CHAOS 7-De vlinder van Lorenz
Wie de bewegingen van
de atmosfeer bestudeert,
zal al snel beseffen dat die
oneindig veel complexer zijn
dan de beweging van het zonnestelsel.
De atmosfeer is zoals een vloeistof
en heeft op elk punt van de aarde,
en op elke hoogte,
een snelheid, een dichtheid,
een druk, een temperatuur enzovoort...
Al deze parameters variëren in de tijd.
Het is natuurlijk ondenkbaar om
dit oneindig aantal
gegevens te kennen.
Het is bijna alsof we ons bevinden in een
ruimte met een oneindig aantal dimensies.
Om er toch iets van te begrijpen,
moeten we een aantal benaderingen maken.
Zo heeft Edward Lorenz in 1963
het probleem vereenvoudigd,
vereenvoudigd en nog eens vereenvoudigd.
Hij vereenvoudigde het zodanig
dat er geen garantie is dat
zijn vergelijking nog iets
te maken heeft met de werkelijkheid.
In zijn model wordt
de atmosfeer teruggebracht
tot drie getallen (x, y, z)
en de evolutie van de atmosfeer
wordt een simpele vergelijking:
Elk punt (x, y, z) in de ruimte
symboliseert een toestand van
de atmosfeer die evolueert
door het volgen van een vectorveld.
Zo zou bijvoorbeeld,
maar dit is alleen een voorbeeld,
de eerste coördinaat
de temperatuur, de tweede
de windsnelheid en de derde
de luchtvochtigheid kunnen voorstellen.
Hier is het koud,
waait de wind en regent het ...
Hier is het tegendeel waar ...
Wanneer je een baan van het vectorveld volgt,
volg je de evolutie van het weer ...
De weerman moet dus nog enkel
een differentiaalvergelijking oplossen!
Toen Lorenz zijn model bestudeerde,
zag hij dit.
Heeft dat alles nog iets te maken
met het echte weer?
Dat is helemaal niet duidelijk!
Dit is wat natuurkundigen vaak
een speelgoed model noemen,
een eenvoudig model waarmee
ze proberen de grote lijnen
van een complex systeem te begrijpen.
In feite zag Lorenz eerder
dit soort grafieken, want de
computers waren
in 1963 nogal primitief.
We bekijken twee toestanden van de atmosfeer,
voorgesteld door deze twee ballen
op zeer korte afstand van mekaar,
twee bijna identieke begintoestanden,
en we observeren hun toekomst.
In het begin zijn de twee evoluties
niet van mekaar te onderscheiden.
Maar even later gaan ze duidelijk
uit mekaar, en worden de
twee atmosferen
helemaal verschillend.
Dat is chaos: een grote
afhankelijkheid van de beginvoorwaarden.
In1972 ging Lorenz zijn werk
voorstellen op een prestigieus congres,
maar hij was te laat met het
doorsturen van de titel van zijn voordracht.
De organisator was gehaast om het programma
door te sturen aan de deelnemers,
en koos zelf een titel:
“Voorspelbaarheid : kan het slaan
van de vleugels van een vlinder
in Brazilïe een tornado
veroorzaken in Texas?”
Het vlindereffect was geboren !
Spijtig genoeg vinden
wiskundige concepten te zelden
hun weg naar het grote publiek.
Maar wat een mooi poëtisch beeld:
een kleine kwetsbare vlinder
die invloed heeft op de wereld!
Het idee was een groot succes
en werd stilaan wat gewijzigd.
Het gaat altijd over een vlinder,
maar de ene keer komt die uit Afrika
en de andere keer uit China.
...maar is dan verantwoordelijk
voor rampen in New York of Chicago!
Interessant...
Het idee werd overgenomen
in de literatuur en de muziek,
en het aantal films dat op dit principe
gebaseerd zijn, is niet meer bij te houden.
Veel emotie in de film Babel
van Alejandro González Iñárritu uit 2006.
Een schot weerklinkt in Marokko,
maar dit onbelangrijk incident zal
het leven veranderen van
een Amerikaans koppel,
een Mexicaanse kinderoppas
en een Japans meisje.
… een spel van kleine oorzaken
en grote gevolgen..
Een gedachte over het lot van de mensen:
bepaald door het toeval of door noodzaak?
Helaas is maar de helft
van de boodschap van Lorenz
bij het publiek doorgedrongen.
Beperkt chaostheorie zich
tot de bewering dat het
onmogelijk is om in de praktijk
de toekomst te voorspellen ?
Hoe kan een wetenschapper zich
neerleggen bij een dergelijke nederlaag?
De boodschap van Lorenz
houdt veel meer in.
Hier zijn twee banen
in het systeem van Lorenz,
een blauwe en een gele,
die niet noodzakelijk vertrekken
uit gelijkaardige begintoestanden.
Laten we, bijvoorbeeld,
de eerste tien seconden van de
beweging weglaten en het vervolg bekijken.
Wat zien we?
Dat de banen inderdaad
zeer verschillend zijn:
ze lijken een beetje gek
en onvoorspelbaar.
Maar ze troepen niettemin samen
rond hetzelfde vlindervormige object
dat niet van de beginpositie
lijkt af te hangen.
De vlinder lijkt de banen aan te trekken.
Dit is waarom we spreken van
de Lorenz aantrekker, of attractor.
Een vreemde attractor!
Dit is een precies wetenschappelijk
fenomeen dat helaas niet zo
beroemd als het vlindereffect.
In plaats van twee banen te observeren
bekijken we er veel meer.
Al deze ballen stellen evenveel
toestanden van de atmosfeer voor.
Na een tijdje
worden ze allemaal opgeslokt
door dezelfde vlinder.
Een mooi object
dat men kan blijven bekijken.
Dat zijn serieuze problemen
voor wiskundigen en
wetenschappers in het algemeen.
In plaats van de toekomst te bepalen
van een een gegeven begintoestand,
we weten dat dat een illusie is,
zullen we proberen om de attractor te beschrijven.
Hoe ziet hij eruit?
Hoe gedraagt de interne dynamiek zich?
In de jaren '70 hebben
Birman, Guckenheimer en Williams
een eenvoudig model
voorgesteld om de Lorenz attractor
proberen te begrijpen.
Hier is een strook papier,
Plooien, snijden..Aan elkaar plakken.
Dit is een speciaal object in de ruimte!
We gaan op de startlijn staan.
Daar gaan we,
we rijden en enige tijd later,
zijn we terug aan de startlijn ...
Maar we zijn op een ander punt
waar een nieuwe weg begint.
De positie op de startlijn
wordt beschreven door
een getal x tussen 0 en 1.
Aan de linkerkant is het 0,
0.5 in het midden en 1 rechts.
Als we vertrekken van het punt x,
dan komen we uit in het punt 2x als x kleiner is dan 0.5
en in het punt 2x-1 als x groter is dan 0,5.
Met andere woorden
wanneer de auto rondrijdt worden
de punten op de startlijn
elke ronde verdubbeld,
behalve dat we 1 moeten aftrekken
als het resultaat groter is dan 1.
Het is ongeveer zoals met het hoefijzer:
we hebben de dynamiek
met een continu tijdsverloop vervangen
door een dynamiek in discrete tijd.
de ogenblikken waarop
we de startlijn tegenkomen.
Kijk,
wij vertrekken bij 1/3,
komen aan in 2/3,
dan in 4/3, maar we moeten 1 aftrekken,
dat wil zeggen 1/3:
we zijn terug op het startpunt
na twee rondes.
We hebben een periodieke baan
met periode 2.
Hier is een baan
met periode 18.
Een periodieke baan passeert
door het linker en
rechter oor in een bepaalde volgorde.
Wel, men kan aantonen
dat alle volgordes mogelijk zijn.
En natuurlijk zijn er
niet alleen periodieke banen.
Voor elke oneindige rij
van links en rechts,
bestaat er altijd een baan
die precies deze rij volgt.
Wat is het verband tussen het model
van Lorenz en het papieren model?
Pas In 2001 heeft de wiskundige Tucker
bewezen dat het papieren
model de bewegingen op
de Lorenz attractor goed beschrijft.
Voor elke baan
in de Lorenz attractor
kan je een baan op
het papieren model vinden
die zich op juist
dezelfde manier gedraagt.
Kunnen we dus alle bewegingen
van de atmosfeer begrijpen
aan de hand van een model waarin
we voortdurend getallen tussen 0 en 1
vermenigvuldigen met 2
en er 1 aftrekken
als het resultaat groter is dan 1?
Natuurlijk niet!
Dat is veel te simplistisch, maar
het model illustreert een gelijkaardig verschijnsel.
Eenvoudige dingen?
Wiskundigen houden daarvan!
Waarom is het vlinder effect
zo succesvol?
Misschien omdat het ons
onze individuele vrijheid teruggeeft.
Het koude determinisme dat Newton ons naliet,
zou kunnen leiden tot een soort van fatalisme.
De vlinder van Lorenz zegt dat
hoe klein we ook zijn,
we een invloed op de wereld kunnen hebben!
Goed nieuws voor ons!