カオス７ バタフライ効果
大気の運動を見ると，
これは太陽系に比べ，
限りなく
複雑であることが
すぐにわかる．
大気は，流体で、
地面の各点上の
地面からの高度に対し，
速度，密度，圧力，温度などが
定まっている．
これらのすべてが，時刻とともに変化する．
もちろんこれらの無限個の値を
すべて知ることは
思いもよらない．
これは，無限次元の空間にいるのと
少し似ている．
大気について理解するためには，
近似をとらなければならない．
1963年，エドワード・ローレンツは，
問題を簡単化し，簡単化し，
さらに簡単化した．
彼の方程式が
現実と関係があるという保証は
何もないくらいに，
問題を簡単化した．
彼の大気モデルは，
たった３つの実数
x,y,zで表され，
大気状態の変化は
簡単な方程式で表された．
空間の点(x,y,z)は，
大気の状態を表し，
その変化は，
ベクトル場に沿っていくのである．
例えば，
全くの例えだが，
第１座標は温度，
第２座標は風の速度，
第３座標は湿度を表す
という具合だ．
この点では，冷たく，
風が強く，雨だ．
この点では，その反対だ．
ベクトル場の軌道をたどることは，
天候の変化を追うことだ．
気象予報士は
微分方程式を解くだけで良い．
ローレンツは，彼のモデルをよく見ようとして，
こんな様子が見えた．
これらのすべてが，実際の天気と
何か関係があるだろうか？
全く不明だ！
これは，よく物理学者が
おもちゃのモデルと呼ぶもので，
複雑な現象の
大体の様子を
理解するために使われる．
実際には，ローレンツが眺めた
グラフィックスは，こんな様子だった．
1963年に使えた
計算機は，
まだ初期のものだったからだ．
非常に近い２つの
球の中心で表された，
ほとんど同じ
大気の状態を考えて，
それがどう変化するか観察しよう．
最初のうちは，
２つの状態は区別できない．
しかし，やがて２つの状態は，
見てわかるほど分かれてきて：
完全に異なった
大気状態になる．
これはカオスだ：
初期条件に鋭敏に依存する．
1972年，ローレンツは，有名な会議で
研究発表をすることになった．
しかし，講演題目を送るのが
遅れてしまった．
参加者にプログラムを送るのを急いでいた
会議の主催者は，
勝手に題目を決めてしまった：
「予報可能性：
ブラジルの蝶の羽ばたきが
テキサスの竜巻を
引き起こすか？」
バタフライ効果が生まれた．
数学の概念が一般市民に
受け入れられることは，
残念ながら，めったに起きない．
小さな弱々しい蝶の
詩的なイメージが
世界に影響を与えたのだ！
このアイデアは大成功で，
亜流がたくさん生まれた．
いつも蝶が登場するが，
アフリカから来たり，
中国から来たりした．
そして，それがニューヨークや…
シカゴの天変地異の原因になった．
面白いものだ…
このアイデアは，映画に，文学に，音楽に
取り入れられた．
これに基づく映画が
どれくらいあるかわからない．
アレハンドロ・ゴンサレス・
イニャリトゥの2006年の
手に汗握る映画バベルだ．
モロッコでの一発の銃弾，偶然の事故が，
アメリカ人夫婦の人生を変え，
メキシコ人の乳母の
人生を変え，
日本人少女の
運命を変える…
小さな原因と大きな結果が
合わさるのだ．
人類の運命を考えると，
それは偶然に従うのか，必然なのか．
残念ながら，一般市民へ届いたのは
ローレンツの主張の
半分だけだ．
カオスの理論は，
現実には
未来を予測するのは不可能だと
述べているだけだろうか？
科学者が失敗ということで終わって
満足するだろうか？
ローレンツの主張は
もっと豊かな内容だ．
ローレンツのシステムの
２つの軌道がある：
１つは青色で１つは黄色だ．
これらは，近い初期条件を
持っていなくても良い．
例えば，運動の
最初の10秒間を消して…
その続きを観察しよう．
どうなっただろうか？
軌道は実際に
全く異なっているし，
それらは少しおかしな動きで，
予測はできそうもない．
しかし，軌道は１つの同じ
蝶の形の図形に集まっていて，
このことは初期条件に
依らないようである．
軌道は，蝶の図形に引き込まれているようである．
こういうわけで，ローレンツ・
アトラクタについて話すことになる：
奇妙なアトラクタだ．
これは建設的な科学現象なのだが，
残念ながら，バタフライ効果ほど
有名にならなかった．
２つの軌道を見るだけでなく，
もっと多くの軌道を見てみよう．
これらの球は，
それぞれ理想化した大気状態を表している．
しばらくすると，
それらはすべて１つの同じ
蝶の図形に集まってくる．
見飽きることのない
美しい形だ．
ここに数学者や，
より広く科学者への
本当の課題がある．
与えられた初期条件からの
未来を記述するのは
空しいことがわかっているので，
その代わりにアトラクタを記述しよう．
それは，何に似ているだろうか？
内部のダイナミックスはどうなっているのだろうか？
1970年代に，バーマン，
グッケンハイマーとウィリアムズは，
ローレンツ・アトラクタを
理解するための
簡明なモデルを提案した．
ここに，紙のテープがある．
折ったり，切ったり，貼り合わせたりしよう．
ほら，変わった形の立体ができた．
スタートラインに立とう．
出発だ！
進んでいってしばらくすると，
スタートラインに戻ってくる．
他の点に戻ってきて，
そこから再出発する．
スタートライン上の
位置は，０と１の間の
実数ｘで表される．
０は左端，
0.5は中央，１は右端だ．
点ｘから出発すると，戻ってくる点は，
ｘが0.5より小ならば2ｘで，
ｘが0.5より大ならば2ｘ－1だ．
言い換えると，
車が動くと，
スタートライン上では
毎回２倍の点に戻ってくる．
ただし，１より大きくなったら
１を引くのである．
これは，馬蹄に似ている：
連続時刻のダイナミックスが
離散時刻のダイナミックス，
つまり，順々にスタートラインを
通過する様子に
置き換えられている．
見てごらん！
点1/3を出ると
点2/3に戻り，
次に4/3だが，１を引いて，
点1/3に戻る：
２巡すると出発点に
戻ってくる．
だから，周期２の
周期軌道となるわけだ．
これは周期軌道だが…
周期は18だ．
周期軌道は，
左耳と右耳を
ある列で決まった
順番で通り抜ける．
どんな列にも対応する
軌道があることが証明できるのだ．
もちろん，
周期軌道ではない軌道もある．
右と左との
どんな無限列にも，
この運命をたどる
軌道があるのだ．
ローレンツのモデルと紙テープのモデルには
どんな関係があるのだろうか？
それは，2001年になってやっとわかった．
数学者タッカーが，紙テープのモデルは
ローレンツ・アトラクタを
正確に記述していることを証明したのだ．
ローレンツ・アトラクタの
すべての軌道に対し，
それと全く同じ
運動をする軌道が
紙テープの
モデル上にあるのだ．
大気の運動の研究が，
０と１の間の実数に
２を掛けて，
１より大きくなったら
１を引くことを
ずっと繰り返すことに
帰着されたのだろうか？
もちろんそんなことはない！
これらすべては単純化し過ぎだ．
しかし，事象の一面をとらえている．
単純なことだって？
数学者は，単純なことを好むのだ！
なぜバタフライ効果は，
こんなに知れ渡ったのだろうか？
おそらく，個人の自由を
復権させたからだろう．
ニュートンが遺した冷徹な決定論は，
運命論のようなものにもつながる．
ローレンツの蝶は，
我々のような小さな存在が
世界に影響を与えられることを言っている．
我々には良い知らせだ！