CAOS 7- L'effetto farfalla
Quando si osserva il moto
dell'atmosfera,
si capisce velocemente che è
infinitamente più complesso
di quello del sistema solare.
L'atmosfera è un fluido
che possiede, in ogni punto della Terra
e ad ogni altitudine,
una velocità, una densità,
una pressione, una temperatura, etc.
Tutto questo varia con lo scorrere del tempo.
È ovviamente impensabile
conoscere tutte queste quantità,
in numero infinito.
È un po' come se fossimo
in uno spazio di dimensione infinita.
Per capirci qualche cosa,
bisogna fare delle approssimazioni.
Nel 1963, Edward Lorenz
semplificò, semplificò,
e semplificò ancora il problema.
Lo semplificò talmente
che niente garantisce che la sua equazione
abbia qualche rapporto
con la realtà.
Il suo modello atmosferico
si riduceva soltanto
a tre numeri x, y, z
e l'evoluzione dell'atmosfera
ad una piccolissima equazione.
Ogni punto (x,y,z) dello spazio
simboleggia uno stato dell'atmosfera
e l'evoluzione consiste a seguire
un campo vettoriale.
Per esempio,
ma è solo un esempio,
la prima coordinata potrebbe
rappresentare la temperatura,
la seconda, la velocità del vento,
e la terza, l'umidità.
Qui, fa freddo,
il vento soffia e piove.
Là, è il contrario.
Quando si segue una traiettoria del campo,
si segue l'evoluzione del tempo che fa.
Il meteorologo non fa dunque altro che
risolvere un'equazione differenziale.
Quando Lorenz osservò il suo modello,
vide questo.
Tutto ciò ha qualche rapporto
con il tempo atmosferico reale?
Proprio per nulla, è chiaro!
È quel che i fisici
chiamano spesso un modello giocattolo,
per provare a capire
un comportamento complesso
a grandi linee.
In realtà, è piuttosto un simile genere di grafico
che Lorenz osservò
poiché il computer che aveva a disposizione,
nel 1963,
era ovviamente primitivo.
Consideriamo due atmosfere
rappresentate dai centri di queste due palle,
estremamente vicine,
due atmosfere quasi identiche,
e osserviamo i loro futuri.
All'inizio, le due evoluzioni
restano indistinguibili.
Ma poi, si separano
in modo significativo:
le due atmosfere diventano
completamente differenti.
É il caos: la dipendenza sensibile
alle condizioni iniziali.
Nel 1972, Lorenz doveva presentare
i suoi lavori ad un colloquio prestigioso.
Ma tardava a mandare
il titolo della sua conferenza.
Allora l'organizzatore, avendo fretta d'inviare
il programma ai partecipanti,
scelse lui stesso il titolo:
«Predicibilità: può il batter d'ali
di una farfalla in Brasile
provocare un tornado
nel Texas?»
L'effetto farfalla era appena nato.
Sfortunatamente è troppo raro
che un concetto matematico
possa penetrare nel grande pubblico.
Che bella immagine poetica
quella della piccola farfalla, così fragile,
che ha un'influenza sul mondo!
L'idea incontrerà un grande successo
e si modificherà poco a poco.
Si tratta sempre di una farfalla
ma a volte viene dall'Africa
o dalla Cina.
Ed è responsabile di catastrofi
a New-York... o a Chicago.
Interessante...
Il cinema, la letteratura, la musica
si appropriano dell'idea.
Non si contano più i film
che sono fondati su questo principio.
Molte emozioni in Babel,
un film di Alejandro González Iñárritu,
uscito nel 2006.
Un colpo di fucile esplode in Marocco,
un incidente senza importanza
ma che cambierà la vita
di una coppia di americani,
di una badante messicana,
di un'adolescente giapponese...
Tutto un gioco di piccoli effetti
e di grandi conseguenze.
Una riflessione sul destino umano,
sottomesso al caso o alla necessità.
Purtroppo è solo la metà
del messaggio di Lorenz
che è passato tra il pubblico.
Può la teoria del caos
limitarsi all'affermazione
che è in pratica impossibile
prevedere il futuro?
Come potrebbe uno scienziato accontentarsi
di un simile insuccesso?
Il messaggio di Lorenz
è molto più ricco.
Ecco due traiettorie
del sistema di Lorenz:
una blu ed una gialla ;
partono non necessariamente
da condizioni iniziali vicine.
Cancelliamo... diciamo i dieci primi
secondi del movimento
ed osserviamo il seguito.
Che constatiamo?
Che le traiettorie sono effettivamente
molto diverse.
sembrano un po' folli
e pochissimo prevedibili.
Ma si accumulano
sullo stesso oggetto a forma di farfalla
che sembra non dipendere
dalla posizione iniziale.
Sembrano attirate da questa farfalla.
Ed è per questo che si parla
dell'attrattore di Lorenz:
un attrattore molto strano.
Ecco un fenomeno scientifico positivo
che sfortunatamente non è
celebre quanto l'effetto farfalla.
Invece di osservare due traiettorie,
osserviamone molte di più.
Guardate tutte queste palle
che sono altrettante atmosfere idealizzate.
Dopo un po',
si sono tutte accumulate
sulla stessa farfalla.
Un gran bell'oggetto
che non si può smettere di guardare.
Ecco dei veri problemi
per i matematici
e per gli scienziati in generale.
Invece di descrivere il futuro
per una condizione iniziale data,
sappiamo che è una vana speranza,
proveremo a descrivere l'attrattore.
Che forma ha?
Come si comporta la dinamica interna?
Negli anni '70,
Birman, Guckenheimer e Williams
proposero un modello semplice
per provare a comprendere
l'attrattore di Lorenz.
Ecco un nastro di carta.
Pieghiamolo, tagliamolo e reincolliamolo.
Ecco un oggetto ben singolare nello spazio.
Mettiamoci sulla linea di partenza.
Partiti!
Si gira e, qualche attimo dopo,
siamo di ritorno sulla linea di partenza.
Ma ci troviamo in un altro punto
da cui parte un nuovo cammino.
La posizione sulla linea di partenza
è descritta da un numero x
compreso tra 0 ed 1.
In 0, stiamo a sinistra,
in 0,5 in mezzo e in 1, a destra.
Se partiamo dal punto x,
il punto di ritorno è 2x se x<0,5
e 2x-1 se x>0,5.
In altre parole,
quando l'automobile si muove,
i punti dove incontra la linea di partenza
sono raddoppiati ad ogni giro,
tranne che a volte bisogna togliere 1
se il risultato è più grande di 1.
È un po' come per il ferro di cavallo:
abbiamo sostituito una dinamica
a tempo continuo
con una dinamica a tempo discreto:
i passaggi successivi
sulla linea di partenza.
Guardate!
Partiamo da 1/3,
arriviamo su 2/3
poi su 4/3 ma si deve sottrarre 1,
che ci darà 1/3:
dopo due giri siamo tornati
al punto di partenza.
Abbiamo una traiettoria periodica
di periodo 2.
Qui, una traiettoria periodica...
di periodo 18.
Una traiettoria periodica
passa in successione
nell'orecchio sinistro e destro
seguendo una certa sequenza.
Ebbene, si può dimostrare
che ogni sequenza è possibile.
Ovvio, non ci sono
solo le traiettorie periodiche.
Qualunque sia la successione infinita
di sinistra e destra,
esiste una traiettoria
che segue questo destino.
Qual è il rapporto tra il modello di Lorenz
e quello dei nastri di carta?
Ebbene, si è dovuto aspettare il 2001
per avere il matematico Tucker
che dimostrasse che i nastri di carta
ben descrivono il moto di Lorenz.
Per ogni traiettoria
nell'attrattore di Lorenz,
si può trovare una traiettoria
sui nastri di carta
che si comporta esattamente
allo stesso modo.
La comprensione del moto
dell'atmosfera
si ridurrebbe a moltiplicare
senza fine per 2 un numero
compreso tra 0 et 1
e a sottrarre 1
se il risultato è più grande di 1?
Certo che no!
Tutto questo è ancora troppo semplicistico
ma è un'illustrazione del fenomeno.
Le cose semplici?
Ai matematici piacciono!
Perché l'effetto farfalla
ha un tale successo?
Forse perché restaura
la nostra libertà individuale.
Il freddo determinismo lasciato in eredità da Newton
avrebbe potuto portare ad una specie di fatalismo.
La farfalla di Lorenz afferma che,
per quanto piccoli noi siamo,
possiamo avere un'influenza sul mondo.
È una buona notizia per tutti!