，
随机地抽取着黄绿粉色小球。
再听一次洛伦茨所言：
「微小的变化不会增加
也不会降低天气事件
诸如飓风等发生的频率。
它们唯一能做的
是改变这些事件
所发生的顺序。」
这是一个科学的命题！
预测的目的已经改变了。
现在是要预测平均值，
统计和概率。
我们的想法是，或许这些统计数据
对于初始条件是不敏感的：
巴西蝴蝶对其也无能为力！
虽然未经证实，我们猜测
可能两种现象共存：
一个是天气气象的混沌，
体现在未来的天气动态
敏感于初始条件；
另一个是统计数值的稳定性，
体现在其对于初始条件的不敏感性
这个理念，是经过了很久
才在数学上成形。
洛伦兹对他的三维气象模型，
可能有点羞于提起，
因它太理论化和太简单化了。
在两位物理学家
霍华德和Markus的帮助下，
他又设计了一个真实的物理系统，
虽然它对于真实的气象，
还是过于简化了。
这个系统是一部水车。
它拥有一个车轮，
上面挂满漏斗。
漏斗底部有个小洞。
水位越高，
水漏得也越快。
现在打开顶部的水龙头，
并观察水车的转动。
车轮一会儿转向右，
一会儿又转向左，
我们似乎完全无法预测
几秒钟后
它的转动方向。
车轮的运动似乎游移不定，
不可预知，而且混沌。
这部水车和洛伦茨吸引子之间
有什么关系呢？
可选择三个数字来描述水车的运动：
例如，角速度
和水车重心的两个坐标。
这组数的演变绘制出
模型空间中的一条黄色曲线。
难以置信，是不是？
水车变幻如洛伦茨的蝴蝶！
换一个
肉眼难辨的初始位置。
一开始，所有的漏斗都是空的
左边的车轮偏离中心轴2度
而右边的车轮
只偏离了1,9996度。
要用一个显微镜
才能观察到两者的差别。
是的......我们再一次看到，
运动对初始条件的敏感性。
一段时间后，
两部水车的行为
就完全不同了。
让我们来看看，水车是否满足
洛伦茨的统计论点。
我们的两部水车
在几乎相同的位置开转。
现观察各自的转速
例如，在5000秒内，
每秒观察25次。
总共观察125,000次。
在每个观察时刻，
纪录下车轮的转速。
一个非常简单的想法是
象统计学家那样：
将统计数据绘制成长条图
以说明值的分布。
我们把转速区间
切割成35等分
并从刚才观察到的大量转速中
统计落到每个小区间的总数。
结果我们发现
某些速度区间
似乎比别的得到更多的惠顾。
两部水车的行为
有很大的不同：
有对初始条件的
敏感依赖性。
但我们可以看到，
观测到的两个速度序列，
虽然完全不同，
但统计结果却是相同的。
两张条形图
将趋向同样的结果。
理论成立！
洛伦兹似乎是正确的。
当对未来轨迹的统计结果
不敏感于初始条件时，
我们说系统具有
Sinai-Ruelle-Bowen测度，SRB 测度。
气象预报员的目的
就是要确定这些统计结果。
例如，
观察洛伦茨方程中的坐标之一，
温度，随着时间的演变。
仍然来画条形图，
如之前对水车做的一样。
我们观察并纪录
温度值
落在每个温度区间的比例。
现在考查四条轨迹，
彼此相当不同。
经过长时间后，
条形图往往趋向同样的结果。
洛伦茨吸引子具有SRB测度。
一切就好像
温度照着确切的概率
随机演变。
但是，在数学和物理上，
仍然还有许多工作要做。
这些概率，这些分布
首先必须找到它们，
如果你想要说一些有用的东西的话！
希望我们刚刚有还洛伦茨一个公道。
因为他所陈述的，并不止于
「未来在很大的程度上取决于现在。」
这许多人在他之前也说过。
但他的贡献还是，
也许更重要的是，
指出如果我们把雄心壮志，
集中在于统计相关的问题上，
那么科学在预测上，仍是保有屹立不摇的地位。