CAOS, Capítulo 7. El efecto mariposa
Si observamos el movimiento
de la atmósfera,
entendemos enseguida
que es infinitamente más complejo
que el del sistema solar.
La atmósfera es un fluído
que, en cada altura,
por encima de cada punto de la superficie de la Tierra,
tiene una velocidad, una densidad,
una presión, una temperatura, etc.
Todo esto cambia con el tiempo.
Por supuesto que es inconcebible
conocer toda esta
infinita información.
Es casi como estar
en un espacio de dimensión infinita.
Para entender un poco de lo que sucede,
debemos hacer aproximaciones.
En 1963, Edward Lorenz
simplificó, simplificó
y volvió a simplificar el problema.
Simplificó tanto,
que ya no había garantía de que su ecuación
tuviera algo que ver
con la realidad.
Su modelo de la atmósfera
se había reducido a
sólo tres números x, y, z
y, la evolución de la atmósfera,
a una pequeña ecuación:
Cada punto (x, y, z) en el espacio
representa un estado de la atmósfera
y la evolución consiste en seguir
un campo vectorial.
Por ejemplo,
y éste es sólo un ejemplo,
supongamos que la primera coordenada
representa la temperatura,
la segunda, la velocidad el viento
la tercera, la humedad.
Aquí, hace frío,
el viento sopla fuerte y está lloviendo.
Aquí tenemos todo lo contrario.
Cuando seguimos una trayectoria del campo,
estamos siguiendo la evolución del clima.
¡El meteorólogo sólo tiene que
resolver una ecuación diferencial!
Ésto es lo que Lorenz observó
cuando estudió su modelo.
Pero, ¿tiene todo esto algo que ver
con el verdadero clima?
¡No está del todo claro!
Ésto es lo que los físicos
llaman un modelo de juguete,
y se utiliza para tratar de entender,
a grandes rasgos,
un comportamiento complejo.
De hecho, fue este tipo de gráfica
que Lorenz observó,
ya que su computadora,
en 1963,
era muy primitiva.
Veamos estas dos atmósferas
representadas por los centros de estas dos bolas,
que se parecen mucho,
que son casi iguales,
y observemos lo que les sucede después.
Al principio, sus evoluciones
son casi indistinguibles.
Pero luego se separan
significativamente:
las dos atmósferas
se vuelven completamente diferentes.
Esto es el caos: la dependencia sensible
a las condiciones iniciales.
En 1972, Lorenz iba a presentar
sus trabajos en un congreso prestigioso,
pero no mandó a tiempo
el título de su conferencia.
El organizador tenía que enviar
el programa a los asistentes,
por lo que le puso como título:
«Predicción: ¿Puede el aleteo de las alas
de una mariposa en Brasil
ocasionar un tornado
en Texas?
¡Había nacido el efecto mariposa!
Frecuentemente, los conceptos matemáticos
no son bien entendidos
por el público general.
¡La imagen de una pequeña y frágil mariposa
que tiene influencia en el mundo entero
es muy poética!
La idea fue muy exitosa
y fue modificada poco a poco.
Siempre hay una mariposa
responsable de los desastres
en Nueva York... o en Chicago...
pero aveces se encuentra en África
y otras veces en China.
Interesante...
Esta idea se ha expresado
en la literatura, la música y el cine.
La lista de películas
basadas en ella es interminable.
En Babel, la película de
Alejandro González Iñárritu,
del 2006, hay muchas emociones.
Un insignificante accidente
de herida de bala en Marruecos
cambia las vidas
de una pareja estadounidense,
de una niñera mexicana
y de una adolescente japonesa.
Un juego de pequeñas causas
y grandes consecuencias.
Una reflexión sobre cómo el azar
puede llegar a determinar nuestro destino.
Sin embargo, sólo la mitad
del mensaje de Lorenz
ha llegado al público general.
¿Será que la teoría del caos
se limita a decirnos que,
en la práctica,
es imposible predecir el futuro?
¿Cómo puede un científico
resignarse a aceptar tal fracaso?
El mensaje de Lorenz
es mucho más profundo.
Aquí tenemos dos trayectorias
del sistema de Lorenz,
una azul y otra amarilla,
que no necesariamente empiezan
con las mismas condiciones iniciales.
Borremos, por decir algo,
los primeros 10 segundos del movimiento
y veamos qué sucede.
¿Qué vemos?
En efecto, las trayectorias
son muy diferentes,
parecen ser muy locas
y muy poco predecibles.
Pero se acumulan
en el mismo objeto con forma de mariposa
que parece no depender
de la posición inicial.
Parecen ser atraídas por esta mariposa.
A ésto nos referimos
como atractor de Lorenz.
¡Un atractor extraño!
Éste es un hecho científico positivo,
que desafortunadamente no es tan famoso
como el efecto mariposa.
En lugar de observar dos trayectorias,
veamos muchas más.
Mira todas esas bolas, cada una
representando una atmósfera simplificada.
Después de un tiempo,
todas se acumulan
en la misma mariposa.
Un objeto maravilloso,
que podemos admirar perpetuamente.
Estos son problemas reales
para los matemáticos
y los científicos en general:
en lugar de describir el futuro
a partir de ciertas condiciones iniciales,
lo cual sabemos inútil,
tratamos de describir un atractor.
¿Cómo luce un atractor?
¿Cómo funciona su dinámica interna?
En los años setenta
Birman, Guckenheimer y Williams
propusieron un modelo simple
con la finalidad de entender
el atractor de Lorenz.
He aquí una tira de papel.
Vamos a doblarla, cortarla y pegarla.
Y obtendremos un objeto especial en el espacio.
Parémonos en la línea de salida.
¡Aquí vamos!
Avanzamos y, poco tiempo despúes,
estamos de vuelta en la línea de salida.
Pero estamos en un nuevo punto,
del que parte otra trayectoria.
La posición de la línea de salida
está dada por un número x
entre 0 y 1.
En 0, estamos a la izquierda,
en 0.5, en la mitad y, en 1, a la derecha.
Si empezamos en el punto x,
el punto de retorno es 2x si x<0,5
y 2x-1 si x>0,5.
En otras palabras,
cuando el auto se va moviendo,
el punto donde encuentra la línea de salida
se duplica a cada vuelta,
salvo que tenemos que restarle 1
si el resultado es mayor que 1.
Es un poco como la herradura:
reemplazamos la dinámica
en tiempo continuo
por una dinámica en tiempo discreto:
los pasos sucesivos
por la linea de salida.
¡Observa!
salimos de 1/3,
llegamos a 2/3,
luego a 4/3, pero aquí debemos de restarle 1,
esto es, llegamos a 1/3:
Estamos de regreso en el punto inicial
después de dos vueltas,
por lo que tenemos una trayectoria
de periodo 2.
Aquí tenemos
una trayectoria de periodo 18.
Una trayectoria periódica
pasa sucesivamente
por las orejas izquierda y derecha
siguiendo cierta sucesión.
Pues bien, se puede mostrar
que todas las sucesiones son posibles.
Por supuesto, no todas las trayectorias
son periódicas.
Para cualquier sucesión infinita
de izquierdas y derechas,
existe una trayectoria
que sigue ese destino.
¿Cuál es la relación entre el modelo de Lorenz
y el que hicimos con la tira de papel?
Fue hasta el 2001
que el matemático Tucker
demostró que el modelo de la tira de papel
describe con precisión el movimiento de Lorenz.
Para cada trayectoria
del atractor de Lorenz,
existe una trayectoria
en el modelo de papel
que se comporta
de la misma manera.
¿El movimiento
de la atmósfera
se reduce a multiplicar
repetidamente por 2
un número entre 0 y 1,
restándole 1
si el resultado es mayor a 1?
¡Por supuesto que no!
¡Es demasiado simplista!
Sin embargo, es una imagen del fenómeno.
¡Situaciones simples!
¡Los matemáticos las adoran!
¿Por qué se volvió tan popular
el efecto mariposa?
Quizás porque reconoce
nuestra libertad individual.
Aceptar el determinismo frío de Newton
nos puede llevar al fatalismo.
La mariposa de Lorenz afirma que,
por pequeños que seamos,
podemos tener influencia en el mundo entero.
¡Buenas noticias!