Κεφάλαιο 7: Η πεταλούδα του Lorenz
Όταν βλέπουμε
την κίνηση της ατμόσφαιρας
γρήγορα καταλαβαίνουμε
ότι είναι απείρως πιο περίπλοκη
από εκείνη του ηλιακού συστήματος.
Η ατμόσφαιρα είναι ένα ρευστό
και, σε κάθε ύψος,
πάνω από κάθε σημείο της επιφάνειας της Γης,
έχει μια ταχύτητα, μια πυκνότητα,
μια πίεση, μια θερμοκρασία, κτλ...
Όλα αυτά μεταβάλλονται με το χρόνο.
Είναι βέβαια αδιανόητο
να γνωρίζουμε όλη αυτήν
την άπειρη ποσότητα πληροφορίας.
Είναι σχεδόν σαν να είμαστε σε έναν χώρο
απείρων διαστάσεων:
Για να καταλάβουμε κάτι
θα πρέπει να δουλέψουμε προσεγγιστικά.
Το 1963 ο Edward Lorenz
απλούστευσε, και ξανα-απλούστευσε,
και ξανα-απλούστευσε το πρόβλημα.
Το απλούστευσε σε τέτοιο βαθμό
που δεν είναι καθόλου σίγουρο
ότι η εξίσωσή του έχει πλέον
καμία σχέση με την πραγματικότητα.
Το ατμοσφαιρικό μοντέλο του
αποτελείται από
τρεις μόλις αριθμούς (x, y, z)
και η εξέλιξη της ατμόσφαιρας
περιγράφεται με μια μικροσκοπική εξίσωση:
Κάθε σημείο (x, y, z) στο χώρο
συμβολίζει μια κατάσταση
της ατμόσφαιρας, και η εξέλιξη ακολουθεί
ένα διανυσματικό πεδίο.
Για παράδειγμα,
αλλά μόνο για παράδειγμα,
η πρώτη συντεταγμένη
θα μπορούσε να αντιπροσωπεύει τη θερμοκρασία,
η δεύτερη την ταχύτητα του ανέμου
και η τρίτη την υγρασία.
Εδώ έχει κρύο,
φυσάει και βρέχει...
Εδώ συμβαίνει το αντίθετο...
Όταν ακολουθούμε μια τροχιά του πεδίου,
ακολουθούμε την εξέλιξη του καιρού...
Ο μετεωρολόγος αρκεί απλώς
να λύσει μια διαφορική εξίσωση!
Αυτό είδε ο Lorenz
όταν μελέτησε το μοντέλο του.
Έχουν όλα αυτά καμία σχέση
με τον πραγματικό καιρό;
Δεν είναι πολύ ξεκάθαρο!
Είναι αυτό που συχνά ονομάζουν οι φυσικοί
«toy model»,
και το χρησιμοποιούν για να κατανοήσουν
σε γενικές γραμμές
μια περίπλοκη συμπεριφορά.
Μάλιστα ο Lorenz είχε μόνο
τέτοιου είδους γραφικές παραστάσεις,
για να τον βοηθήσουν,
γιατί ο υπολογιστής του, το 1963,
ήταν αρκετά πρωτόγονος.
Ας κοιτάξουμε δύο ατμόσφαιρες.
Αναπαρίστανται από τα κέντρα
αυτών των δύο μπαλών, που είναι τόσο κοντινές
ώστε να είναι σχεδόν πανομοιότυπες.
Ας παρατηρήσουμε τι θα τους συμβεί.
Στην αρχή οι δύο εξελίξεις
παραμένουν όμοιες.
Μετά, όμως,
αποκλίνουν σημαντικά:
και οι δύο ατμόσφαιρες
γίνονται τελείως διαφορετικές.
Αυτό είναι το χάος: η ευαίσθητη εξάρτηση
από τις αρχικές συνθήκες.
Το 1972 ο Lorenz ετοιμαζόταν να παρουσιάσει
το έργο του σε ένα συνέδριο υψηλού κύρους,
αλλά είχε αργήσει να στείλει
τον τίτλο της διάλεξής του.
Ο διοργανωτής βιαζόταν
να στείλει το πρόγραμμα στους συμμετέχοντες,
οπότε διάλεξε αυτός τον τίτλο:
«Προβλεψιμότητα: Μπορεί το τίναγμα
των φτερών μιας πεταλούδας
στη Βραζιλία να προκαλέσει
κυκλώνα στο Τέξας;»
Έτσι γεννήθηκε το φαινόμενο της πεταλούδας!
Συχνά οι μαθηματικές έννοιες
δεν γίνονται σωστά κατανοητές
από το ευρύ κοινό.
Η εικόνα μιας μικρής,
εύθραυστης πεταλούδας
να επηρεάζει τον κόσμο είναι πολύ ποιητική!
Η ιδέα ήταν πολύ επιτυχημένη
και τροποποιήθηκε.
Πάντα υπήρχε μια πεταλούδα,
αλλά άλλες φορές ήταν στην Αφρική,
κι άλλες στην Κίνα.
...και ήταν υπεύθυνη για καταστροφές
στη Νέα Υόρκη... ή στο Σικάγο.
Ενδιαφέρον...
Η ιδέα εισχώρησε στη λογοτεχνία,
τη μουσική και τον κινηματογράφο.
Υπάρχουν αμέτρητες ταινίες
βασισμένες πάνω της.
Πολλή συγκίνηση στο «Βαβέλ»,
την ταινία του Alejandro González Iñárritu,
του 2006.
Του ασήμαντο γεγονός
ενός πυροβολισμό στο Μαρόκο
θα αλλάξει τις ζωές
ενός ζευγαριού Αμερικανών,
μιας Μεξικανής νοσοκόμας,
και μιας Γιαπωνέζας κοπέλας.
Μια σειρά από μικρές αιτίες
και μεγάλες συνέπειες.
...πώς η μοίρα του ανθρώπου
καθορίζεται από την τύχη ή την ανάγκη.
Αλλά, δυστυχώς,
μόνο το μισό του μηνύματος του Lorenz
έγινε γνωστό στο ευρύ κοινό.
Μπορεί η θεωρία του χάους
να περιορίζεται στον ισχυρισμό
ότι είναι πρακτικά αδύνατο
να προβλέψουμε το μέλλον;
Πώς μπορεί ένας επιστήμονας
να αποδεχθεί μια τέτοια αποτυχία;
Το μήνυμα του Lorenz
είναι πολύ πλουσιότερο.
Εδώ έχουμε δύο τροχιές
του συστήματος του Lorenz,
μια μπλε και μια κίτρινη,
που δεν ξεκίνησαν απαραίτητα
από κοντινές αρχικές συνθήκες.
Ας διαγράψουμε, π.χ.,
τα πρώτα δέκα δευτερόλεπτα της κίνησης
και ας δούμε τι θα ακολουθήσει...
Τι βλέπουμε;
Ότι οι τροχιές είναι πράγματι
πολύ διαφορετικές,
φαίνονται λίγο τρελές
και αρκετά απρόβλεπτες.
Αλλά συγκεντρώνονται
στο ίδιο αντικείμενο με μορφή πεταλούδας
το οποίο δεν φαίνεται
να εξαρτάται από την αρχική θέση.
Μοιάζουν να έλκονται από αυτήν την πεταλούδα.
Γι’ αυτό και μιλάμε
για τον ελκυστή του Lorenz.
Ένας παράξενος ελκυστής!
Πρόκειται για ένα πραγματικό επιστημονικό φαινόμενο,
το οποίο δυστυχώς δεν είναι εξίσου διάσημο
με το φαινόμενο της πεταλούδας.
Αντί να παρατηρούμε μόνο δύο τροχιές,
ας πάρουμε πολύ περισσότερες.
Κοιτάξτε αυτές τις μπάλες.
Καθεμιά αναπαριστάνει μια απλουστευμένη ατμόσφαιρα.
Μετά από λίγο
όλες συγκεντρώνονται
στην ίδια πεταλούδα.
Ένα πολύ όμορφο αντικείμενο,
που θα μπορούσε κανείς να θαυμάζει με τις ώρες.
Αυτά είναι υπαρκτά προβλήματα
για τους μαθηματικούς,
και για τους επιστήμονες γενικά.
Αντί να περιγράφουμε το μέλλον
ξεκινώντας από μία δεδομένη αρχική κατάσταση,
που ξέρουμε ότι είναι μάταιο,
θα προσπαθήσουμε να περιγράψουμε τον ελκυστή.
Με τι μοιάζει;
Πώς λειτουργεί η εσωτερική δυναμική του;
Τη δεκαετία του ’70,
οι Birman, Guckenheimer και Williams
πρότειναν ένα απλό μοντέλο
για να προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε
τον ελκυστή του Lorenz.
Παίρνουμε μια λωρίδα χαρτί...
Την διπλώνουμε, την κόβουμε... και την κολλάμε έτσι
...και έχουμε ένα ιδιαίτερο αντικείμενο στον χώρο!
Ας πάμε στη γραμμή της εκκίνησης.
Ξεκινάμε,
οδηγούμε, και λίγο μετά
είμαστε πίσω στη γραμμή εκκίνησης...
Αλλά βρισκόμαστε σε ένα άλλο σημείο,
από το οποίο ξεκινάει μια άλλη διαδρομή.
Η θέση στην γραμμή εκκίνησης
δίνεται από έναν αριθμό x
ανάμεσα στο 0 και στο 1.
Στο 0 είμαστε στα αριστερά,
στο 0,5 στη μέση και στο 1 στα δεξιά.
Αν ξεκινήσουμε από το σημείο x,
τότε το σημείο της επιστροφής είναι το 2x, αν το x είναι μικρότερο από το 0,5,
και 2x-1 αν το x είναι μεγαλύτερο από το 0,5.
Με άλλα λόγια,
όταν το αυτοκίνητο κινείται,
τα σημεία στα οποία συναντάει τη γραμμή εκκίνησης
διπλασιάζονται με κάθε γύρο,
και πρέπει να αφαιρέσουμε και 1
αν το αποτέλεσμα είναι μεγαλύτερο από το 1.
Είναι λίγο σαν το πέταλο:
οι δυναμικές στο συνεχή χρόνο
αντικαταστήθηκαν από δυναμικές
σε διακριτό χρόνο, δηλαδή
τα διαδοχικά περάσματα
από τη γραμμή της εκκίνησης.
Κοιτάξτε,
ξεκινάμε από το 1/3,
φτάνουμε στα 2/3,
και μετά στα 4/3, αλλά πρέπει να αφαιρέσουμε 1,
οπότε 1/3:
Επιστρέψαμε στο αρχικό σημείο
μετά από δυο γύρους.
Οπότε έχουμε μια περιοδική τροχιά
με περίοδο 2.
Εδώ έχουμε μια τροχιά...
με περίοδο 18.
Μια περιοδική τροχιά
περνάει διαδοχικά
από τα αριστερά και τα δεξιά αυτιά
ακολουθώντας μια ορισμένη ακολουθία.
Λοιπόν, μπορούμε να δείξουμε
ότι όλες οι ακολουθίες είναι δυνατές.
Και φυσικά,
δεν είναι όλες οι τροχιές περιοδικές.
Όποια και να είναι η άπειρη ακολουθία
από αριστερά και δεξιά,
υπάρχει μια τροχιά
που να ακολουθεί αυτό το πεπρωμένο!
Ποια είναι η σχέση ανάμεσα
στο μοντέλο του Lorenz και τις λωρίδες του χαρτιού;
Λοιπόν, χρειάστηκε να φτάσει το 2001,
που ο μαθηματικός Tucker
έδειξε οι λωρίδες του χαρτιού περιγράφουν επακριβώς
την κίνηση του ελκυστή του Lorenz.
Για κάθε τροχιά
στον ελκυστή του Lorenz
υπάρχει μια τροχιά
στις λωρίδες του χαρτιού
που συμπεριφέρεται με ακριβώς
τον ίδιο τρόπο.
Θα μπορούσαμε να κατανοήσουμε
την κίνηση της ατμόσφαιρας
πολλαπλασιάζοντας απλώς
έναν αριθμό μεταξύ του 0 και του 1
με το 2,
και αφαιρώντας 1
όταν το αποτέλεσμα βγαίνει μεγαλύτερο του 1;
Όχι βέβαια!
Όλα αυτά είναι πολύ απλοϊκά.
Αλλά είναι ένα παράδειγμα του φαινομένου.
Απλά πράγματα;
Οι μαθηματικοί τα λατρεύουν!
Γιατί έγινε τόσο δημοφιλές
το φαινόμενο της πεταλούδας;
Ίσως επειδή μας δίνει πίσω
την προσωπική μας ελευθερία.
Ο ψυχρός ντετερμινισμός του Νεύτωνα
θα μπορούσε να οδηγήσει σ’ ένα είδος μοιρολατρίας.
Η πεταλούδα του Lorenz μας λέει ότι,
όσο μικροί κι αν είμαστε,
μπορούμε να επηρεάσουμε τον κόσμο!
Καλά νέα για μας!