カオス８ ローレンツの水車
エドワード・ローレンツは，カオスの概念を
３つの点にまとめて述べている．
「もしも１匹の蝶の１回の羽ばたきが，
竜巻を引き起こせるならば，
同じ蝶の１つ前の羽ばたきも，
１つ後の羽ばたきも，そして
他の何億もの蝶の羽ばたきも，
ましてや，もっと力を持っている
無数の生物，
特に人類の活動も
同じことを引き起こすことができる．」
すでに見たように，この第１の点は，
一般市民によく理解されている．
「もしも１匹の蝶の１回の羽ばたきが，
竜巻を引き起こせるならば，同じように，
それは竜巻を止めることもできるだろう．」
それはそうだ！
しかし最も重要なのは
第３の点で，
科学者がおこなうべきことを提起している．
「より一般的に，
何年間も見れば，
小さな変動は，
竜巻などの気候現象の発生頻度を
増やしも減らしもしないと考えられる．
小さな変動で変わりうるのは，
これらの現象が
起こる順序である．」
ローレンツのモデルに戻ろう．
空間の各点が
大気状態を表していた．
ある部分では天気が良く，
ある部分では竜巻が起きている．
竜巻が起きているのは，
この小さな球の
部分としよう．
初期の気候の状態をとって，
その軌道を見てみよう．
時々，竜巻が起こる．
それは軌道が
球を通過するときだ．
時刻０からＴの間の，
竜巻が起きている時間を計ってみよう．
いつ軌道が
球を通過するかを
正確に当てるのは難しく見えるが，
球を通過している
時間の割合は，
Ｔが無限に大きくなると
ある値に収束している．
大体，5.1％だ．
さて，他の初期状態をとって
同じ計算をしよう．
するとまた，
通過している時間の割合は
極限に収束している．
おお！驚いた！
極限値は
前と全く同じ5.1％だ．
他の軌道でもやってみよう．
うまくいくものだ！
同じ極限値だ．
同じ極限値になるが，
軌道は全く異なっていて，
初期条件に，蝶の羽に，
鋭敏に依存している．
２つ目の球，ピンク色の球を置き，
３つ目の球，緑色の球を置こう．
これらは，猛暑や雪の季節だろうか？
軌道を描いていくと，
軌道はこれらの球をある順序で通過する．
何が起こるか見るために，
３つの初期条件を決めて
それらの軌道を見よう．
見てごらん！
軌道に沿って，
竜巻・雪・猛暑は，
よくわからない順番で起こり，
それぞれの軌道で異なっている．
これは理解不可能だ．
しかし，黄色と緑色とピンク色の割合は，
どんどん同じ極限値に収束している．
それらは，5.1%, 14.03%と7.4%だ．
確率がきちんと決まるように，
黄色と緑色とピンク色の球を，
偶然うまく取ったようにさえ見える．
もう一度，ローレンツの話を聞こう．
「小さな変動は，
竜巻などの気候現象の発生頻度を
増やしも減らしもしない．
小さな変動で変わりうるのは，
これらの現象が
起こる順序である．」
これは，科学的な主張だ！
予測の対象が変わったのだ．
今度は割合，統計量，確率を
予測しようとしている．
このような統計量は，
初期値にはあまり依存しないだろうという考え方だ：
ブラジルの蝶の影響はないのだ！
この，証明されていない仮定，
すなわち，将来の運動は
初期条件に鋭敏に依存するという
気象学的なカオスと，
初期条件にあまり依存しない
統計的な安定性が
共存するという仮定は，
数学的な定式化に
時間がかかった．
ローレンツは単純化され過ぎた
彼の３次元の大気モデルの
理論的な側面には不満だったようだ．
彼は，２人の物理学者
ハワードとマルカスの協力を得て，
まだ単純で，現実の気候現象からは
ほど遠いものだったが，
現実の物理系を構成した．
ここに水車がある．
これはホイールと
その周りにぶら下げられた
バケツからなる．
バケツの底には穴があいていて，
バケツの水の高さが高ければ
たくさんの水が漏れ出る．
一番上の水道の蛇口を開いて，
どんな動きをするか観察しよう．
水車は，右に回ったり，
左に回ったりする．
何秒か後にどちらに
回っているかは
予言できないように見える．
運動は，全く不規則で，
予言できない…カオス的なものに見える．
この水車とローレンツ・アトラクタには
何か関係があるのだろうか？
水車を記述するために，
３つの実数を選ぼう．例えば，
角速度と水車の重心の２つの座標だ．
この３つの数の変化は
空間内に黄色の曲線を描く．
信じられないことではないだろうか？
水車は，蝶の形に動いている！
最初の位置を
ほんの少し変えてみよう．
最初はすべてのバケツが空で，
左の水車は２度回ったところから
始まるが，右の水車は1.9996度
回ったところから始まる．
この差を計るためには
精巧な顕微鏡が必要だ．
そうだ…初期条件への
鋭敏な依存性がよくわかる．
しばらくすると
２つの水車は全く
異なる動きをしている．
この水車がローレンツの言う
統計的な性質を持っているかどうか見てみよう．
２つの水車は
ほとんど同じ点から出発する．
速度を計ってみよう．
１秒間に25回，
5000秒間，
全部で125000回の測定だ．
測定するたびに，
水車の角速度を記録する．
全く単純に
統計学でするように
分布を表す
棒グラフを描くのだ．
速度について
35の同じ長さの
小区間に分けて，
何回速度が
この区間に入るかを
数えてみた．
結果はこうだ：
いくつかの区間には
他の区間よりたくさん入っている．
２つの水車は全く
異なる動きをしている：
初期条件への
鋭敏な依存性が見られる．
しかし，
２つの測定値の列は
異なっているが，
統計的には同じである．
棒グラフは，
同じものに収束している．
そうなっているのだ！
ローレンツの主張は正しいようだ．
軌道の将来についての統計量が
初期値にほとんど依存しないとき，
ダイナミックスはＳＲＢ測度，
シナイ・ルエル・ボーエン測度を持つという．
気象予報士の目標は，
この統計量を求めることだ．
例えば，ローレンツの方程式の
座標の１つが表す気温の
時間変化を考えよう．
水車のときにしたように，
棒グラフを描く．
気温についての各小区間に対し，
観測値がその小区間に
入る割合を描く．
全く異なる
４つの軌道を考えても，
長い時間の後には，
棒グラフはほとんど同じになる．
ローレンツ・アトラクタはＳＲＢ測度を持つのだ．
温度は不規則に変化しているようだが…
それは定まった確率のもとで
変化している．
さて，数学的にも物理学的にも
たくさんの課題が残っている．
何か役に立つことを述べるためには，
この確率やこの分布を
求めなければならない！
ローレンツが，単に
未来は現在に大きく依存していると
言っただけではないことは，よくわかったと思う．
彼以前の多くの人々もそれは言っていた．
彼の貢献は，それだけではなく，
いや，こちらのほうが大きいとも言えるが，
統計的な問題と考え直せば，
これからも科学は
予言を続けられることを示したことだ．