KAOS - 7. del Učinek metulja
Ko opazujemo gibanje ozračja, hitro ugotovimo
da je neskončnokrat bolj kompleksno od sončnega sistema.
Zrak je tekočina, ki ima v vsaki točki
nad zemeljskim površjem svojo hitrost, gostoto,
pritisk, temperaturo in tako dalje.
Našteto se s časom spreminja.
Seveda ni mogoče poznati vse te neskončne količine podatkov.
To je skoraj tako, kot bi bili v prostoru neskončne dimenzije.
Da bi lahko o tem kaj izvedeli, potrebujemo približke.
Leta 1963 je Edward Lorenz poenostavljal, poenostavljal
in še poenostavljal ta problem.
Poenostavil ga je do stopnje, pri kateri ni mogoče trditi,
da ima njegova enačba še kaj opravka z realnostjo.
Model ozračja je poenostavil na zgolj trojico števil (x,y,z).
in ves razvoj vremena zajel v drobno enačbo.
Vsaka točka (x,y,z) v prostoru predstavlja stanje atmosfere
in njen razvoj sledi vektorskemu polju.
Kot primer si lahko predstavljamo,
da prva koordinata predstavlja temperaturo,
druga hitrost in tretja vlažnost zraka.
Tukaj je mrzlo, veter močan in pada dež.
Tukaj pa velja ravno nasprotno.
Ko sledimo trajektoriji polja, sledimo razvoju vremena.
Napovedovalec mora rešiti le diferencialno enačbo.
To je opazil Lorenz, ko je proučeval svoj model.
Ali ima vse to kaj opraviti z resničnim vremenom?
To nam sploh ni jasno!
Fiziki tovrstne modele pogosto imenujejo igralni modeli,
s katerimi se poskuša razumeti grobe poteze kompleksnega sistema.
V resnici je lahko Lorenz opazoval le tovrstne grafe,
saj je imel njegov računalnik v letu 1963
zelo skromno zmogljivost.
Oglejmo si dve stanji ozračja, predstavljeni s središči krogel,
ki sta tako blizu skupaj, da sta skoraj identični.
Opazujmo, kaj se dogaja z njima.
Na začetku ostaneta krivulji nerazločljivi.
Potem pa se bistveno razideta:
stanji ozračja postaneta povsem različni.
To je kaos: občutljiva odvisnost od začetnih pogojev. Leta 1972 je Lorenz nameraval svoje delo predstaviti na konferenci,
a je zamujal z naslovom svojega predavanja.
Organizator je moral zaključiti program, zato je sam izbral naslov:
»Predvidljivost: Ali lahko zamah metuljevih kril
v Braziliji sproži tornado v Teksasu?«
Tako se je rodil pojem učinek metulja.
Matematični koncepti s strani širše javnosti
pogosto niso dobro razumljeni.
Podoba krhkega metulja, ki vpliva na ves svet,
je zelo pesniška.
Uspešna ideja je bila hitro nekoliko dopolnjena.
Vedno obstaja neki metuljček, a včasih pride iz Afrike ali Kitajske,
odgovoren pa je za nesreče v New Yorku ali v Čikagu.
Zanimivo...
Ta ideja je našla pot v literaturo, glasbo in filme.
Seznam teh filmov je brez konca.
Veliko čustev ima Babel, film iz leta 2006
ki ga je posnel Alejandro González Iñárritu.
Nepomemben incident s streljanjem v Maroku
bo spremenil življenje ameriškega para,
mehiške gospodinjske pomočnice in japonskega dekleta.
Medigra majhnih vzrokov in velikih posledic o tem,
kako naključja določajo človekovo usodo.
Žal pa je le polovica Lorenzovega sporočila
našla pot do širše javnosti.
Ali lahko teorijo kaosa omejimo na trditev,
da v praksi ni mogoče napovedati prihodnosti?
Ali lahko znanstvenik podpiše takšno priznanje neuspeha?
Lorenzovo sporočilo je veliko bogatejše.
Tu sta dve trajektoriji Lorenzovega sistema,
ena modra in druga rumena,
ki ne začneta nujno iz bližnjih začetnih položajev.
Izbrišimo, recimo, prvih deset sekund gibanja
in opazujmo, kaj sledi.
Kaj lahko vidimo?
Da so trajektorije zares zelo različne,
zdijo se nekako nore in precej nepredvidljive.
Toda zberejo se na istem objektu v obliki metulja,
ki ni videti odvisen od začetnega položaja.
Zdijo se, kot da jih privlači ta metuljček.
Zato govorimo o Lorenzovem atraktorju.
Nenavadni atraktor!
To je sedaj pozitiven znanstveni fenomen,
a ne tako slaven kot učinek metulja.
Namesto opazovanja le dveh trajektorij,
si jih oglejmo še veliko več.
Oglejmo si vse te kroglice.
Vsaka predstavlja poenostavljeno stanje ozračja.
Sčasoma se vse zberejo na istem metuljčku.
Zelo lep objekt, ki ga lahko občudujemo v neskončnost.
To so pravi problemi za matematike in za znanstvenike nasploh.
Namesto opisovanja prihodnosti iz danih začetnih pogojev,
kar je brezplodno, kot že vemo,
bomo poskušali opisati atraktor.
Kakšen je videti?
Kako deluje notranja dinamika?
V 1970-tih so Birman, Guckenheimer in Williams predlagali
enostaven model za razumevanje Lorenzovega atraktorja.
Tukaj je trak papirja.
Prepognimo ga, prerežimo in zlepimo skupaj.
Dobili smo poseben objekt v prostoru!
Pojdimo na štartno črto.
Odpeljemo in po nekaj vožnje se vrnemo na štartno črto.
A znajdemo se v drugi točki, od koder se začenja nova pot.
Položaj na štartni črti podamo s številom x med 0 in 1.
Na levi je x=0, na sredi x=0.5 in na desni x=0.5.
Če začnemo v točki x, bo točka vrnitve 2x,
če je x manjši od polovice,
in 2x-1, če je večji od ene polovice.
Z drugimi besedami, ko se avto premika,
se vrednost, kjer prečka črto, z vsakim obratom podvoji,
ob čemer ji odštejemo 1, če je rezultat večji od 1.
To je podobno Smaleovi podkvi:
dinamiko v zveznem času nadomesti dinamika v diskretnem času,
torej zaporedni prehodi mimo štartne črte.
Če začnemo v 1/3,
prispemo najprej v 2/3,
nato v 4/3 minus 1,
torej spet v 1/3.
Po dveh krogih smo se vrnili na izhodišče.
Naša trajektorija je periodična s periodo 2.
Tu je primer trajektorije s periodo 18.
Periodična trajektorija prečka leva in desna ušesa
po nekem določenem zaporedju.
Pokažemo lahko, da so vsa zaporedja mogoča.
Seveda vse trajektorije niso periodične.
Za vsako neskončno zaporedje levih in desnih ušes
obstaja trajektorija, ki sledi tej usodi.
Kakšna je povezava med Lorenzovim modelom
in tistim iz papirnatih trakov?
To ni bilo jasno do leta 2001, ko je matematik Tucker
pokazal, da model papirnega traku natančno opisuje
gibanje na Lorenzovem atraktorju.
Za vsako trajektorijo na Lorenzovem atraktorju
obstaja trajektorija na papirnatem modelu,
ki se obnaša na povsem enak način.
Ali lahko torej razumevanje gibanja ozračja reduciramo
na ponavljanje množenja števila x med 0 in 1 s številom 2
in odštevanjem števila 1, kadar je rezultat večji od 1?
Seveda ne!
Vse to je preveč poenostavljeno, a služi kot ilustracija.
Enostavne stvari? Matematiki jih ljubijo!
Zakaj je učinek metulja postal tako popularen?
Morda zato, ker nam vrača našo osebno svobodo.
Zapuščina Newtonovega hladnega determinizma
bi lahko vodila v nesrečni fatalizem.
Lorenzov metulj pa nam pove, da lahko kljub svoji majhnosti
vplivamo na ves svet!
To je odlična novica!