CAOS, Capítulo 8. El molino de Lorenz
Escuchemos a Edward Lorenz precisar,
en tres puntos, su idea del caos:
«Si un solo aletear de las alas de una mariposa
puede generar un huracán,
lo mismo es cierto para los aleteos previos
y posteriores de la misma mariposa,
así como el aletear
de otros millones de mariposas,
sin hablar de las actividades
de innumerables criaturas más poderosas
y, en particular, de nuestra especie.»
Este primer punto, como ya lo vimos,
es bien comprendido por el público en general.
«Si el aleteo de una mariposa
puede desatar un huracán,
puede ser también decisivo para impedirlo.»
¡Por supuesto!
Pero el tercer punto
es el más importante,
y es el que da trabajo a los científicos:
«Más generalmente,
propongo que, al pasar de los años,
las pequeñas modificaciones no aumentan
ni disminuyen la frecuencia
de los fenómenos climáticos como los huracanes.
Lo único que pueden cambiar
es el orden en el que estos fenómenos
se producen.»
Volvamos al modelo de Lorenz.
Recuerda que cada punto del espacio
representa un estado de la atmósfera.
Algunas zonas corresponden a un buen clima
y, otras, a un clima huracanado.
Supongamos que esta pequeña bola
representa la zona
donde hay un huracán.
Tomemos una condición climática inicial
y observemos su trayectoria.
De tanto en tanto,
cuando la trayectoria entra en la bola,
se produce un huracán.
Midamos la proporción de tiempo,
entre 0 y t, en la que sopla el huracán.
Parece difícil adivinar
el momento preciso en el que
la trayectoria entra en la bola,
pero el tiempo promedio
que pasamos en ella
converge a un límite
cuando t va hacia el infinito.
Aquí, aproximadamente, el 5,1% del tiempo.
Ahora, tomemos otra condición inicial
y hagamos el mismo cálculo.
Vemos aún que
el tiempo de estancia en la bola
tiende, en promedio,
a un límite...
¡Ajá!
Este límite es el mismo que antes: 5,1%
Intentemos con otra trayectoria.
¡Funciona!
¡Obtenemos el mismo límite!
Y sin embargo, las trayectorias
son muy diferentes,
son sensibles a las condiciones iniciales,
a las alas de las mariposas.
Pongamos otra bola, rosa,
y otra más, verde,
quizás representando la nieve y la canícula.
Mientras una trayectoria se desarrolla,
atraviesa las bolas en un cierto orden.
Para ver qué pasa,
consideremos tres trayectorias
partiendo de tres condiciones iniciales diferentes.
Observa.
En las trayectorias,
las situaciones huracán-nieve-canícula
se alternan de una manera incomprensible,
diferente de una trayectoria a otra.
Imposible de entender.
Pero las proporciones de amarillo, verde y rosa
convergen rápidamente hacia los mismos límites.
Aquí, 5,10, 14,03 y 7,40%.
Todo sucede como si, al azar,
eligiéramos bolas amarillas, verdes o rosas
con probabilidades bien precisas.
Escuchemos de nuevo a Lorenz:
«Las pequeñas modificaciones no aumentan
ni disminuyen la frecuencia
de los fenómenos climáticos como los huracanes.
Lo único que pueden hacer
es cambiar el orden en el que
estos fenómenos se producen.»
¡Ésta es una afirmación científica!
El objetivo de la predicción ha cambiado.
Ahora se trata de intentar predecir promedios,
estadísticas, probabilidades.
La idea es que estas estadísticas son, quizás,
insensibles a las condiciones iniciales
y a los aleteos de las mariposas brasileñas.
Esta hipótesis, no demostrada,
la de la posible coexistencia
de un caos meteorológico
donde los movimientos futuros
son sensibles a las condiciones iniciales
y de una estabilidad estadística,
insensible a las condiciones iniciales,
demoró un tiempo antes de
ser formulada matemáticamente.
Lorenz estaba probablemente un poco apenado
por la excesiva simplicidad (por decir lo menos)
de su modelo atmosférico de dimensión 3.
Con la ayuda de dos físicos,
Howard y Markus,
ingenió un sistema físico real,
aunque aún simple y aún lejano
del verdadero fenómeno meteorológico.
He aquí un molino.
Consiste de una rueda
alrededor de la cual están suspendidos
cubos de agua.
Los cubos tienes agujeros por debajo,
por los que el agua se escapa,
más rápido mientras mayor sea el nivel de agua.
Hasta arriba, abrimos una llave
y observamos el movimiento.
El molino gira, a veces a la izquierda
y a veces a la derecha
y parecería que somos incapaces
de predecir el sentido en el cual girará
dentro de algunos segundos.
El movimiento parece totalmente errático,
impredecible, caótico.
¿Hay alguna relación entre el molino
y el atractor de Lorenz?
Elijamos tres números para describir el molino,
por ejemplo, la velocidad angular
y las dos coordenadas de su centro de gravedad.
La evolución de estos números dibuja
una curva amarilla en el espacio.
Increíble, ¿no?
Nuestro molino se mueve... ¡como una mariposa!
Cambiemos imperceptiblemente
nuestra condición inicial.
Al principio los dos cubos están vacíos.
La rueda de la izquierda está rotada dos grados,
mientras que la de la derecha
sólo está rotada 1,9996 grados.
Haría falta un microscopio
para notar la diferencia.
Bien, observamos
la dependencia sensible a las condiciones iniciales.
Después de cierto tiempo,
ambos molinos tienen comportamientos
completamente diferentes.
Veamos si el molino satisface
la afirmación estadística de Lorenz.
Nuestros dos molinos parten
casi de la misma posición.
Midamos sus velocidades
unas 25 veces por segundo
durante 5000 segundos,
esto es, 125 000 observaciones.
En cada observación,
anotemos la velocidad de rotación de la rueda.
Una idea sencilla es hacer
lo que hacen los estadísticos:
un diagrama de barras
para ilustrar la distribución.
Hemos partido el rango de velocidades
en 35 intervalos
de la misma longitud
y hemos contado el número de veces
donde la velocidad estaba
en cada uno de esos intervalos.
He aquí el resultado.
Algunos intervalos
parecen ser más visitados que otros.
Nuestros dos molinos se comportan
de maneras muy diferentes.
Hay una dependencia sensible
a las condiciones iniciales.
Pero la observación es que
las dos series de datos,
aunque diferentes,
son estadísticamente idénticas.
Los diagramas de barras
tienden a volverse idénticos.
¡Funciona!
¡Parece que Lorenz tiene razón!
Cuando la estadística del futuro de una trayectoria
es insensible a las condiciones iniciales,
decimos que la dinámica posee
una medida de Sinai-Ruelle-Bowen, una medida SRB.
El objetivo de la de predicción se vuelve, entonces,
determinar estas estadísticas.
Por ejemplo, observemos la evolución de la temperatura,
una de las coordenadas de la ecuación de Lorenz,
a lo largo del tiempo.
Dibujamos una vez más un diagrama de barras,
como lo hicimos con el molino.
Para cada intervalo de temperatura,
anotamos la proporción de observaciones
que caen en ese intervalo.
Aun si consideramos trayectorias
muy diferentes entre sí,
los diagramas tienden a volverse idénticos
después de un largo periodo.
El atractor de Lorenz posee una media SRB.
Todo sucede como si la temperatura
evolucionara al azar,
pero con probabilidades precisas.
Queda mucho por hacer,
tanto en Matemáticas como en Física.
Hay que encontrar
estas distribuciones, estas probabilidades,
si queremos decir algo útil.
Esperamos haber hecho justicia a Lorenz,
quien no se contentó con decir
que el futuro depende fuertemente del presente.
Muchos antes que él ya lo habían dicho.
Su contribución es, también
(y quizás, sobre todo),
mostrar que,
centrándonos en preguntas estadísticas,
podemos preservar el carácter predictivo de la Ciencia.