CAOS 8- Il mulino di Lorenz
Ascoltiamo Edward Lorenz che ci precisa
la sua concezione del caos in tre punti.
«Se un solo batter d'ali di una farfalla
può scatenare un uragano,
uguale sarà per i battiti
della stessa farfalla che seguono e che precedono
così come per il batter d'ali
dei milioni di altre farfalle,
senza parlare delle attività
delle innumerevoli creature più imponenti,
in particolare della specie umana.»
Questo primo punto, lo abbiamo già visto,
è ben compreso dal grande pubblico.
«Se un battere di ali di una farfalla
può scatenare un uragano,
può anche certo impedirlo.»
Eh sì!
Ma è il terzo punto
che è il più importante,
quello che dà lavoro agli scienziati.
«Più in generale,
propongo che con lo scorrere degli anni,
le piccole modificazioni né aumentano
né diminuiscono la frequenza
degli avvenimenti climatici come gli uragani.
La sola cosa che possono fare,
è modificare l'ordine in cui
questi avvenimenti si riproducono.»
Torniamo al modello di Lorenz.
Ricordatevi che ogni punto
rappresenta uno stato dell'atmosfera.
In certe zone, c'è bel tempo
e in altre, c'è l'uragano.
Supponiamo che la zona
che corrisponde all'uragano
sia questa piccola palla.
Prendiamo una condizione climatica iniziale
e osserviamo la traiettoria.
Di tanto in tanto,
quando la traiettoria penetra nella palla,
un uragano si scatena.
Contabilizziamo la proporzione di tempo
tra 0 e t in cui infuria un uragano.
Vedete, sembra difficile indovinare
in quale preciso istante
la traiettoria entri nella palla.
Ma constatiamo che il tempo medio
di passaggio nella palla
converge ad un limite,
quando t tende all'infinito.
Qui, quasi il 5,1%.
Adesso, prendiamo un'altra condizione iniziale
e facciamo lo stesso calcolo.
Ebbene, qua ancora, vediamo
che il tempo di passaggio
tende in media ad un limite.
Oh, ma che sorpresa!
Constatiamo che questo limite
è lo stesso di prima, quasi il 5,1%.
Proviamo con un'altra traiettoria.
Funziona!
Si ottiene lo stesso limite.
E pertanto le traiettorie
seppur molto diverse,
sono sensibili alle condizioni iniziali,
alle ali della farfalla.
Prendiamo un'altra palla,
rosa magari, ed una terza, verde.
Magari i periodi di afa o di neve?
Mentre la traiettoria si sviluppa,
attraversa le palle in un certo ordine.
Per vedere quel che succede,
consideriamo tre traiettorie
partendo da tre condizioni iniziali diverse.
Guardate!
Sulle traiettorie,
le situazioni uragano-neve-afa
si alternano in modo incomprensibile,
diverse da una traiettoria all'altra.
Impossibile da capire.
Ma le proporzioni di giallo, verde e rosa
convergono rapidamente agli stessi limiti:
qui 5,1 14,03 e 7,4%.
Tutto accade come se si tirassero a caso
delle palle gialle, verdi o rosa
con delle probabilità ben precise.
Ascoltiamo di nuovo Lorenz.
«Le piccole modificazioni né aumentano
né diminuiscono la frequenza
degli avvenimenti climatici come gli uragani.
La sola cosa che possono fare
è modificare l'ordine in cui
questi avvenimenti si riproducono.»
Ecco un bel enunciato scientifico!
Lo scopo della previsione è cambiato.
Si tratta adesso di cercare di prevedere delle medie,
delle statistiche, delle probabilità.
L'idea è che queste statistiche sono probabilmente
insensibili alle condizioni iniziali:
le farfalle brasiliane non possono farci nulla!
Questa ipotesi, non dimostrata,
cioè che la possibile coesistenza
di un caos di predizione
per il quale i moti futuri
sono sensibili alle condizioni iniziali,
e di una stabilità statistica,
insensibile alle condizioni iniziali,
impiegherà molto tempo ad essere
formulata matematicamente.
Lorenz era probabilmente un po' disturbato
dal lato teorico e piuttosto semplicistico
della sua atmosfera di dimensione 3.
Con l'aiuto di due fisici,
Howard e Markus,
mise a punto un vero sistema fisico,
anche se era ancora un po' approssimativo
e ben lontano dal vero fenomeno meteorologico.
Ecco un mulino.
È formato da una ruota
attorno alla quale sono sospesi
dei secchi d'acqua.
I secchi sono forati sul fondo
e l'acqua scorre, con una velocità che aumenta
con l'alzarsi del livello.
In alto, si trova un rubinetto;
osserviamo il moto.
Il mulino gira un poco a destra,
un po' a sinistra,
e appariamo totalmente incapaci
di prevedere in quale senso girerà
tra qualche secondo.
Il moto sembra totalmente erratico,
imprevedibile... caotico.
C'è un rapporto tra il mulino
e l'attrattore di Lorenz?
Scegliamo tre numeri per descrivere il mulino,
per esempio la velocità angolare
e le due coordinate del suo baricentro.
L'evoluzione di questi numeri disegna
una curva gialla nello spazio.
Incredibile, no?
Il nostro mulino evolve come una farfalla!
Cambiamo impercettibilmente
la posizione iniziale.
Alla partenza, tutti i secchi d'acqua sono vuoti
e la ruota di sinistra è ruotata di 2 gradi,
mentre la ruota di destra
è ruotata solo di 1,9996 gradi.
Ci vorrebbe un super microscopio
per osservare la differenza.
Sì... si vede bene
la dipendenza sensibile alle condizioni iniziali.
Dopo un po',
i due mulini hanno un comportamento
completamente differente.
Vediamo se il mulino verifica
l'affermazione statistica di Lorenz.
I nostri due mulini partono quasi
nella stessa posizione.
Osserviamo le loro velocità,
per esempio 25 volte al secondo,
su 5 000 secondi,
dunque 125 000 osservazioni.
Ad ogni osservazione,
segniamo la velocità di rotazione della ruota.
Un'idea molto semplice è fare
quello che fanno gli statistici:
un diagramma a colonne
per illustrare la distribuzione.
Abbiamo ritagliato 35 intervalli
di stessa lunghezza,
che descrivono la velocità.
E abbiamo contato il numero di volte
che la misura di velocità
si trovava in ognuno di questi intervalli.
Il risultato
è che qualche intervallo
appare più visitato degli altri.
I nostri mulini si comportano
in modo ben diverso:
c'è una dipendenza sensibile
alle condizioni iniziali.
Ma l'osservazione è che
le due sequenze date,
seppur differenti,
sono statisticamente identiche.
I diagrammi a colonne
tendono a diventare identici.
Funziona!
Lorenz pare avere ragione.
Quando la statistica del futuro di una traiettoria
è sensibile alle condizioni iniziali,
si dice che la dinamica possiede una misura
di Sinai-Ruelle-Bowen: una misura SRB.
Il fine del meteorologo consiste allora
nel determinare queste statistiche.
Per esempio, osserviamo l'evoluzione
della temperatura nel corso del tempo,
una delle coordinate nell'equazione di Lorenz.
Disegniamo ancora un diagramma a colonne,
come abbiamo fatto con il mulino.
Per ogni intervallo di temperatura,
notiamo la proporzione di osservazioni
che cadono in questo intervallo.
Se si considerano quattro traiettorie,
assai diverse le une dalle altre,
i diagrammi tendono a diventare identici
dopo un lungo periodo di tempo.
L'attrattore di Lorenz possiede una misura SRB.
Tutto accade come se la temperatura
evolvesse a caso...
ma con delle probabilità ben precise.
Ma resta ancora molto da fare
sul piano matematico e fisico.
Queste probabilità, queste distribuzioni,
bisogna ben trovarle
se si vuole dire qualcosa di utile!
Speriamo di avere reso giustizia a Lorenz
che non si è accontentato di dire
che il futuro dipende fortemente dal presente.
Molti l'avevano detto prima di lui.
Ma il suo contributo è anche,
e forse soprattutto,
di dimostrare che incentrando le proprie ambizioni
attorno a delle questioni statistiche,
si può preservare il carattere predittivo della Scienza.