CHAOS8- Die Lorenz-Mühle
Edward Lorenz erklärt uns seine
Vorstellung des Chaos von drei Punkten.
«Wenn ein einziger Schmetterlingsflügelschlag
einen Orkan auslösen kann,
ist es genau so für die Schläge, die von
demselben Schmetterling vorhergehen und folgen,
sowie die Flügelschläge von
Millionen anderer Schmetterlinge,
ohne zu sprechen über die Einflüsse
unzähliger mächtigerer Wesen,
insbesondere menschlicher Art.»
Wir haben diesen ersten Punkt schon gesehen
und er wird allgemein gut verstanden.
«Wenn ein Schmetterlingsflügelschlag
einen Orkan auslösen kann,
kann er auch einen verhindern.»
Oh ja !
Aber der dritte Punkt,
der auch der wichtigste ist, ist derjenige,
der den Wissenschaftlern Arbeit gibt.
«Ich behaupte, dass
allgeimeiner mit vergehender Zeit
die kleinen Veränderungen die Häufigkeit von
Wetterereignissen wie Orkanen
weder erhöhen noch senken.
Was als einziges sein kann, ist
eine Änderung der Reihenfolge,
in der diese Phänomene ablaufen.»
Kommen wir zum Lorenz-Modell zurück.
Zur Erinnerung: Jeder Punkt stellt
einen Zustand der Atmosphäre dar.
In manchen Zonen ist gutes Wetter
und in anderen gibt es den Orkan.
Angenommen die Zone, die
dem Orkan entspricht,
sei diese kleine Kugel.
Nehmen wir unsere Klima-Anfangsbedingung
und beobachten wir die Bahn.
Manchmal bildet sich
ein Orkan, wenn
die Bahn in die Kugel eintritt.
Tragen wir die relative Zeit zwischen
0 und t auf, in der sich ein Orkan ereignet.
Sehen Sie, es scheint schwer zu raten,
in welchen genauen Augenblicken
die Bahn in die Kugel eintritt.
Aber wir stellen fest, dass die mittlere
Zeit des Durchschreitens der Kugel
gegen einen Grenzwert konvergiert,
wenn t gegen unendlich strebt.
Hier ungefähr 5,1%.
Nehmen wir nun eine andere Anfangsbedingung
und machen wir die gleiche Berechnung.
Schön, auch dort sehen wir,
dass die Durchgangszeit
gegen einen Grenzwert konvergiert.
Aber, eine Überraschung !
Wir bemerken, dass dieser Grenzwert
der gleiche wie vorher ist, ungefähr 5,1%.
Versuchen wir es mit noch einer Bahn.
Es funktioniert !
Wir bekommen den gleichen Grenzwert.
Und dennoch sind die Bahnen
sehr verschieden, sie sind
empfindlich auf die Anfangsbedingungen,
auf Schmetterlingsflügel.
Nehmen wir eine andere Kugel,
rosa etwa, und eine dritte, grüne.
Vielleicht Phasen von Hitze oder Schnee ?
Wenn sich eine Bahn entwickelt, durchläuft sie
die Kugeln in einer gewissen Reihenfolge.
Um zu sehen, was passiert,
betrachten wir drei Bahnen
zu drei verschiedenen Anfangsbedingungen.
Schauen Sie !
Auf den Bahnen wechseln
sich die Situationen Orkan-Schnee-Hitze
in einer unverständlichen Weise ab,
eine Bahn verschieden von der anderen.
Unmöglich zu verstehen !
Aber die Proportionen von Gelb, Grün und Rosa
konvergieren schnell gegen ihre Grenzwerte :
hier 5,1 14,03 und 7,4%.
Alles passiert, als ob wir die
gelbe, grüne oder rosa Kugel zufällig
mit einer festen Wahrscheinlichkeit ziehen würden.
Hören wir wieder Lorenz.
«Die kleinen Veränderungen senken
oder erhöhen nicht die Häufigkeit
Was als einziges sein kann,
ist eine Änderung der
Reihenfolge, in der
diese Phänomene ablaufen.»
Hier ist eine wissenschaftliche Erkenntnis !
Das Ziel der Vorhersage hat sich geändert.
Es geht um einen Versuch, Mittelwerte vorherzusehen,
Statistik und Wahrscheinlichkeiten.
Die Idee ist, dass diese Statistiken vielleicht
unempfindlich auf Anfangsbedingungen sind :
Brasilianische Schmetterlinge können nichts tun !
Diese lange nicht gezeigte Hypothese,
das mögliche Nebeneinander
eines meteorologischen Chaos,
für das die zukünftigen Bewegungen
auf Anfangsbedingungen empfindlich sind,
und der statistischen Stabilität,
unempfindlich auf Anfangsbedingungen,
stand lange vor ihrer
mathematischen Formulierung.
Lorenz war wahrscheinlich etwas verlegen
durch die theoretische Seite und
seine vereinfachte dreidimensionale Atmosphäre.
Mit der Hilfe zweier Physiker,
Howard und Markus,
hat er ein echtes physikalisches System erweckt,
obwohl es noch etwas vereinfacht ist
und wohl weit von echten Wetterphänomenen.
Hier ist eine Mühle.
Sie besteht aus einem Rad,
um das Wassereimer rund herum
aufgehängt sind.
Die Eimer haben unten ein Loch
und das Wasser strömt aus,
je höher der Pegel, desto schneller.
Ganz oben drehen wir einen Hahn auf
und wir beobachten die Bewegung.
Die Mühle dreht sich manchmal nach rechts,
manchmal nach links,
und es scheint uns völlig unmöglich vorherzusagen,
in welche Richtung sie sich
in ein paar Sekunden dreht.
Die Bewegung erscheint völlig wirr,
unvorhersehbar... chaotisch.
Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Mühle
und dem Lorenz-Attraktor ?
Wählen wir drei Zahlen zur Beschreibung der Mühle,
etwa die Winkelgeschwindigkeit
und die zwei Koordinaten ihres Schwerpunkts.
Der Verlauf dieser Zahlen zieht
eine gelbe Kurve im Raum.
Unglaublich, nicht ?
Unsere Mühle entwickelt sich wie ein Schmetterling !
Ändern wir unmerklich
die Anfangsposition.
Am Anfang sind alle Eimer leer
und das linke Rad ist um 2 Grad gedreht,
während das rechte Rad nur um
1,9996 Grad gedreht ist.
Wir bräuchten ein hochwertiges Mikroskop
zur Feststellung des Unterschieds.
Ja... wir beobachten gut die
empfindliche Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen.
Nach einiger Zeit
haben beide Mühlen ein sehr
verschiedenes Verhalten.
Sehen wir, ob die Mühle die statistische
Behauptung von Lorenz bestätigt.
Unsere beiden Mühlen starten fast
in der gleichen Stellung.
Beobachten wir ihre Geschwindigkeiten,
zum Beispiel 25-mal pro Sekunde,
über 5 000 Sekunden,
also 125 000 Beobachtungen.
Bei jeder Beobachtung notieren
wir die Drehgeschwindigkeit des Rads.
Eine sehr einfache Idee macht,
was Statistiker tun :
ein Balkendiagramm,
um die Verteilung abzubilden.
Wir haben 35 gleich lange
Intervalle ausgeschnitten,
die die Geschwindigkeit beschreiben.
Und wir haben die Male gezählt,
wo der Messwert der Geschwindigkeit
im jeweiligen Intervall war.
Hier ist das Ergebnis :
Manche Intervalle sehen
besuchter aus als andere.
Unsere Räder verhalten sich
auf wohl verschiedene Weise :
Es gibt eine empfindliche Abhängigkeit
von den Anfangsbedingungen.
Aber die Beobachtung ist, dass
die beiden wohl verschiedenen
Datensätze statistisch
identisch sind.
Die Balkendiagramme streben an,
identisch zu werden.
Es geht !
Lorenz hat wohl recht.
Wenn die Statistik der Zukunft einer Laufbahn
unempfindlich auf Anfangsbedingungen ist,
sagt man, dass die Dynamik ein
Sinaï-Ruelle-Bowen-Maß hat: ein SRB-Maß.
Das Ziel der Prognosen besteht also
darin, die Statistik zu beschreiben.
Betrachten wir etwa die Entwicklung
der Temperatur mit laufender Zeit,
eine der Koordinaten der Lorenz-Gleichung.
Wir zeichnen wieder ein Balkendiagramm,
wie wir es mit der Mühle getan haben.
Für jedes Temperaturintervall
notieren wir den Anteil an Beobachtungen,
die in dieses Intervall fallen.
Wenn wir vier Bahnen betrachten,
paarweise hinreichend verschieden,
so tendieren die Diagramme nach langer
Zeit dazu, gleich zu werden.
Der Lorenz-Attraktor hat ein SRB-Maß.
Es ist so, als ob sich die Temperatur zufällig
entwickeln würde ...
aber mit genau gegebenen Wahrscheinlichkeiten.
Aber es bleibt viel zu tun
bei den Mathematikern und Physikern.
Diese Wahrscheinlichkeiten, diese Verteilungen,
man muss sie genau untersuchen,
um etwas sinnvolles sagen zu können !
Hoffentlich haben wir Lorenz gewürdigt,
der sich nicht bewusst ist zu sagen,
dass die Zukunft stark von der Gegenwart abhängt.
Viele haben es vor ihm gesagt.
Aber sein Beitrag ist auch,
und vielleicht gerade,
dass wir mit dem Treffen an seinen
Ehrgeiz an statistischen Fragen
eine vorhersagende Art der wissenschaft erhalten können.