ХАОС Глава 8 — Мельница Лоренца
Послушайте Эда Лоренца, рассказывающего нам о своём понимании хаоса в трех пунктах:
«Если один взмах крыльев бабочки может вызвать ураган,
то это же можно сказать о всех предыдущих и последующих взмахах,
так же как и о взмахах крыльев миллионов других бабочек,
не говоря уже о действиях бесчисленных других,
более сильных созданий, включая человека».
Мы уже видели, что широкая публика хорошо понимает этот первый пункт.
«Если взмах крыльев бабочки может вызвать ураган,
он равным образом может и предотвратить его».
Да!
Но третий пункт самый важный
и именно он задает работы учёным.
«Но в целом я утверждаю, что в течение лет
незначительные возмущения ни увеличивают,
ни уменьшают частоту возникновения различных погодных явлений, таких как ураганы.
Всё, что они могут сделать —
это изменить порядок, в котором происходят эти явления».
Вернёмся к модели Лоренца.
Вспомните, что каждая точка пространства представляет состояние атмосферы.
В некоторых областях погода хорошая, а в других бушует ураган.
Предположим, что зона, отвечающая урагану, —
этот небольшой шар.
Выберем начальное состояние климата
и проследим за траекторией.
Иногда возникает ураган,
когда траектория заходит внутрь шара
Измерим долю времени между 0 и Т,
в течение которого свирепствует ураган.
Кажется, непросто угадать,
в какие именно моменты времени траектория попадёт внутрь шара,
но мы замечаем, что доля времени, проведённого внутри шара,
сходится к пределу, когда Т стремится к бесконечности.
Здесь это примерно 5.1%.
Теперь выберем другое начальное условие
и сделаем такое же вычисление.
И снова траектория проводит определенный процент времени внутри шара,
но — о сюрприз!
Мы замечаем, что этот предел такой же, как и раньше: примерно 5.1%!
Попробуем ещё одну траекторию.
Всё работает!
Мы получаем такой же предел.
В то же время траектории совершенно разные,
они чувствительны к начальным условиям,
к крыльям бабочки…
Добавим ещё один шар,
например, розовый, и третий, зелёный.
Скажем, периоды жары и снегопада.
Когда траектория развёртывается, она пересекает шары в определённом порядке.
Чтобы увидеть, что происходит, рассмотрим три траектории,
стартующие из трёх различных начальных условий.
Посмотрите.
На траекториях
моменты урагана, снегопада и жары меняются в непонятном порядке,
по-своему для каждой траектории.
Невозможно понять.
Но пропорции желтого, зеленого и розового
быстро сходятся к одинаковым пределам.
Вот они, 5.1, 14.03 и 7.4%.
Всё происходит так, будто мы выбираем наугад жёлтый, зелёный или розовый шар
с точно заданными вероятностями.
Послушаем снова Лоренца:
«Маленькие изменения не увеличивают и не уменьшают
частоту погодных явлений, таких как ураганы.
Единственное, что они могут сделать —
это изменить порядок, в котором происходят эти явления».
Вот научное утверждение!
Цель прогноза изменилась.
Мы стараемся теперь предсказать средние значения, статистику, вероятности.
Идея в том, что статистика, возможно, нечувствительна к начальным условиям
и к взмахам крыльев бразильских бабочек!
Понадобилось долгое время, чтобы эта недоказанная гипотеза
о возможном сосуществовании метеорологического хаоса,
где будущая траектория чувствительна к начальным условиям,
и статистической стабильности, нечувствительной к начальным условиям,
была сформулирована математически.
Лоренц был, возможно, немного смущён
слишком упрощенной моделью своей трехмерной атмосферы.
С помощью двух физиков, Говарда и Маркуса,
он разработал настоящую физическую систему,
пусть и всё ещё упрощённую и далёкую от истинной метеорологической картины.
Вот мельница.
Она состоит из колеса с вёдрами для воды, прикрепленными по кругу.
У вёдер в дне есть дырки,
и вода выливается тем быстрее, чем выше уровень воды в ведре.
Мы открываем кран наверху и наблюдаем за её движением.
Мельница поворачивается иногда направо, иногда налево.
И, кажется, мы никак не можем предугадать,
в какую сторону она повернется через несколько секунд.
Движение выглядит совершенно непредсказуемым, изменчивым и хаотическим.
А есть ли связь между мельницей и аттрактором Лоренца?
Выберем три параметра, которые описывают мельницу,
например, угловую скорость и две координаты центра тяжести.
Изменение этих величин задаёт желтую кривую в пространстве.
Разве это не восхитительно?
Наша мельница движется... как бабочка!
Давайте чуть-чуть поменяем начальное положение колеса.
Все вёдра первоначально пусты.
Левое колесо повернуто на 2 градуса,
в то время как правое колесо повёрнуто только на 1.9996 градуса
(нам понадобится хороший микроскоп, чтобы заметить эту разницу).
Да, определенно имеется сильная зависимость от начальных условий!
Через некоторое время две мельницы ведут себя совершенно по-разному.
Проверим, выполняется ли для мельницы статистическое утверждение Лоренца.
Наши две мельницы стартуют почти с одинаковых позиций.
Будем измерять их скорость.
Например, 25 раз в секунду в течение 5000 секунд.
Итого 125 000 измерений.
При каждом наблюдении мы будем замерять угловую скорость колеса.
Поступим так, как поступают специалисты по статистике:
построим гистограмму, иллюстрирующую полученное распределение.
Отмерим 35 равных интервалов для скорости.
Будем считать, сколько раз измеряемая скорость попадает в каждый интервал.
Вот результат.
В некоторые интервалы мы попадаем чаще остальных.
Наши мельницы ведут себя совершенно по-разному:
есть сильная зависимость от начальных условий.
Но наши наблюдения показывают,
что два набора данных, хоть и отличаются, но совпадают статистически.
Гистограммы выглядят очень похоже.
Это работает!
Похоже, что Лоренц прав!
Если статистика будущего траектории нечувствительна к начальным условиям,
говорят, что динамическая система обладает
мерой Синая — Рюэлля — Боуэна, или СРБ-мерой.
Цель предсказателя тогда состоит в том, чтобы определить эту статистику.
Например, давайте понаблюдаем за изменением с течением времени температуры,
одной из координат в уравнении Лоренца.
Построим гистограмму, как мы это уже делали для мельницы.
Для каждого интервала температур мы отмечаем долю измерений, попавших в данный интервал.
Рассмотрим эти четыре траектории;
хотя они и сильно отличаются друг от друга,
через некоторое время диаграммы становятся одинаковыми.
Аттрактор Лоренца обладает СРБ-мерой.
Всё происходит, как если бы температура менялась случайно,
но с заданным распределением вероятностей.
Но всё же остается много работы для математиков и физиков.
Мы должны найти эти вероятности и это распределение,
если хотим сказать что-нибудь полезное!
Надеемся, что мы отдали должное Лоренцу,
который сказал не только то, что будущее сильно зависит от настоящего.
Многие говорили это и до него.
Новая, и, возможно, главная, идея Лоренца в заключается в том,
что переключаясь на статистические исследования,
наука по-прежнему может делать предсказания.