Κεφάλαιο 8: Ο νερόμυλος του Lorenz
Ακούστε ποια τρία πράγματα έχει να μας πει
ο Ed Lorenz για τη αντίληψή του περί χάους:
«Αν ένα τίναγμα των φτερών μιας πεταλούδας
μπορεί να προκαλέσει κυκλώνα,
το ίδιο μπορούν να κάνουν και όλοι οι προηγούμενοι
και οι επόμενοι χτύποι,
όπως και οι χτύποι
εκατομμυρίων άλλων πεταλούδων,
για να μην αναφέρουμε
και αμέτρητα άλλα πιο ισχυρά πλάσματα,
συμπεριλαμβανομένου και του ανθρώπου.»
(Αυτό το πρώτο, όπως είπαμε
είναι πλήρως κατανοητό από το ευρύ κοινό.)
«Αν ο χτύπος των φτερών της πεταλούδας
μπορεί να προκαλέσει κυκλώνα,
μπορεί εξίσου καλά και να αποτρέψει κυκλώνα.»
Ναι!
Αλλά το τρίτο
είναι το σημαντικότερο,
και αυτό είναι που δίνει δουλειά στους επιστήμονες.
«Γενικότερα,
ισχυρίζομαι ότι με την πάροδο των χρόνων,
αυτές οι μικρές διαταραχές ούτε αυξάνουν
ούτε μειώνουν τη συχνότητα
των διαφόρων καιρικών φαινομένων, όπως οι κυκλώνες.
Το πολύ που μπορούν να κάνουν
είναι να αλλάξουν τη σειρά
με την οποία συμβαίνουν αυτά τα γεγονότα.»
Ας επιστρέψουμε στο μοντέλο του Lorenz.
Θυμηθείτε ότι κάθε σημείο στο χώρο
αναπαριστά μια κατάσταση της ατμόσφαιρας.
Σε κάποιες περιοχές ο καιρός είναι καλός
και σε άλλες φυσάει τυφώνας!
Ας υποθέσουμε ότι η περιοχή
που αντιστοιχεί στον τυφώνα
είναι αυτή η μικρή μπάλα.
Ας πάρουμε μια αρχική κλιματική συνθήκη
και ας παρατηρήσουμε την τροχιά.
Περιστασιακά,
τυχαίνει τυφώνας,
όταν η τροχιά εισχωρεί στη μπάλα
Ας μετρήσουμε το ποσοστό του χρόνου
από το 0 μέχρι το Τ κατά το οποίο φυσάει τυφώνας.
Φαίνεται δύσκολο να μαντέψουμε
τις ακριβείς χρονικές στιγμές
που η τροχιά μπαίνει στη μπάλα,
αλλά διαπιστώνουμε ότι ο μέσος χρόνος
που η τροχιά βρίσκεται μέσα στη μπάλα
συγκλίνει σε ένα όριο,
όταν το Τ τείνει στο άπειρο.
Εδώ είναι 5.1%.
Παίρνουμε τώρα μια άλλη αρχική συνθήκη
και κάνουμε τον ίδιο υπολογισμό.
Λοιπόν, πάλι η τροχιά
περνάει ένα συγκεκριμένο ποσοστό του χρόνου της
μέσα στη μπάλα αλλά...
Ω! Για δείτε!
Βλέπουμε ότι το όριο
είναι το ίδιο με πριν: 5,1% !
Ας το δοκιμάσουμε και με ακόμα μια τροχιά...
Δουλεύει!
Παίρνουμε το ίδιο όριο!
...κι όμως, οι τροχιές
είναι πολύ διαφορετικές, και ευαίσθητες
στις αρχικές συνθήκες
και τα φτερά των πεταλούδων...
Προσθέτουμε ακόμα μια μπάλα,
ίσως ροζ, και μια τρίτη, πράσινη...
Πιθανώς περίοδοι καύσωνα ή χιονιού;
Καθώς εξελίσσεται μια τροχιά,
διασχίζει τις μπάλες με μια συγκεκριμένη σειρά.
Για να δούμε τι θα συμβεί,
ας εξετάσουμε τρεις τροχιές
που ξεκινούν από τρεις αρχικές συνθήκες.
Κοιτάξτε.
Στις τροχιές,
οι καταστάσεις τυφώνας / χιόνι / καύσωνας
εναλλάσσονται με ακατανόητο τρόπο,
διαφορετικό για κάθε τροχιά.
Αδύνατον να το καταλάβουμε.
Οι αναλογίες, όμως, του κίτρινου, του πράσινου και του ροζ
είναι ίδιες για όλες.
Ορίστε: 5,10, 14,0 και 7,40%
Είναι σαν να διαλέξαμε κίτρινες,
πράσινες ή ροζ μπάλες τυχαία,
με σαφώς καθορισμένες πιθανότητες.
Ακούστε πάλι τον Lorenz:
«Μικρές αλλαγές δεν αυξάνουν
ή μειώνουν τη συχνότητα
των διαφόρων καιρικών φαινομένων, όπως οι κυκλώνες.
Το πολύ που μπορούν να κάνουν
είναι να αλλάξουν τη σειρά
με την οποία συμβαίνουν αυτά τα γεγονότα.»
Αυτή είναι μια επιστημονική δήλωση!
Ο σκοπός της πρόβλεψης έχει αλλάξει.
Τώρα προσπαθούμε να προβλέψουμε
μέσους όρους, στατιστικά στοιχεία, πιθανότητες.
Η ιδέα είναι ότι αυτά τα στοιχεία είναι – πιθανώς –
ανεξάρτητα από τις αρχικές συνθήκες
και τα φτερών των Βραζιλιάνικων πεταλούδων!
Αυτή η υπόθεση – μη αποδεδειγμένη –
η πιθανή συνύπαρξη του μετεωρολογικού χάους
όπου οι μελλοντικές κινήσεις
είναι ευαίσθητες στις αρχικές συνθήκες,
και μια στατιστικής σταθερότητας,
ανεξάρτητης των αρχικών συνθηκών,
πήρε πολύ καιρό
για να διατυπωθεί
μαθηματικά.
Ο Lorenz μάλλον ένιωθε λίγη αμηχανία
με την θεωρητική, και τουλάχιστον απλοϊκή,
ατμόσφαιρα του των 3 παραμέτρων.
Με τη βοήθεια δύο φυσικών,
του Howard και του Markus,
ανέπτυξε ένα «πραγματικό φυσικό σύστημα»,
αν και εξακολουθεί να είναι απλοϊκό
και μακρινό από τα πραγματικά καιρικά φαινόμενα!
Να ένας μύλος.
Αποτελείται από έναν τροχό,
με κουβάδες νερό
κρεμασμένους γύρω του.
Οι κουβάδες, βέβαια, έχουν μια τρύπα στον πάτο,
και το νερό τρέχει έξω, τόσο πιο γρήγορα
όσο περισσότερο νερό έχει ο κουβάς.
Ανοίγουμε μια βρύση στην κορυφή
και παρατηρούμε την κίνηση.
Ο μύλος γυρνάει πότε δεξιά
και πότε αριστερά,
και είναι αδύνατον να προβλέψουμε
προς τα που θα γυρίσει
σε λίγα δευτερόλεπτα.
Η κίνηση μοιάζει ακανόνιστη,
απρόβλεπτη, χαοτική.
Αλήθεια, υπάρχει μια σχέση
ανάμεσα στο μύλο και στον ελκυστή του Lorenz;
Ας επιλέξουμε τρεις αριθμούς
για να περιγράψουμε το μύλο, π.χ. τη γωνιακή ταχύτητα
και τις δύο συντεταγμένες του κέντρου βάρους του.
Η εξέλιξη αυτών των αριθμών
διαγράφει μια κίτρινη καμπύλη στο χώρο.
Απίστευτο, δεν είναι;
Ο μύλος μας κινείται σαν... πεταλούδα!
Ας αλλάξουμε την αρχική θέση
απειροελάχιστα.
Στην αρχή όλοι οι κουβάδες είναι άδειοι
και ο αριστερός τροχός είναι περιστραμμένος κατά 2 μοίρες,
ενώ ο δεξιός
μόνο κατά 1,9996 μοίρες.
(θα χρειαζόμασταν ένα καλό μικροσκόπιο
για να καταλάβουμε τη διαφορά).
Ναι, υπάρχει σαφώς
μια «ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες»!
Μετά από λίγο οι δύο μύλοι
έχουν συμπεριφορά
τελείως διαφορετική.
Ας δούμε αν η στατιστική πρόταση
του Lorenz ισχύει για το μύλο.
Οι δύο μας μύλοι ξεκινάν
από σχεδόν την ίδια θέση.
Ας μετρήσουμε τις ταχύτητές τους:
ας πούμε 25 φορές το δευτερόλεπτο
για 5.000 δευτερόλεπτα,
οπότε 125.000 παρατηρήσεις.
Σε κάθε παρατήρηση
σημειώνουμε τη γωνιακή ταχύτητα του τροχού.
Μια απλή ιδέα είναι να κάνουμε
αυτό που κάνουν οι στατιστικολόγοι:
Ένα διάγραμμα με μπάρες
που να δείχνει την κατανομή.
Χωρίζουμε 35 διαστήματα
ίσου μήκους
που αντιστοιχούν στην ταχύτητα
και μετράμε πόσες φορές
η μετρούμενη ταχύτητα
έπεσε μέσα στο κάθε διάστημα.
Ορίστε το αποτέλεσμα.
Μερικά διαστήματα φαίνονται
πιο πολυσύχναστα από άλλα.
Οι δύο μύλοι μας συμπεριφέρονται
με πολύ διαφορετικό τρόπο.
Υπάρχει μια ευαίσθητη εξάρτηση
από τις αρχικές συνθήκες.
Αλλά η ουσία είναι
ότι τα δύο σύνολα μετρήσεων,
αν και διαφορετικά,
είναι στατιστικά πανομοιότυπα.
Τα διαγράμματα με τις μπάρες
τείνουν να γίνουν πανομοιότυπα.
Δουλεύει!
Ο Lorenz φαίνεται να έχει δίκιο!
Όταν τα στατιστικά μεγέθη του μέλλοντος μια τροχιάς
είναι ανεξάρτητα από τις αρχικές συνθήκες
λέμε ότι οι δυναμικές έχουν μέτρο
Sinai-Ruelle-Bowen, ή μέτρο SRB.
Ο σκοπός της πρόγνωσης, λοιπόν,
είναι να καθορίσουμε αυτά τα στατιστικά μεγέθη.
Για παράδειγμα, ας παρατηρήσουμε
την εξέλιξη της θερμοκρασίας με το χρόνο,
μιας από τις παραμέτρους στην εξίσωση του Lorenz.
Σχεδιάζουμε ακόμα ένα διάγραμμα με μπάρες,
όπως κάναμε και με το μύλο.
Για κάθε περιοχή θερμοκρασίας
σημειώνουμε το ποσοστό των μετρήσεων
που ανήκουν σ΄ αυτό το φάσμα.
Ακόμα κι αν πάρουμε τροχιές
που διαφέρουν αρκετά μεταξύ τους,
μετά από λίγο τα διαγράμματα
τείνουν να γίνουν ολόιδια.
Ο ελκυστής του Lorenz έχει μέτρο SRB.
Είναι σαν η θερμοκρασία
να αλλάζει τυχαία
...αλλά με πολύ συγκεκριμένες πιθανότητες.
Ωστόσο, πολλά πρέπει ακόμα να γίνουν
σχετικά με τα μαθηματικά και τη φυσική.
Πρέπει να βρούμε αυτές τις πιθανότητες
και τις κατανομές
για να μπορούμε να πούμε κάτι χρήσιμο!
Ελπίζω να βάλαμε ασπροπρόσωπο
τον Lorenz, που δεν είπε απλώς
ότι το μέλλον εξαρτάται πολύ από το παρόν.
Πολλοί το είχαν πει αυτό και πριν απ’ αυτόν.
Η σημαντικότερη συνεισφορά του
ήταν να μας δείξει ότι, αν η Επιστήμη
επικεντρώσει τις φιλοδοξίες της
σε θέματα στατιστικής,
μπορεί ακόμα να κάνει προβλέψεις.