CHAOS7蝴蝶效应
当我们观察
大气的动态，
我们很快就会意识到，
这比太阳系的运动
要复杂无数倍。
大气是一个流体。
在地球上的每个点
以及其上每个高度
都有包含速度、密度
压力和温度等等的资讯。
所有这一切都随着时间在变化。
要同时知道这些
多到数不清的量，
这当然是不可想象的。
这就好比我们置身于
一个无穷维度的空间中。
为了能从中理解一些事情，
必须要做些近似估计。
1963年，爱德华·洛伦兹
把问题简化，简化，
再简化。
简化到最后，
没有人能保证
他的方程与现实世界
有任何关系。
他的大气模型
简化到
只用三个变数 x，y，z，
和一个微小的方程，
来模拟大气的演变。
每一个点（x，y，z）
代表着一个大气状态。
这些点沿着方程所指定的向量场移动
同时刻画出状态的演化。
举例来说，可以假设，
但这仅仅是一个假设，
第一坐标，x，
代表温度，
第二坐标y代表风速
而第三坐标z 则代表湿度。
这点表示，天气寒冷
刮风和下雨。
这点则代表完全相反的天气。
当我们沿着向量场的轨迹前进
我们正是在依循着天气的演变。
因此专家预测天气
只需解这个微分方程。
当洛伦兹观察他的模型时，
这一切， 是否对应
真实的天气？
不是很清楚！
这是个物理学家称为的，
玩具模型，
用来试着理解
一个复杂现象的主要脉络。
事实上，洛伦茨看见的
当年的电脑图形
是这个样子的。
因为1963年代的电脑，
还是非常原始的。
考虑两个大气状态，
用两粒滚珠的中心表示。
它们极为靠近，
代表两个几乎相同的天气。
看一下它们各自的未来。
一开始， 它们的演变过程
是无法区分的。
不过到后来
它们显著地分离开了：
两种天气
变得完全不同。
这就是混沌现象：对初始条件的
敏感依赖性。
1972年，洛伦兹需在一重大研讨会上
介绍他的工作。
但是他迟迟没有给出
他的演讲标题。
急于散发会议程序的组织者们，
就自作主张
替他拟定了一个讲题：
“可预测性：
一只蝴蝶在巴西搧动了一下翅膀，
能否诱发一场德州的龙捲风？
蝴蝶效应的概念，由此诞生。
这个数学概念
已经渗透到大众意识里。
很可惜地，这样的例子实在罕见。
这么小的一只蝴蝶，这么脆弱，
却对世界有如此的影响力
多么有诗意的画面！
这个想法引起了很大轰动，
并渐渐衍生出不同的版本。
它始终是一只蝴蝶
但有时它来自非洲
有时则来自中国。
而它主谋的灾难，
却在纽约...或芝加哥。
很有趣吧...
有些电影，文学和音乐
也引用了这个想法。
有很多的电影剧情
都基于这一理念。
情感交错的电影「火线交错」
由阿加多·岗札雷斯·伊纳利多执导
于2006年上映。
摩洛哥的一次走火，
不重要的一起事件
却将改变一对美国夫妇，
一个墨西哥保姆，
和一个日本女孩
的生活和命运...
环环相扣的小事件，
最终导致重大的后果。
电影反思了人类的命运，
终究是交托于随机？抑或是必然手中？
可惜，洛伦茨的创意，
只有一半
真正进入到公共意识里。
混沌理论
是否仅限于说明
现实中无法预测未来呢？
科学家难道能够满足于
如此消极的结果吗？
洛伦茨所传达的信息，
要比这丰富得多。
这里有洛伦茨系统的
两个路径：
一蓝一黄
它们的始发条件
不一定靠得很近。
让我们擦掉
前面十几秒的轨迹，
并观察接下来的情况。
我们看到了什么？
看到这两条轨迹
的确非常不同。
它们似乎有点
变化无常。
不过它们却都聚集在
同一个形为蝴蝶的物体上。
而这个物体
似乎独立于轨迹的初始条件。
两道轨线似乎被这蝴蝶吸引。
正是因此，我们将这只蝴蝶称为
洛伦茨吸引子，
一个奇异的吸引子。
这是一个正面的科学现象。
只可惜它不像蝴蝶效应那样出名。
与其只观察两个轨迹，
不如来看看更多的。
看这众多的小颗粒
代表着众多的理想化大气状态。
一段时间后，
它们都聚集在
同一只蝴蝶上。
好漂亮的一只蝴蝶，
永远不会让我们产生视觉疲劳。
这才是数学家们，
和科学家们，
真正处理的问题。
我们不再描述
给定确切初始条件下的未来
因为那是不切实际的幻想
我们开始尝试描述吸引子
它会是什么样子？
内在的动力行为又如何？
20世纪70年代，
柏曼、古根海墨、和威廉斯
提出了一个简单的模型
用来尝试解释
洛伦茨吸引子。
这里是一张纸条。
我们将它折叠，剪开再粘上。
它变成一个非常奇特的怪物。
让我们将小车停在起跑线上。
发车！
行驶几秒钟后，
我们又回到起跑线上，不过换了个方位。
从这新的一点出发，
是一条新的路线。
起跑线上的一个点，
可由一个数x表示。
x的值介于0和1之间。
0代表左边的端点，
0.5在中间，1是右边的端点。
从x点出发，
如果x 小于0.5，回程点会是2x，
如果x大于 0.5，回程点则会是2x-1。
也就是说，
每当车子驶回到起跑线
碰到的新的起点值，
都会是上一次的两倍，
但若翻倍后大于1，
则需再减去1。
这有点儿像之前的马蹄铁：
连续时间变换的动态
被替换成一个
随离散时间变换的动态系统：
既起跑线上的依序回归。
看！
从1/3 出发，
到达2/3
然后到达4/3，但我们必须减去1
得到1/3：
绕了两圈之后，
我们又回到了始发点。
这是个周期轨道，
周期为2。
这又是个周期轨道...
周期为18。
而这个周期轨道，
按照一定的顺序，
陆续行驶于
左侧耳和右侧耳。
接下来，可以证明
所有的左右顺序都是可能的。
当然，这些顺序
不一定要是周期性的。
任选一个无限长的
由「左」和「右」构成的序列，
都存在一条轨线
遵循这个规则运行。
洛伦茨模型和这纸条模型之间
有什么具体的关联？
这要等到2001年
才由数学家塔克证明了，
纸条模型
的确刻划了洛伦茨运动：
对于每道
洛伦茨吸引子的路径，
都有一道纸条上的路径，
使得这两条路径的行为
完全一样。
是否这样就可以
把理解天气变化
简化成对一个介于0，1间的数
不断乘2，
并在结果大于1时
减去1 ？
但它说明了一个现象。
简单的事情吗？
数学家就是喜欢！
为什么蝴蝶效应理论
会有如此的成功？
也许是因为它恢复了
我们个体的自由。
牛顿遗留下来的冰冷的决定论，
可能会导致某种宿命论。
而洛伦茨的蝴蝶说明
即便我们再渺小
还是能够对这个世界产生影响。
这真是个好消息！