CHAOS7- 蝴蝶效應
當我們觀察到
大氣的運動
我們很快就意識到
這比太陽系的運動
還要複雜無數倍
大氣是個流體
在地球上的每個點
以及每個高度
都有包含速度、密度
壓力、溫度等等的資訊
所有這一切都隨著時間變化
我們當然無法想像
去知道所有這些
多到數不清的量
這就好比我們置身於
無窮維度的空間中
為了能從中理解一些事情
我們必須做些近似估計
1963年
愛德華·勞侖次將問題
簡化、簡化、再簡化
簡化到
沒有人能保證
他的方程式和現實世界
有任何關係
他的大氣模型
簡化到
只用三個變數x、y、z
和一個微小的方程式
來模擬大氣的演變
每個空間中的點(x,y,z)
都象徵著一個大氣狀態
這些點沿著向量場移動
刻畫出狀態的演化
舉個例子
不過這僅僅是個假設
第一個座標
可以代表溫度
第二個座標可以代表風速
第三個代表溼度
這點代表的狀態
天氣寒冷、颳風又下雨
這點代表的天氣，則完全相反
當我們沿著向量場的軌跡前進
我們同時也依循著天氣的演變
因此專家預測天氣
只需要解這個微分方程
當勞侖次觀察他的模型
他看到這個
這一切是否和真實的天氣
有任何關係？
一點也不清楚！
這是物理學家
常稱為的玩具模型
為了嘗試瞭解
一個複雜現象的
主要脈絡
事實上，以下才是勞侖次
當時看到的電腦圖像
因為1963年代的電腦
還是非常原始的
考慮兩個大氣狀態
分別由這兩顆球的中心表示
它們極為靠近
代表兩個幾乎相同的天氣
讓我們來觀察它們各自的未來
一開始，它們的演變過程
還是無法區分的
不過到後來
它們就以顯著的方式分開了：
兩種天氣
變得完全不同
這就是混沌現象：對初始條件
敏感的依賴性
1972年，勞侖次必須在一場重要的研討會上
發表他的成果
不過他遲遲沒有給出演講標題
主辦單位為了能儘快
寄發程序單給參加者
於是徑自幫勞侖次擇了講題：
「可預測性：
一只在巴西振翅的蝴蝶
能否引起一場德州的龍捲風？」
蝴蝶效應，就這麼誕生了
一個數學概念
能夠滲透到大眾意識裡
很可惜地，實在太罕見了
這麼小的一隻蝴蝶，如此脆弱
卻對世界有如此的影響力
多麼有詩意的畫面
這個想法轟動了全世界
也漸漸產生出不同的版本
它始終是一隻蝴蝶
但有時它來自非洲
有時來自中國
而它卻要為
紐約或芝加哥的災難負責
很有趣吧
有些電影、文學、和音樂
也引用了這個想法
有數不清的電影劇情
都本於這個原則
情感交錯的電影「火線交錯」
由阿利安卓·崗札雷·伊納利圖執導
於2006年上映
一場摩洛哥的槍擊案
不重要的一起事件
卻將改變
一對美國夫婦
一個墨西哥保姆
和一個日本女孩的命運
環環相扣的小事件
最終導致重大的後果
電影反思了人類的命運
終究是交托於隨機？抑或是必然手中？
可惜，勞侖次的訊息
只有一半
真正進入到公共意識裡
混沌理論
是否只告訴我們
實際上我們根本無法預測未來呢？
科學家難道能夠滿足於
如此消極的結果嗎？
勞侖次所傳達的訊息
比這豐富許多
畫面上我們將看到
兩道勞侖次系統裡的軌跡
分別用藍色和黃色表示
注意到我們並不假設
它們有相近的初始條件
讓我們擦掉
前面十幾秒的軌跡
並觀察接下來的狀況
我們看到了什麼？
我們看到這兩道軌跡
的確非常不同
它們似乎不遵循任何規則
同時也難以預測
不過它們卻都聚集在
同一個蝴蝶形狀的物體上
而這個物體
似乎獨立於軌跡的初始條件
兩道軌線似乎被這隻蝴蝶吸引
正因如此，我們將這隻蝴蝶稱為
勞侖次吸引子
這是個奇異的吸引子
這是個正面的科學現象
只可惜它不像蝴蝶效應一樣出名
與其只觀察兩道軌跡
不如來看看更多的
看看這些小球
每顆球都代表著理想化的大氣狀態
一段時間過後
它們將全部聚集在
同一片蝴蝶上
好漂亮的一隻蝴蝶
永遠令我們看不膩
這就是一般數學家和科學家
真正處理的問題
我們不再描述
給定確切初始條件下的未來
因為我們知道那是不切實際的幻想
我們開始嘗試描述吸引子
它會是什麼樣子？
內在的動態系統又是如何？
1970年代
柏曼、古根海墨、和威廉斯
µ 提出了一個簡單的模型
用來嘗試瞭解
勞侖次吸引子
這是一張紙條
我們將它摺疊、剪開、再重新黏回
於是我們得到一個形狀非常奇特的紙片
讓我們站在起跑線上
出發囉！
車子往前開，行駛幾秒鐘後
我們又回到起跑線上
不過我們會來到新的點
從這點出發，會是另一條新的路線
起跑線上的位置
由一個介於0和1中間的數字x表示
0代表左邊的端點
0.5在中間，1在右邊的端點
從x點出發
如果x小於0.5，那麼回程點會是2x
如果x大於0.5，回程點就會是2x-1
換句話說
每當車子回到起跑線
碰到的新起點
都會是前一次的兩倍
除非翻倍結果大於1
才需要在最後減去1
這有點像之前的馬蹄鐵：
我們將隨著時間連續變換的動態系統
替換成隨著離散時間變換的動態系統：
也就是依序穿過的新起點
你瞧
我們從1/3出發
到達2/3
接著4/3，但我們必須減去1
得到1/3：
繞了兩圈之後
我們又回到了起點
這是個週期為2的軌道
這是一個...
週期為18的軌道
這個週期軌道
按照一定順序
陸續行駛於
左側耳和右側耳
啊！我們能夠證明
所有的左右順序都是可能的
當然，這些順序
不一定要是週期性的
對於任意一串無限長
由「左」和「右」構成的序列
都存在一條軌線
使其遵循這個規則繞行
勞侖次的模型
和這個紙條之間的關係到底是甚麼？
嗯，這要等到2001年
才由數學家塔克證明
紙條模型
的確刻劃了勞侖次的運動
對於每道勞侖次吸引子上的軌跡
我們都能找到一道紙條上的軌跡
使得這兩道軌跡的行為
完全一致
理解天氣的變化
是否能簡化成
不斷將介於0和1之間數字乘上2
並在結果大於1時
減去1的過程？
當然不行
這還是太簡化了
但它說明了一個現象
簡單的事情嗎？
數學家就是喜歡！
為什麼蝴蝶效應理論
會如此成功？
也許因為它恢復了
個體的自由
牛頓遺留下來的冰冷的決定論
可能會導致某種宿命論
而勞侖次的蝴蝶說明
即便我們再渺小
還是能夠對這個世界產生影響
這真是個好消息！