CHAOS8- O moinho de Lorenz
Escutemos Ed Lorenz explicar
sua concepção do caos em tres pontos.
«Se uma só batida de asas de uma borboleta
pode gerar um furacão,
assim também os batimentos
que antecipam e sucedem esta batida da borboleta
todos os batimentos de asas
de milhões de outras borboletas, ,
sem falar das atividades
de inumeráveis criaturas mais poderosas,
em particular os da espécie humana.»
este primeiro ponto, já vimos,
e foi bem compreendido pelo grande público.
«Se uma batida de asas de uma borboleta
pode gerar um furacão,
ela pode igualmente o impedir.»
Ah sim!
Mas é o terceiro ponto,
o mais importante
que dá trabalho aos cientistas.
«De modo geral,
eu sugiro que ao longo dos anos,
as pequenas modificações nem aumentam
nem diminuem a frequência
dos eventos climáticos como os furacões.
A única coisa que elas podem,
é modificar a ordem na qual
estes eventos ocorrem »
Lembremos do modelo de Lorenz.
Lembrem-se que cada ponto do espaço
representa um estado da atmosfera.
Em certas áreas o tempo é bom
e em outras ocorre o furacão
Suponhamos que a área
onde ocorre o furacão
seja nesta bolazinha!
Tomemos uma condição climática inicial
e observemos a trajetória.
De tempos em tempos,
um furacão ocorre
quando a trajetória penetra na bola.
Meçamos a proporção do tempo
entre 0 e T durante o qual o furacão ocorre
Vejam, parece difícil adivinhar
em que momento preciso
a trajetória reentra na bola,.
mas nota-se que o tempo médio
passando pelas esferas
converge para um limite
quando T tende ao infinito.
Aqui, você vê que um furacão aparece a cada 5,1% do tempo.
Agora, tomemos uma outra condição inicial
e façamos o mesmo cálculo.
Bem, lá ainda se vê
que o tempo de passagem
tende em média para um limite
mas Oh! Que surpresa!
nota-se que este limite
é O MESMO que o precedente: 5,1 %
Tentemos com uma outra trajetória..
E funciona!
Aparece o mesmo limite!
Portanto, as trajetórias
são muito diferentes,
elas são sensíveis às condições iniciais
às asas das borboletas.
Coloquemos uma outra bola,
pode ser rosa, e uma terceira, verde
Pode ser períodos de calor ou de geada?
Quando uma trajetória se desenvolve,
ela atravessa as bolas numa certa ordem.
Para ver o que se passa,
consideremos três trajetórias
partindo de três condições iniciais.
Observe!
Sobre as trajetórias,
as situações furacão/geada/calor
alternam de maneira incompreensível
uma diferente da outra
Impossível de compreender
Mas as proporções da amarela, verde e rosa
convergem rapidamente para o mesmo limite:
Neste caso, 5, 10, 14, 03 e 7,40%
Tudo se passa como se tírassemos ao acaso
as bolas amarelas, verdes ou rosas
com probabilidades bem definidas.
Vejamos Lorenz novamente:
«as pequenas modificações não aumentam
nem diminuem a frequência
dos eventos climáticos como os furacões.
A única coisa que podem fazer
é modificar a ordem na qual
estes eventos se produzem.»
Veja, então, um enunciado científico!
O objetivo da previsão mudou.
Trata-se, agora, de tentar prever as médias
das estatísticas, das probabilidades.
A ideia é que estas estatísticas sejam - talvez –
insensíveis às condições iniciais:
as borboletas brasileiras não podem nada!
Esta hipótese – não demonstrada,
da coexistência possível
de um caos meteorológico
no qual os movimentos futuros
seriam sensíveis às condições iniciais
e de uma estabilidade estatística
insensível às condições iniciais,
levou muito tempo antes de ser
formulada matematicamente.
Lorenz ficou, provavelmente, um pouco embarassado
pelo lado teórico e menos simplista
de sua atmosfera de dimensão 3.
Com a ajuda de dois físicos
Howard e Markus,
desenvolveu um “sistema físico real”,
mesmo que ainda simplista
e bem longe do verdadeiro fenômeno meteorológico!
Eis aqui, um moinho
Ele é constituído de uma roda
em volta da qual estão suspensos
dois baldes de água.
Os baldes são perfurados no fundo
e a agua corre mais rápido
que o nível elevado.
No alto, se abre uma torneira
e se observa o movimento.
O moinho move para a direita
e para a esquerda
E parecemos totalmente incapazes
de prever em que sentido vai se mover
nos próximos segundos.
O movimento parece totalmente errático,
imprevisível, caótico.
Na verdade, há uma razão entre o moinho
e o atrator de Lorenz?
Escolhamos três numeros para descrever o moinho,
por exemplo a velocidade angular
e duas coordenadas de seu centro de gravidade.
A evolução destes numeros desenham
uma curva amarela no espaço
Incrível, não?
Nosso moinho evolue como uma borboleta!
Mudemos levemente
a posição inicial
no início todos os baldes estão vazios
a roda da esquerda se desloca 2 graus,
enquanto a roda da direita
se desloca de 1,9996 graus.
é necessário um microscópio potente
para notar a diferença
Sim, pode-se notar bem
a dependência sensível às condições iniciais.
Depois de um certo tempo
os dois moinhos têm comportamento
completamente diferentes.
Vejamos se o moinho verifica
a afirmação estatística de Lorenz.
Nossos dois moinhos partem quase
da mesma posição.
Observemos sua velocidade
por exemplo, 25 vezes por segundo,
durante 5.000 segundos,
portanto 125.000 observações
A cada observação,
notemos a velocidade de rotação da roda.
Uma ideia muito simples é fazer
o que fazem os estatísticos:
um gráfico de barras
para ilustrar a distribuição
dividimos em 35 intervalos
de mesmo comprimento,
que descreve a velocidade.
e contamos o número de vezes
que a medição da velocidade
ocorre em cada um destes intervalos.
Veja aqui o resultado:
Certos intervalos
parecem ser mais visitados do que outros.
Nossos dois moinhos se comportam
de maneira bem diferente.
Há uma dependência sensível
às condições iniciais.
Mas a observação é que
as duas sequências dadas,
embora diferente
são estatisticamente idênticas.
Os gráficos de barras
tendem a se tornar idênticos.
Isto funciona!
Lorenz parece ter razão!
Quando a estatística do futuro de uma trajetória
é insensível às condições iniciais
dizemos que a dinâmica possue
uma medida de Sinai-Ruelle-Bowen: uma medida SRB.
O objetivo do previsionista consiste então
em determiner estas estatisticas.
Por exemplo, observemos a evolução
da temperature com o passar do tempo,
uma das coordenadas na equação de Lorenz.
Façamos ainda um diagrama de barras
como fizemos com o moinho.
Para cada intervalo da temperatura
notemos a proporção de observações
de cada um..
Se considerarmos quatro trajetórias,
bem diferentes entre si,
os diagramas tendem a se tornar idênticos
depois de um longo período.
O atrator de Lorenz tem uma medida SRB.
Tudo se passa como se a temperature
evoluisse ao acaso ..
mas com probrabilidades bem precisas
Mas resta muito a ser feito
no plano matemático e físico.
Estas probabilidade, estas distribuições,
devem ser encontradas
se quisermos qualquer coisa útil!
Esperamos ter feito justiça a Lorenz
que não disse simplesmente
que o futuro depende muito do presente
Muitos o disseram antes dele.
Mas sua contribuição é também,
e talvez a mais importante,
mostrar que centrar o foco
em dados estatísticos,
pode preservar um caráter preditivo da ciência.