CHAOS 8- De molen van Lorenz
Luister naar Ed Lorenz die ons in drie punten
zijn opvatting over de chaos verduidelijkt :
"Als één slag van de vleugels van een vlinder
een orkaan kan veroorzaken,
dan kan dit ook door een slag
net daarvoor of net daarna,
of door het slaan van de vleugels
van miljoenen andere vlinders,
om niet te spreken over de activiteiten
van ontelbare sterkere wezens,
in het bijzonder die van de menselijke soort."
(We hebben al gezien, dat dit eerste punt
goed bekend is bij het grote publiek),
«Als het slaan van de vleugels van een vlinder
een orkaan kan veroorzaken,
dan kan dit hem net zo goed voorkomen. »
(Natuurlijk!)
Maar het derde punt
is het belangrijkste, en het is dát
dat werk bezorgt aan de wetenschappers .
«Meer in het algemeen
ben ik van oordeel dat, door de jaren heen,
kleine veranderingen geen invloed
hebben op de frequentie
van weersomstandigheden zoals orkanen.
Het enige wat ze kunnen doen,
is de volgorde veranderen
waarin deze gebeurtenissen zich voordoen. "
Terug naar het model van Lorenz.
Herinner je dat elk punt in de ruimte
een toestand van de atmosfeer voorstelt.
In sommige gebieden is het mooi weer,
en in andere woedt er een orkaan!
Veronderstel dat het gebied
dat overeenkomt met een orkaan
deze kleine bol is.
We nemen een begintoestand
en volgen zijn baan.
Nu en dan komt er
een orkaan voor, telkens wanneer
de baan door de bol passeert.
We meten welke fractie van de tijd
tussen 0 en T er een orkaan woedt.
Het blijkt moeilijk te raden
op welke precieze tijdstippen
de baan door de bol zal gaan,
maar we merken op dat het deel van
de tijd dat de baan zich in de bol bevindt,
convergeert naar een limiet
als T naar oneindig gaat.
Hier gedurende ongeveer 5.1% van de tijd ...
Nu nemen we een andere begintoestand
en doen dezelfde berekening.
We zien weer dat
de gemiddelde tijd binnen de bol
naar een limiet gaat, maar,
Wat een verassing!,
we stellen vast dat deze limiet
DEZELFDE is als voorheen, namelijk 5,1%.
We proberen nog een andere baan ...
Het werkt!
We krijgen dezelfde limiet!
En toch zijn de banen
zeer verschillend en gevoelig voor
de beginvoorwaarden en
voor het slaan van de vleugels van de vlinder ...
We plaatsen nog een bol, in het roze,
en een derde, een groene ...
Misschien periodes van hittegolven of sneeuw?
Terwijl een baan zijn weg verderzet,
doorkruist ze de bollen in een bepaalde volgorde.
Om te zien wat er gebeurt,
nemen we drie banen
vanuit drie begintoestanden.
Kijk...
De toestanden orkaan / sneeuw / hittegolf
volgen elkaar op
in een onbegrijpelijke volgorde,
verschillend voor elke baan.
Onmogelijk te begrijpen.
...maar de verhoudingen van geel, groen en roze
convergeren snel naar dezelfde limiet.
Hier, 5,10, 14,03 en 7,40%
Het is alsof we op een willekeurige manier
gele, groene of roze ballen uit een hoed nemen,
maar met goed gedefinieerde waarschijnlijkheden.
Luister opnieuw naar Lorenz:
"De frequentie van weersomstandigheden
zoals orkanen wordt niet
verhoogd of verminderd door kleine veranderingen.
Het enige wat ze kunnen doen
is de volgorde veranderen waarin
deze gebeurtenissen zich voordoen. "
Dit is een wetenschappelijke uitspraak!
Het doel van de voorspelling is veranderd.
Het gaat nu over het voorspellen van gemiddelden,
statistieken en waarschijnlijkheden.
Het idee is dat deze statistieken
- misschien - ongevoelig zijn voor de beginvoorwaarden:
de Braziliaanse vlinders kunnen er niets aan veranderen!
Deze onbewezen hypothese,
het tegelijk optreden van
meteorologische chaos waarbij
de toekomst gevoelig is
aan de beginvoorwaarden,
met statistische stabiliteit,
ongevoelig voor de beginvoorwaarden,
die hypothese werd pas
een hele tijd later wiskundig geformuleerd.
Lorenz was waarschijnlijk een beetje beschaamd
over de, zacht uitgedrukt, simplistische theoretische
kant van zijn atmosfeer in drie dimensies.
Met de hulp van twee natuurkundigen,
Howard en Markus,
ontwikkelde hij een "echt fysisch systeem",
ook al is ook dat nog steeds simplistisch
en ver verwijderd van echte weerfenomenen!
Hier is een molen.
Hij bestaat uit een wiel
waarrond emmers
opgehangen zijn.
Uiteraard hebben de emmers een opening in
de bodem en kan het water eruit stromen,
des te sneller naarmate er meer water in de emmer zit.
We zetten bovenaan een kraan open
en bekijken de beweging.
De molen draait soms naar rechts,
soms naar links
en we lijken totaal niet in staat
om te voorspellen welke kant
hij zal opgaan binnen enkele seconden.
De beweging lijkt volledig
grillig, onvoorspelbaar, chaotisch.
Is er trouwens een verband tussen
de molen en de Lorenz attractor?
Kies drie getallen om de molen te beschrijven,
bijvoorbeeld de hoeksnelheid
en de twee coördinaten van zijn zwaartepunt.
De evolutie van deze getallen
vormt een gele kromme in de ruimte.
Ongelooflijk, niet?
Onze molen beweegt ...als een vlinder!
We gaan nu haast onmerkbaar
de beginpositie veranderen
: in het begin zijn alle emmers leeg
en het linker wiel is 2 graden gedraaid,
terwijl het rechter wiel
1,9996 graden gedraaid is.
(We hebben een microscoop nodig
om het verschil te zien).
Ja, we zien heel goed de 'gevoelige
afhankelijkheid van de beginvoorwaarden"!
Na een tijdje gedragen de twee molens
zich totaal verschillend.
Laten we eens kijken of de molen ook
voldoet aan de statistische bewering van Lorenz.
Onze twee molens vertrekken
van nagenoeg dezelfde stand.
We meten hun snelheid,
bijvoorbeeld 25 keer per seconde
gedurende 5000 seconden
dus 125 000 waarnemingen.
Bij iedere waarneming noteren we
de draaisnelheid van het wiel.
Een eerste eenvoudig idee is
om een kleine statistiek te maken:
we tekenen een staafdiagram
om de verdeling te tonen.
We nemen 35 gelijke intervallen
en we tellen het aantal keer
dat de snelheid van de molen
in elk van deze intervallen ligt.
Hier is het resultaat.
Sommige intervallen lijken
meer te worden bezocht dan andere.
Onze twee molens gedragen
zich erg verschillend.
Er is gevoelige afhankelijkheid
van de beginvoorwaarden.
Maar we stellen vast dat
de twee reeksen van
verschillende gegevens
statistisch identiek zijn.
De staafdiagrammen lijken
meer en meer op mekaar.
Het werkt!
Lorenz lijkt gelijk te hebben!
Als de statistiek van de toekomst van een baan
ongevoelig is voor de beginvoorwaarden,
dan zeggen we dat de dynamiek een maat van
Sinaï-Ruelle-Bowen heeft, een SRB-maat.
Het doel van de weerman is
dan om deze statistieken bepalen.
Laten we bijvoorbeeld de evolutie van de
temperatuur in de tijd bekijken,
een van de coördinaten in de vergelijking van Lorenz.
We tekenen weer een staafdiagram,
zoals we deden voor de molen.
Voor elk temperatuursinterval noteren we
het aandeel van de waarnemingen
die binnen dit interval liggen.
Zelfs als we vier heel verschillende
banen bekijken, dan lijken de
staafdiagrammen toch
hoe langer hoe meer op mekaar.
De Lorenz attractor heeft een SRB maat.
Het is alsof de temperatuur
willekeurig verandert,
... maar toch met zeer specifieke waarschijnlijkheden.
Maar er is nog veel te doen
op het vlak van de wiskunde en de fysica.
We moeten deze waarschijnlijkheden,
deze verdelingen kunnen vinden
om iets nuttigs te kunnen zeggen!
Hopelijk hebben we recht gedaan aan Lorenz,
die niet alleen zei dat
de toekomst sterk afhangt van het heden.
Dat hadden al velen voor hem gezegd.
Maar zijn verdienste is ook,
en misschien vooral,
dat hij getoond heeft dat e
en statistische aanpak aan de wetenschap
opnieuw een voorspellend karakter kan geven.