CHAOSAS 8 - Lorenco malūnas
Pasiklausykime Edvardo Lorenco, kalbančio
apie chaosą trimis teiginiais:
,,Jei vienas drugelio sparnų
judesys gali sukelti tornadą,
tai lygiai tas pat galioja ir
buvusiems, ir būsimiems plastelėjimas,
be to, tai galioja ir
milijonams kitų drugelių.
Mes net nekalbame
apie daugybę gerokai galingesnių
padarų, tokių kaip mes.''
Mes jau matėme, kad drugelio atvejis
yra gerai visiems suprantamas.
,,Kitavertus, jei drugelis gali
sukelti uraganą, tai lygiai taip pat,
jis gali jį ir sustabdyti.''
Tikrai taip!
Paskutis teiginys
yra visų svarbiausias ir yra tas, kuris
suteikia mokslininkams darbo:
,,Žiūrėdamas globaliau,
aš teigiu, kad bėgant metams
maži trukdžiai nei padidina,
nei sumažina įvairių oro reškinių,
tokių kaip tornadai, dažnumą.
Daugiausia, ką jie padaro,
tai pakeičia tvarką, kuria
šie reškiniai atsiranda.''
Grįžkime prie Lorenco modelio.
Prisimename, kad kiekvienas erdvės taškas
atitinka atmosferos būseną.
Kai kuriuose regionuose oras yra
gražus, o kai kuriuose - uraganas!
Tarkime, kad regionas,
atitinkantis uraganą,
yra šis mažas rutulys.
Pradėdami nuo pradinės klimato būsenos
stebėkime judėjimo trajektoriją.
Retkarčiais,
susikuria uraganas,
tuomet trajektorija kerta rutulį.
Išmatuokime laiko dalį,
kai turime uraganą.
Atrodo sudėtinga atspėti,
kuriais momentais
trajektorija įeina į rutulį,
tačiau vidutiniškai, laiko dalis
praleista rutulyje artėja prie ribos,
kai laikas T yra labai didelis.
Čia turime 5.1%.
Paimkime kitokias pradines sąlygas
ir atlikime tuos pačius skaičiavimus.
Vėlgi, trajektorija kažkurį
laiką būna rutulio viduje, tačiau
vidutiniškai tai vėl artėja prie ribos.
O stebukle!
Ši riba tokia pati
kaip ir anksčiau: 5.1%.
Pabandykime su dar kita trajektorija...
Veikia!
Gauname tą patį skaičių!..
Nors trajektorijos yra
labai skirtingos ir jautrios
pradinėms sąlygoms,
drugelio sparnams...
Pridedame kitą rutulį,
rožinį, ir trečią, žalią...
Tebus tai karščio ar sniego bangos.
Vykstams judėjimui, trajektorija rutulius
aplanko tam tikra tvarka.
Kad pamatytume, kas nutinka,
paimkime tris trajektorijas,
nuo šių trijų pradinių sąlygų.
Žiūrėkite.
Trijose trajektorijose,
uragano/sniego/karščio situacijos
keičiasi nepaaiškinamai,
ir labai skirtingomis sekomis.
Neįmanoma suprasti.
Tačiau, geltona, žalia ir rožinė proporcijos
lieka pastovios visiems judėjimams:
jos yra atitinkamai 5.10%, 14.03% ir 7.40%.
Tarsi būtume atsitinktinai pasirinkę
geltoną, žalią ir rožinį rutulius
su iš anksto nustatytomis tikimybėmis.
Vėl prisiminkime Lorencą:
,,Maži pradinių sąlygų pokyčiai
nei sumažina, nei padidina oro reiškinių,
tokių kaip tornadai, dažnumą.
Viskas, ką jie padaro,
tai pakeičia tvarką, kuria
šie reiškiniai atsiranda.''
Tai mokslinis teiginys!
Prognozės tikslas pasikeitė.
Dabar mes bandome nustatyti
vidurkį, statistiką, tikimybes.
Idėja yra ta, kad, šie rodikliai, galbūt,
yra nepriklausomi nuo pradinių sąlygų,
Brazilijos drugelių plazdėjimo!
Tai hipotezė, dar neįrodyta, kad
kartu egzistuoja ir
meteorologinis chaosas, kuriame
visi būsimi judėjimai yra jautrūs
pradinėms sąlygoms, ir statistinis stabilumas,
nepriklausomas nuo pradinių sąlygų.
Užtruko daug laiko, kad
šis teiginys būtų
suformuluotas matematiškai.
Lorencas greičiausiai buvo gana
sutrikęs dėl teorinės savo trijų
parametrų atmosferos modelio pusės paprastumo.
Su dviejų fizikų,
Howard'o ir Markus'o, pagalba
jis išvystė ,,tikrą fizikinę sistemą'',
netgi jei ji yra kiek per paprasta ir
gerokai nutolusi nuo tikrų meteorologinių reiškinių!
Štai yra malūnas.
Jis susideda iš rato su
kibirėliais, pritvirtintais prie jo.
Kibirėliai savo dugne turi skylę
ir vandens išbėgimo greitis
priklauso nuo vandens kiekio kibirėlyje...
Atidarome vožtuvą
ir stebime judėjimą.
Malūnas kartais sukasi į dešinę,
kartais į kairę ir,
atrodo, negalime nustatyti,
į kurią pusę jis suksis,
praėjus kelioms sekundėms.
Judėjimas atrodo
nenuspėjamas ir chaotiškas.
Iš tikrųjų: ar yra sąryšis
tarp malūno ir Lorenco atraktoriaus?
Pasirinkime tris skaičius,
apibūdinančius malūną: kampinį greitį ir
dvi gravitacijos centro koordinates.
Šių trijų dydžių kitimą parodo
geltona kreivė erdvėje.
Įspūdinga, ar ne?
Mūsų malūnas juda kaip... drugelis!
Pakeiskime šiek tiek
pradinę poziciją.
Visi kibirėliai pradžioje tušti.
Kairysis ratas pasuktas per 2 laisnius,
o dešinysis yra
pasuktas tik per 1.9996 laipsnio.
Mums reiktų labai gero
įrankio, kad išmatuotume skirtumą.
Taigi, išties turime
,,jautrią priklausomybę nuo pradinių sąlygų''.
Po kiek laiko abu malūnai
turi visiškai skirtingus judėjimus.
Patikrinkime, ar Lorenco
statistinis teiginys tinka malūnui.
Du malūnai pradeda judėti
beveik tokioje pačioje pozicijoje.
Matuokime jų greitį, tarkim,
25 kartus per sekundę,
viso 5000 sekundes,
taigi, 125 000 matavimų.
Kiekvienu matavimu
fiksuojame rato sukimosi greitį.
Darysime taip, kaip
daro statistikai:
sudarysime stuplelinę diagramą
atvaizduoti pasiskirstymui.
Turime 35 lygius intervalus,
greičio intervalus,
ir skaičiuojame kiek kartų
matavimai pataiko į
kiekvieną intervalą.
Štai rezultatas.
Kai kurie intervalai yra
labiau lankomi nei kiti.
Abu malūnai elgiasi
labai skirtingai.
Judėjimai labai stipriai
priklauso nuo pradinių sąlygų.
Tačiau pastebime, kad šie
du duomenų rinkiniai,
nors skirtingi,
statistiškai yra vienodi.
Stulpelinės diagramos
vis panašėja ir panašėja.
Veikia!
Lorencas buvo teisus!
Kai ateities statistika yra
nepriklausoma nuo pradinių sąlygų,
mes sakome, kad dinamika turi
Sinai-Ruelle-Bowen matą, ar SRB matą.
Prognozuotojo tikslas tuomet
yra nustatyti šią statistiką.
Pavyzdžiui, stebėkime
temperatūros pokyčius laike,
vieną iš Lorenco lygties koordinačių.
Brėžiame kitą diagramą,
kaip darėme su malūnu.
Kiekvienam temperatūrų intervalui,
pažymime stebėjimų, kurie atitinka
tą intervalą, proporciją.
Net jei nagrinėjame trajektorijas,
kurios yra labai skirtingos,
po kurio laiko diagramos
tampa beveik vienodos.
Lorenco atraktorius turi SRB matą.
Tarsi temperatūra
kistų atsitiktinai,
bet su nustatytomis tikimybėmis.
Visgi, dar yra daug darbo
matematikams ir fizikams.
Reikia rasti šias tikimybes
ir pasiskirstymus, kad
galėtume pasakyti kažką naudingo!
Tikėkimės, kad pasielgėme teisingai
paaiškindami, kad, anot Lorenzo,
ateitis nebūtinai priklauso nuo dabarties.
Daugelis žmonių sakė tai prieš jį.
Tačiau jo įnašas yra
labai svarbus ir dėl to,
kad perkeliant dėmesį
į statistinius klausimus,
mokslu vėl galima nusakyti ateitį.