Chapter 7: A borboleta de Lorenz
Quando se observa o movimento
da atmosfera
percebe-se logo que ele é
infinitamente mais complexo
do que o do sistema solar.
A atmosfera é um fluido
que possui em cada ponto da terra,
em cada altitude,
uma velocidade, uma densidade
uma pressão, uma temperatura etc.
Tudo isso variando ao longo do tempo.
É, com certeza, inimaginável
conhecer todos estes valores,
em número infinito.
É, mais ou menos, como se estivessemos
num espaço de dimensão infinita.
Para compreender qualquer coisa
é preciso fazer aproximações
Em 1963, Edward Lorenz
simplificou, simplificou
e simplificou mais ainda o problema.
Ele simplificou tanto
que não há nenhuma garantia que sua equação
tenha algo a ver
com a realidade.
Seu modelo atmosférico
e reduziu apenas
a tres números x, y, z
e a evolução da atmosfera
a uma pequenina equação.
Cada ponto (x, y, z) do espaço
simboliza um estado da atmosfera
e a evolução consiste em seguir
um campo de vetores.
Por exemplo,
mas isto é só um exemplo,
a primeira coordenada poderia
representar a temperatura,
a segunda, a velocidade do vento
e a terceira, a umidade..
Aqui, faz frio,
o vento sopra e chove...
Deste outro lado, é o contrário…
Quando se segue a trajetória do campo
acompanhamos a evolução do clima...
O meteorologista não faz nada além de
resolver uma equação diferencial!
Quando Lorenz observou seu modelo,
o que ele viu foi isso.
Se tudo isso tem alguma coisa a ver
com o clima verdadeiro?
Não é nada claro!
Isto é o que os físicos
muitas vezes chamam de um modelo de brinquedo,
para tentar entender
as linhas gerais
um comportamento complexo.
Na verdade, este é o tipo de gráfico que
Lorenz observou
porque os computadores de que dispunha
en 1963,
eram bem primitivos.
Consideremos duas atmosferas
representadas pelos centros destas duas bolas,
extremamente próximas,
duas atmosferas quase idênticas
e observemos o seus futuros.
Inicialmente, as duas evoluções
parecem idênticas.
Mas logo elas se separam
de forma significativa:
as duas evoluções se tornam
completamente diferentes.
Isto é o caos: a dependência sensível
em relação às condições iniciais.
Em 1972, Lorenz devia apresentar
seus trabalhos num colóquio importante.
Mas ele demorou para enviar
o título de sua conferência,
então o organizador, pressionado para enviar
o programa aos participantes,
escolheu ele mesmo o título:
“Previsibilidade: o bater de asas
de uma borboleta no Brasil
pode causar um tornado
no Texas?”
O efeito borboleta acabava de nascer!
Infelizmente, é muito raro
que um conceito matemático
possa chegar ao público em geral..
Que bela imagem poética
esta de uma borboletinha, tão frágil,
Influenciando o mundo!
A ideia teve um grande sucesso
e se modificou pouco a pouco.
Trata-se sempre de uma borboleta
mas por vezes ela está na África
ou na China.
E é responsável por catástrofes
em Nova Yorque... ou em Chicago.
Interessante…
O cinema, a literatura, a música
se apropriaram da ideia.
Há inúmeros filmes
que se basearam neste princípio.
Muita emoção no filme “Babel”
de by Alejandro González Iñárritu
lançado em 2006;
Um tiro disparado em Marrocos,
um incidente sem importância
mas que vai mudar a vida
de um casal americano,
de uma babá mexicana,
de uma adolescente japonesa...
Todo um jogo de pequenos efeitos
e grandes consequências.
Uma reflexão sobre o destino humano,
sujeito ao acaso ou à necessidade.
Ai, ai! Não foi mais do que a metade
da mensagem de Lorenz
que chegou ao público.
Será que a teoria do caos
pode se limitar à afirmação
de que é impossível prever
o futuro na prática?
Como um cientista poderia
se contentar com tal admissão de fracasso?
A mensagem de Lorenz
é bem mais rica..
Aqui temos duas trajetórias
do sistema de Lorenz,
uma azul e outra amarela,
que não partem necessariamente
de condições iniciais próximas.
Apaguemos, digamos, os dez primeiros
segundos do movimento
e, observemos o que se segue.
O que nós constatamos?
que as trajetórias são, de fato,
muito diferentes
parecem um pouco loucas
e bem pouco previsíveis.
Mas elas se acumulam
sobre um mesmo objeto em forma de uma borboleta
que parece não depender
da posição inicial.
Parecem ser atraídas por esta borboleta.
Por esta razão se fala
do atrator de Lorenz.
Um atrator bem estranho!
Aí está um fenômeno científico positivo
que infelizmente não é
tão célebre como o efeito borboleta
Em vez de observar apenas duas trajetórias,
observemos muitas delas
Veja todas estas bolas
que representam inúmeras atmosferas
Depois de certo tempo,
todas elas se acumulam
sobre a mesma borboleta.
Um objeto muito bonito,
que nunca me canso de olhar.
Eis os verdadeiros problemas
para os matemáticos
e para os cientistas em geral.
Em vez de descrever o futuro
de uma condição inicial dada,
o que sabemos ser ilusório,
vamos tentar descrever o atrator.
Com o que se parece?
Como se comporta a dinâmica interna?
Nos anos 70,
Birman, Guckenheimer e Williams
propuseram um modelo simples
para tentar entender
o atrator de Lorenz.
Aqui temos um pedaço de papel.
Vamos dobrá-lo, cortá-lo e colá-los novamente.
Aí temos um objeto bem estranho no espaço!
Vamos nos colocar na linha da largada.
Partimos!
uma volta e algum tempo depois
regressamos sobre a linha da largada..
Mas nos encontramos num outro ponto
de onde parte um novo caminho.
A posição sobre linha da largada
é descrita por um número x
compreendido entre 0 e 1.
Em 0, estamos à esquerda,
Em 0,5, no meio, e em 1, à direita
Partindo do ponto x,
o ponto de retorno é 2x se x é menor que meio
e 2x-1 se x é maior que meio.
Dito de outra forma,
quando o carro se desloca,
os pontos onde ele reencontra a linha de largada
são o dobro a cada volta,
xceto nos casos em que o resultado é maior que 1
quando então temos que subtrair 1.
É mais ou menos como fizemos com a ferradura:
substituímos uma dinâmica
em tempo contínuo
por uma dinâmica em tempo discreto
as passagens sucessivas
pela linha de largada.
Veja:
partimos de 1/3,
chegamos em 2/3
depois em 4/3 mas temos que subtrair 1,
então dá 1/3:
Retornamos ao ponto de partida
depois de duas voltas.
Temos uma trajetória periódica
de período 2.
Aqui, uma trajetória periódica
de periodo 18.
Uma trajetória periódica
passa sucessivamente
pelos laços esquerdo e direito
seguindo uma certa sequência.
E, bem, podemos mostrar
que todas as sequências são possíveis.
E claro, não existem apenas
trajetórias periódicas.
Qualquer que seja a sequência infinita
de esquerda e direita,
existe uma trajetória
que segue este destino!
Qual é a relação entre o modelo de Lorenz
e este com tiras de papel?
Bom, foi preciso esperar 2001
para que o matemático Tucker
demonstrasse que as tiras de papel
descreviam bem o movimento de Lorenz.
Para cada trajetória no atrator de Lorenz,
podemos encontrar uma trajetória
sobre as tiras de papel
que se comporta exatamente
da mesma maneira.
A compreensão do movimento
da atmosfera
se traduziria por multiplicar
por 2 incessantemente um número
compreendido entre 0 e 1
e subtrair 1
quando o resultado fosse maior que 1 ?
Certamente que não !
Tudo isto ainda está simplificado demais!
Mas é uma ilustração do fenômeno.
As coisas simples ?
Os matemáticos adoram !
Por que o efeito da borboleta
teve tanto sucesso?
Talvez porque ele restaura
nossa liberdade individual.
O determinismo frio legado por Newton
poderia conduzir a uma espécie de fatalismo.
A borboleta de Lorenz afirma que
por menores que sejamos,
podemos ter influência sobre o mundo!
Boa notícia para nós!