KAOS - 8. del Lorenzov mlin
Edward Lorenz je svoj koncept kaosa pojasnil v treh točkah:
»Če lahko neki zamah metuljevih kril povzroči tornado,
ga lahko tudi vsi njegovi prejšnji in kasnejši zamahi,
kot tudi zamahi kril milijonov ostalih metuljev,
da ne omenjamo učinka mnogih, še veliko močnejših bitij,
vključno z našo vrsto.«
Videli smo že, da to prvo točko širša javnost zelo dobro razume.
»Če lahko zamah metuljevih kril vpliva na nastanek tornada,
potem ga lahko tudi prepreči.«
Da!
Toda tretja točka je najpomembnejša
in znanstvenikom zagotavlja delo.
»Splošneje, ocenjujem, da v daljšem obdobju
majhne motnje ne zmanjšajo niti povečajo pogostosti orkanov
ali drugih vremenskih dogodkov.
Največ, kar lahko povzročijo,
je sprememba zaporedja njihovih pojavitev.«
Vrnimo se k Lorenzovemu modelu.
Vsaka točka prostora predstavlja stanje v ozračju.
Ponekod je vreme krasno, drugje pa hrumijo orkani.
Denimo, da ta krogla predstavlja območje, ki ustreza orkanu.
Izberimo začetno stanje ozračja in opazujmo njegovo trajektorijo.
Trajektorija občasno vstopi v območje krogle in pojavi se orkan.
Izmerimo delež trajanja orkana glede na celotni čas opazovanja.
Težko je uganiti, kdaj natanko bomo vstopili v območje krogle,
toda delež časa v njej, konvergira k limiti,
ko čas opazovanja podaljšujemo v neskončnost.
Tukaj je ta delež 5.1%.
Izberimo drugo začetno stanje in ponovimo izračun.
Trajektorija kar dolgo ostane znotraj krogle, toda...
Oh, kakšno presenečenje!
Delež je ponovno 5.1%!
Poskusimo še z eno trajektorijo...
Deluje!
Ponovno dobimo isto limito!
Pa vendar, trajektorije so precej različne,
saj so občutljive na začetne pogoje na metuljevih krilih.
Dodamo še eno kroglo, rožnato, in še tretjo, zeleno.
Predstavljata lahko območji vročine ali snega.
Ko se trajektorija razvija, prečka krogle v nekem zaporedju.
Za boljši občutek si oglejmo tri trajektorije
z različnimi začetnimi pogoji.
Poglejmo.
Na naših trajektorijah se orkani, sneg in vročina
menjavajo nepredvidljivo in za vsako trajektorijo drugače.
Vzorca ni mogoče opisati.
Toda razmerja posameznih barv so v vseh treh primerih enaka.
Tukaj so 5.10%, 14.03% in 7.40%.
Kot da bi naključno izbirali rumene, zelene ali rožnate krogle
z vnaprej znanimi verjetnostmi.
Ponovno prisluhnimo Lorenzu:
»Majhne spremembe ne povečajo ali zmanjšajo pogostosti
vremenskih pojavov, kot so orkani ali sneg.
Spremenijo lahko le vrstni red teh dogodkov.«
To je znanstvena trditev!
Namen napovedovanja se je spremenil.
Zdaj poskušamo napovedati povprečja, statistiko in verjetnosti.
Sledimo ideji, da so ti podatki neobčutljivi na začetne pogoje
in na zamahe kril metuljev v Braziliji.
Ta nedokazana hipoteza o možnem soobstoju vremenskega kaosa,
v katerem so prihodnji pojavi odvisni od začetnih pogojev,
in statistične stabilnosti, neodvisne od začetnih pogojev,
je potrebovala veliko časa do ustrezne matematične formulacije.
Lorenz se je bržkone počutil nelagodno zaradi preprostosti
teoretičnega vidika svojega 3-parametričnega modela ozračja.
S pomočjo fizikov Howarda in Markusa je kasneje razvil bolj
realističen fizikalni sistem, četudi še vedno poenostavljen
in zelo oddaljen od resničnih vremenskih pojavov.
Tukaj je vodni mlin.
Zgrajen je iz kolesa, na katerem so razporejena vedra.
Vedra so na dnu preluknjana, da lahko voda izteka,
in to tem hitreje, čim višji je nivo vode v vedru.
Odprimo ventil na vrhu in opazujmo gibanje.
Mlin se vrti včasih v eno, včasih v drugo stran.
Zdi se, da ne moremo napovedati, kam se bo vrtel čez nekaj sekund.
Gibanje se zdi nepravilno in nenapovedljivo - kaotično.
Ali obstaja zveza med mlinom in Lorenzovim atraktorjem?
Izberimo tri števila za opis mlina,
denimo kotno hitrost in dve koordinati težišča.
Evolucija teh števil opiše krivuljo v prostoru.
Mar ni osupljivo?
Naš mlin se giblje kot metulj!
Poskusimo skoraj nezaznavno spremeniti začetni položaj.
V začetku so vsa vedra prazna.
Levo kolo zasučemo za 2 stopinji, desno kolo pa za 1.9996 stopinj.
Razliko bi opazili le z zelo dobrim mikroskopom.
Očitno je sistem zelo občutljiv od začetnih pogojev.
Čez nekaj časa se mlina obnašata povsem različno.
Preverimo, če za gibanje mlina velja Lorenzov statistični izrek.
Naša mlina sta začela vrtenje v skoraj enakem položaju.
Izmerimo njuno hitrost, denimo 25-krat v sekundi
v obdobju 5000 sekund, torej 125000 merjenj.
Pri vsakem merjenju zabeležimo kotno hitrost kolesa.
Nato uporabimo preprosto orodje iz statistike:
stolpčni diagram za ponazoritev porazdelitve.
Izberemo 35 enakih intervalov za hitrost in preštejemo,
kolikokrat je izmerjena hitrost padla v vsak interval.
Tukaj je rezultat.
Nekateri intervali se zdijo pogosteje obiskani kot ostali.
Naša mlina se obnašata zelo različno.
Obstaja torej občutljiva odvisnost od začetnih pogojev.
Toda poskus kaže, da sta naši množici podatkov
sicer različni, a statistično enaki.
Stolpčna diagrama si postajata vse bolj podobna.
Deluje!
Zdi se, da je imel Lorenz prav!
Ko je statistika trajektorije neobčutljiva na začetne pogoje,
govorimo o dinamiki s Sinai-Ruelle- Bowenovo mero, oziroma SRB mero.
Cilj napovedi je tedaj določiti to statistiko.
Opazujmo na primer, kako se v času spreminja temperatura,
ki je ena od koordinat v Lorenzovi enačbi.
Narišimo še en stolpčni diagram, podoben kot pri mlinu.
Za vsako temperaturno območje zabeležimo delež vrednosti
v tem območju.
Četudi opazujemo trajektorije, ki so med seboj precej različne,
njihovi diagrami sčasoma postajajo identični.
Lorenzov atraktor ima SRB mero.
To je tako, kot če bi se temperatura spreminjala naključno,
a s točno določenimi verjetnostmi.
Še vedno pa ostane ogromno dela za matematiko in fiziko.
Da bi lahko povedali karkoli uporabnega,
je treba določiti te verjetnosti in porazdelitve.
Upajmo, da smo pošteno predstavili delo Lorenza,
ki ni zgolj ugotovil, da je prihodnost zelo odvisna
od sedanjosti, kot so trdili že mnogi pred njim.
Njegova bistvena in morda najpomembnejša je ugotovitev,
da lahko z osredotočenjem na statistične podatke
znanost še vedno napoveduje prihodnost.