CHAOS 7: Der Lorenz-Schmetterling
Wenn man die Bewegung
der Atmosphäre betrachtet,
erkennt man schnell,
dass sie unendlich viel komplexer ist
als die des Sonnensystems.
Die Atmosphäre ist ein Fluid,
es besitzt an jedem Punkt der Erdoberfläche
und in jeder Höhe eine Geschwindigkeit,
eine Dichte, einen Druck,
eine Temperatur etc.
All dies ändert sich im Lauf der Zeit.
Es ist natürlich undenkbar,
all diese Größen zu kennen,
unendlich viele an der Zahl.
Es ist in etwa so, als befände man sich in einem Raum
mit unendlich vielen Dimensionen:
um etwas davon zu verstehen
muss man Näherungen vornehmen.
Im Jahr 1963 vereinfachte Edward Lorenz
das Problem, und vereinfachte weiter,
und weiter.
Er vereinfachte es so sehr,
dass nichts mehr garantiert,
dass seine Gleichung noch irgendetwas
mit der Realität zu tun hat.
Sein Modell der Atmosphäre
reduzierte sich auf nur
drei Zahlen (x, y, z)
und die zeitliche Entwicklung der Atmosphäre
auf eine kleine Gleichung:
Jeder Punkt (x, y, z) im Raum
symbolisiert einen Zustand der Atmosphäre
und die zeitliche Entwicklung besteht darin,
einem Vektorfeld zu folgen.
Beispielsweise
- aber das ist nur ein Beispiel...
könnte die erste Koordinate
die Temperatur darstellen,
die zweite die Windgeschwindigkeit
und die dritte die Luftfeuchtigkeit.
Hier ist es kalt,
der Wind bläst und es regnet...
Und dort das Gegenteil...
Wenn man einer Bahn des Vektorfelds folgt,
folgt man der Entwicklung des Wetters...
Der Meteorologe muss also nur
eine Differenzialgleichung lösen!
Das war Lorenz' Entdeckung
als er sein Modell studierte.
Hat das Modell einen Zusammenhang
mit dem echten Wetter?
Absolut unklar.
Die Physiker würden es
ein Spielzeugmodell nennen,
mit dem man versucht,
die groben Züge
eines komplexen Verhaltens zu verstehen.
Tatsächlich betrachtete Lorenz
eher Grafiken dieser Art,
da der Computer,
den er 1963 benutzte,
recht primitiv war.
Betrachten wir zwei Atmosphären,
die durch die Mittelpunkte dieser zwei
extrem nahen Kugeln dargestellt werden,
- zwei fast identische Atmosphären...
und beobachten wir ihr Verhalten in der Zukunft.
Zunächst kann man die beiden Entwicklungen
nicht unterscheiden.
Aber dann weichen sie
signifikant voneinander ab:
die beiden Atmosphären
verhalten sich ganz verschieden.
Dies nennt man Chaos: die sensible
Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen.
1972 sollte Lorenz seine Arbeiten auf
einer renommierten Konferenz präsentieren.
Da er mit der Einsendung des Vortragstitels
im Verzug war,
wählte der Organisator
- um den Teilnehmern das Programm versenden zu können...
selbst den Titel:
“Vorhersagbarkeit:
Kann der Flügelschlag
eines Schmetterlings in Brasilien
einen Tornado in Texas auslösen?”
Der Schmetterlingseffekt war geboren!
Es ist leider viel zu selten so,
dass ein mathematisches Konzept
von der großen Öffentlichkeit beachtet wird.
Gibt es ein schöneres, poetischeres Bild
als das des kleinen Schmetterlings, so zerbrechlich,
der die Welt beeinflusst?
Die Idee war sehr erfolgreich
und wurde nach und nach variiert.
Es handelt sich immer um einen Schmetterling,
aber manchmal kommt er aus Afrika
oder aus China.
Und er ist verantwortlich für Katastrophen
in New York oder Chicago.
Interessant...
Die Idee wurde von Kino,
Literatur und Musik aufgegriffen.
Endlos ist die Reihe der Filme
die auf diesem Prinzip beruhen.
Viele Emotionen in “Babel”,
dem Film von Alejandro González Iñárritu,
der 2006 in die Kinos kam.
In Marokko löst sich ein Schuss,
ein unwichtiges Ereignis,
aber es ändert das Leben
eines amerikanischen Paares,
eines mexikanischen Kindermädchens
und einer japanischen Jugendlichen.
Das ganze ein Spiel mit kleinen Ursachen
und großen Konsequenzen.
Eine Reflexion über das menschliche Schicksal
- unterliegt es dem Zufall oder der Notwendigkeit?
Unglücklicherweise hat nur
die eine Hälfte von Lorenz' Botschaft
die Weltöffentlichkeit erreicht.
Kann man die Chaostheorie
auf die Behauptung beschränken,
dass es in der Praxis unmöglich ist,
die Zukunft vorherzusagen?
Wie könnte sich ein Wissenschaftler
mit solch einem Eingeständnis einer Niederlage zufrieden geben?
Lorenz' Erkenntnisse
sind nämlich weitaus umfangreicher.
Hier sind zwei Bahnen
des Lorenz-Systems,
eine blaue und eine gelbe,
die nicht notwendigerweise
von ähnlichen Anfangsbedingungen ausgehen.
Löschen wir - sagen wir mal...
die ersten zehn Sekunden der Bewegung
und beobachten wir den weiteren Verlauf.
Was stellt man fest?
Dass die Bahnen
wirklich sehr unterschiedlich sind,
sie scheinen ein wenig wild
und wenig vorhersehbar zu sein.
Aber sie häufen sich auf der gleichen Figur
in Form eines Schmetterlings
die nicht von der Ausgangsposition
abzuhängen scheint.
Sie scheinen von diesem Schmetterling angezogen zu werden.
Aus diesem Grund spricht man
vom Lorenz-Attraktor.
Ein wirklich seltsamer Attraktor!
Hier ist also ein positives wissenschaftliches Phänomen,
das unglücklicherweise weitaus unbekannter ist
als der Schmetterlingseffekt.
Anstatt zwei Bahnen zu beobachten,
betrachten wir nun viele.
Sehen Sie all diese Kugeln.
Jede von ihnen stellt eine idealisierte Atmosphäre dar.
Nach einer gewissen Zeit
häufen sie sich alle
auf dem gleichen Schmetterling.
Ein solch schönes Objekt,
das man stundenlang betrachten könnte.
Dies sind echte Probleme
für Mathematiker
und Wissenschaftler im Allgemeinen.
Anstatt die Zukunft einer gegebenen
Anfangsbedingung zu beschreiben,
- wir wissen, dass dies illusorisch ist...
werden wir versuchen, den Attraktor zu beschreiben.
Wie sieht er aus?
Wie verhält sich die innere Dynamik?
In den siebziger Jahren
schlugen Birman, Guckenheimer und Williams
ein einfaches Modell vor,
um zu versuchen,
den Lorenz-Attraktor zu verstehen.
Hier ist ein Papierstreifen.
Wir falten ihn, schneiden ihn durch, und kleben ihn wieder zusammen,
und erhalten ein erstaunliches Objekt im Raum!
Wir stellen uns auf die Startlinie.
Auf geht's,
wir fahren los, und einige Zeit später
kommen wir wieder zur Startlinie...
Aber wir befinden uns an einem anderen Punkt,
von dem ein neuer Weg ausgeht.
Die Position auf der Startlinie
wird durch eine Zahl x
zwischen 0 und 1 beschrieben.
Bei 0 befindet man sich links,
bei 0,5 in der Mitte und bei 1 rechts.
Wenn man vom Punkt x startet,
endet man nach einer Runde bei 2x, falls x<0,5
und bei 2x-1, wenn x>0,5.
Anders gesagt,
wenn sich das Auto bewegt,
wird der Wert, bei dem es die Startlinie überquert
bei jeder Runde verdoppelt,
außer, dass man manchmal 1 abziehen muss
wenn das Ergebnis größer als 1 ist.
Es ist ein bisschen so wie beim Hufeisen:
wir haben ein kontinuierliches
dynamisches System
durch ein diskretes ersetzt,
und zwar die aufeinanderfolgenden
Überquerungen der Startlinie.
Schauen Sie,
wir starten bei 1/3,
wir kommen bei 2/3 an,
dann bei 4/3 - aber wir müssen 1 abziehen,
also bei 1/3:
wir sind nach zwei Runden
zurück am Anfangspunkt.
Wir haben eine periodische Bahn
mit Periode 2.
Hier ist eine periodische Bahn
mit Periode 18.
Eine periodische Bahn
durchläuft der Reihe nach
das linke und rechte “Ohr”
einer bestimmten Regel folgend.
Nun, es kann gezeigt werden,
dass alle Folgen möglich sind.
Und natürlich
sind nicht alle Bahnen periodisch.
Wie auch immer die unendliche Folge
von links und rechts aussieht,
es gibt eine Bahn,
die dieser Bestimmung folgt!
Was ist die Beziehung zwischen
dem Lorenz-Modell und dem des Papierstreifens?
Nun, man musste bis 2001 warten,
erst dann zeigte der Mathematiker Tucker,
dass das Papierstreifenmodell
die Lorenz-Bewegung akkurat beschreibt.
Für jede Bahn
im Lorenz-Attraktor
findet man eine Bahn
auf den Papierstreifen
die sich auf genau
gleiche Weise verhält.
Lässt sich das Verständnis
der Bewegung der Atmosphäre
also darauf zurückführen,
ständig eine Zahl zwischen 0 und 1
mit 2 zu multiplizieren,
und 1 abzuziehen,
wenn das Ergebnis größer als 1 ist?
Natürlich nicht!
All das ist noch viel zu vereinfacht,
aber es illustriert das Phänomen.
Einfache Dinge?
Mathematiker lieben sie!
Warum hat der Schmetterlingseffekt
einen solchen Erfolg?
Vielleicht weil er unsere
individuelle Freiheit wiederherstellt.
Das Erbe des kalten Newtonschen Determinismus
konnte zu einer Art Fatalismus führen.
Der Lorenz-Schmetterling hingegen sagt:
egal wie klein wir sind,
können wir Einfluss auf die Welt haben!
Gute Nachricht für uns!