ХАОС, глава 7 — Эффект бабочки
Если мы посмотрим на движение атмосферы, то довольно быстро заметим,
что оно бесконечно сложнее, чем движение солнечной системы.
Атмосфера — это поток,
у которого над любой точкой земли и на любой высоте
есть скорость, плотность, давление, температура и т.д.
С течением времени они постоянно изменяются.
Невозможно себе представить,
чтобы кто-то мог знать это колоссальное множество величин.
Мы словно находимся в бесконечномерном пространстве.
Чтобы понять хоть что-нибудь о нём, необходимы приближения.
В 1963 году Эдвард Лоренц
упрощал, упрощал, и вновь упрощал эту задачу.
Он упростил её до такой степени, что стало непонятно,
имеет ли ещё его уравнение что-либо общее с реальностью.
Его модель атмосферы свелась всего к трём числам (x, y, z),
а её изменение описывалось лишь одним небольшим уравнением.
Каждая точка (x, y, z) в пространстве означает состояние атмосферы,
а её изменение — это движение вдоль векторного поля.
Пусть, например, но только лишь например,
первая координата представляет собой температуру,
вторая — скорость ветра, а третья — влажность.
Вот здесь холодно, ветрено и идёт дождь.
А здесь всё наоборот.
Траектория векторного поля
показывает нам изменение погоды.
Прогнозисту нужно лишь решить дифференциальное уравнение.
Лоренц заметил это, исследуя свою модель.
Имеет ли всё это какое-то отношение к настоящей погоде?
Не ясно.
Физики часто называют такие модели «игрушечными»,
пытаясь c их помощью в общих чертах понять какое-то сложное поведение.
В действительности Лоренц работал только с такими графиками,
ведь компьютеры в 1963 году были весьма примитивны.
Рассмотрим две атмосферы, представленные этими — почти совпадающими — шарами.
Две практически идентичные атмосферы...
Посмотрим, что с ними случится.
Сначала, их траектории неотличимы.
Но далее они совершенно расходятся.
Атмосферы становятся абсолютно разными.
Это хаос — чувствительная зависимость от начальных условий.
В 1972 году Лоренц собирался представить свою работу на престижной конференции,
но промедлил сообщить тему лекции.
Организатор торопился выслать программу участникам,
поэтому выбрал название сам:
«Предсказуемость: может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии
вызвать ураган в Техасе?».
Так родился эффект бабочки.
К сожалению, математические концепции редко становятся популярны у широкой публики.
Однако образ хрупкой бабочки, влияющей на целый мир, очень поэтичен.
Его ждал огромный успех; понемногу, он изменялся.
Это всегда была бабочка, но иногда в Африке, иногда в Китае.
И она отвечала за катастрофу
в Нью-Йорке… или Чикаго.
Забавно…
Кино, литература и музыка переняли эту идею.
Количество фильмов, основанных на ней, невозможность счесть.
В 2006 году Алехандро Гонсалес Иньярриту
выпустил очень эмоциональный фильм «Вавилон».
Незначительное событие — ружейный выстрел в Марокко —
изменит жизни американской пары,
мексиканской няни
и японской девушки.
Взаимодействие небольших причин
и огромных последствий.
Размышление о человеческой судьбе,
которая подчинена случайности или нужде.
К сожалению, только половина сообщения Лоренца была услышана широкой публикой.
Разве теория хаоса сводится к утверждению,
что невозможно предсказать будущее на практике?
Как может учёный удовлетвориться простым признанием провала?
Послание Лоренца много богаче.
Возьмём две траектории в модели Лоренца —
голубую и жёлтую,
которые не обязательно начались в близких точках.
Давайте удалим, скажем, первые 10 секунд движения
и посмотрим, что получится.
Что мы видим?
Траектории в самом деле разные.
Они кажутся беспорядочными и непредсказуемыми.
Однако обе образуют один и тот же, похожий на бабочку, объект,
который, кажется, не зависит от начальных условий.
Как будто их притягивает эта бабочка.
Отсюда и название: аттрактор, то есть "притягивающее множество", Лоренца.
Довольно странный аттрактор!
Вот научный феномен,
который, к сожалению, не так известен, как эффект бабочки.
Вместо двух траекторий давайте возьмём их побольше.
Смотрите, каждый из этих шаров
представляет собой упрощённую атмосферу.
Через некоторое время они образуют
всё ту же самую бабочку.
Прекрасный объект,
которым можно любоваться бесконечно.
Это настоящая задача для математиков, да и вообще учёных.
Вместо описания будущего для заданных начальных условий,
— мы знаем, что это лишь иллюзия, —
мы будем пытаться описать аттрактор.
Как он выглядит?
Как устроена его внутренняя динамика?
В 1970-х годах Бирман, Гукенхеймер и Уиллиамс
предложили простую модель,
чтобы попытаться понять аттрактор Лоренца.
Это полоска бумаги.
Разрежем её, согнём и склеим.
Мы получили своеобразный пространственный объект.
Отправимся на стартовую линию.
Поехали.
Машина едет, и спустя небольшое время
вернётся на стартовую линию.
Однако мы окажемся уже в другой точке,
с которой начнём новый виток.
Положение на стартовой линии задаётся числом x от 0 до 1.
Ноль — слева,
0.5 — в центре и 1 — справа.
Если мы начнём с точки x,
то вернёмся в точку 2x, когда x меньше 0.5,
или в точку 2x-1, когда x больше 0.5.
Другими словами, пока машина едет,
точка, в которой она пересечёт стартовую линию,
удваивается на каждом обороте,
только иногда необходимо вычесть 1,
если результат оказался больше единицы.
Напоминает подкову:
мы заменили динамику с непрерывным временем
динамикой с дискретным,
а именно, последовательностью
пересечений стартовой линии.
Смотрите,
мы начали с 1/3,
прибыли в 2/3,
затем в 4/3, но здесь нужно вычесть 1,
что даёт 1/3.
Мы вернулись к исходной точке после двух витков.
Получилась периодическая траектория с периодом 2.
А это периодическая траектория с периодом…
восемнадцать!
Периодическая траектория проходит
виток за витком через левую и правую проушину
в определённой последовательности.
Можно доказать, что возможна любая последовательность витков.
Разумеется, далеко не все траектории будут периодическими.
Однако какой бы ни была бесконечная последовательность «лево» и «право»,
существует траектория, которая ей соответствует.
Но какая же связь между моделью Лоренца и этой бумажной моделью?
Пришлось подождать, пока математик Такер
в 2011 году не доказал,
что бумажные полоски весьма точно описывают систему Лоренца.
Для каждой траектории в аттракторе Лоренца
существует траектория в бумажной модели,
ведущая себя точно таким же образом.
Можно ли движение атмосферы
свести к последовательному удвоению числа между 0 и 1,
и вычитанию 1, когда результат больше 1?
Конечно нет!
Всё тут слишком упрощено,
но ведь это лишь иллюстрация.
Простые вещи?
Математики их обожают.
Почему же эффект бабочки стал так популярен?
Возможно, потому что он возрождает нашу свободу личности.
Ньютоновский равнодушный детерминизм ведёт к своего рода фатализму.
Однако бабочка Лоренца утверждает, что как бы мы ни были малы,
мы всё равно можем влиять на мир.
И это отличная новость!