CHAOS6- Smale à Copacabana 海灘上的邂逅
1960年代初期
年輕的美國數學家，史蒂芬·斯梅爾
在科帕卡巴納海灘上思考時
得到了一個新發現
他發現了一個馬蹄鐵
當然，不是在沙灘上！
他發現的馬蹄鐵
想當然爾
是個抽象的數學概念
這又是另一個化簡混沌現象
到其最基本形式的簡單點子
首先我們必須解釋一個
追溯到龐加萊的想法
這是一個空間中的向量場
一道軌線從綠色的圓盤出發
繞一圈後
穿過圓盤
又繞了一圈，不斷重覆下去
對於圓盤上的每個點x
我們可以觀察從x出發的軌線
並等待它再次打中
圓盤上另一個
記為T(x)的點
幾秒鐘過後
新的起點又會被T送到
第三個點T(T(x))
並不斷重複下去
每繞一圈，新的起點又會被T改變一次
我們不再研究空間中的軌跡
轉而研究圓盤上的點序列：
它們畫起來更容易些
於是我們把
連續變化向量場上的動態系統
替換成隨著離散時間 0、1、2、3 等等
變化的動態系統
這種形式通常更容易理解
在這裡，T是一個
1/3圈的旋轉變換
正中央的軌線對應到
旋轉變換的不動點，也就是原點
其他的軌線
也是週期性的
但需要三倍長的時間
才能回到最初的位置
因為旋轉的角度是1/3圈
在這裡，T是一個相似變換
軌線不再是週期性的
相反地，它們呈螺旋形
圍繞著中央軌線向內逼近
我們說位於中央的週期軌線是穩定的
以下是一個不穩定的軌跡
變換T沿著水平方向
擠壓那隻小貓
同時沿著垂直方向拉長它
圓盤中心是個不動點
因此它所對應的軌線也是週期性的
我們看到位於橫軸上的軌線
逐漸靠近不動點
但位於縱軸上的軌線
卻逐漸遠離不動點
可憐的小貓咪！
現在來看我們的馬蹄鐵
看看這個正方形
將如何隨著時間變形
這次變換T
結合了伸展、壓縮
以及一個反折
當正方形回到起初的圓盤上
它已經變成了馬蹄形
現在我們讓時間往回走
並觀察正方形的變化：
這樣的逆變換
仍然由伸展、壓縮以及反折組成
只不過換了個方向
想像一下方形的過去與未來
剛剛我們看到，繞一圈過後
它變成一塊馬蹄鐵
時光倒流，往反方向繞一圈後
它變成一塊
轉了90度角的馬蹄鐵
畫面上那兩個垂直的帶狀區域
是方形和蹄鐵的交集
這回輪到它們
受到伸展、壓縮以及反折作用
時間若往回走也是同樣的變換
而這樣的結構將無限次地復制下去
這塊馬蹄鐵實在有點複雜！
我們該如何理解它的動態系統？
我們將這個區塊稱作A
另一個我們稱作B
令人吃驚的是
我們得到與阿達馬測地線和撞球
幾乎相同的結果
對於任意由A和B組成的有限序列
甚至包括那些可重複的
例如BABB
都存在一個週期點
恰好遵循這條路線
在這個例子當中，位於B區域的一個點
跳到A，接著跳到B
之後又跳回B，並回到它的初始位置
這是唯一一個
一直停留在A中的點：
這是一個不動點
這是個在B裡面的不動點
這個點在A和B之間交替穿梭
當然，就像撞球的情況一樣
我們並不受限於有限序列
你可以選擇任何一串無窮序列
例如BBAABBBAABABA...
那麼總是存在一個點
使得這個點在未來，遵循這條路線
靜下心想想看
實在是難以置信！
所有未來可能的生活
都至少會被一個人實現…
呃...我的意思是，一個點！
沒有任何預測可言
因為一切都有可能發生
我們重新尋獲了自由意志！
一切皆有可能...
做為渾沌的口號再好不過
感謝斯梅爾先生
斯梅爾意識到
想要理解一件事情
我們並不總是需要
徹底地認識它
一張變形的圖像往往足夠我們
認出一張臉龐
他證明了馬蹄鐵是穩定的
請注意！
這並不意味著
軌線是穩定的
相反地，軌線相當敏感於
初始條件的變化
他證明的是，所謂的
結構上的穩定性
經過變形，你還是能將它認出來
你瞧
右邊的是原本的蹄鐵
在左側
另一個稍微不同的蹄鐵
正在成形
反正我們有很多方法
將正方形拉成長方形
接著再將它折成馬蹄形
這就如同
我們研究兩個太陽系
但假設當中的行星
有著稍微不同的質量
兩個幾乎相同的蹄鐵
我們可以對這塊蹄鐵
作完全一樣的事情
並用相同的方式
將垂直的區域起名為A'和B'
接著我們用相同的方法證明
所有新蹄鐵上的軌線
仍然被由A'與B'組成的序列描述
因此變形過後的蹄鐵
還是和原來的蹄鐵一樣混沌
混沌確實存在
並且堅不可摧
事實上，斯梅爾證明
兩塊蹄鐵的運動
某種程度上，是一樣的
你瞧
左右兩邊的軌線
踩著一樣的舞步
它們依序拜訪了相同的A、A'與B、B'
所有第一塊蹄鐵上的軌跡
都相應於某條第二塊蹄鐵上的軌跡
反之亦然
正是在這種意義上
蹄鐵有結構上的穩定性：
變形過後的蹄鐵
不僅混沌依存
而且還保有相同的動態系統
單獨的軌跡雖然是不穩定的
但就整體而言，系統的動態卻是穩定的
二十世紀初
龐加萊透過他的數學詮釋
解釋在瞭解不多的情況下
理解動態系統的可能性
「當您要我預測
將會發生的現象
如果我不幸地知道
這些現象所遵循的法則
要得出這些現象
我大概只能透過許多棘手的計算
最後只好放棄給您答覆
所幸的是，我並不知道這些法則
所以我可以馬上回答您
而且，令人嘆為觀止的是
我的答案將是正確的」
混沌導致單獨軌跡的不穩定性
和整體結構的穩定性
兩者並存
這絕對是個令人矚目的現象
我是不穩定的
但我周圍的世界卻是穩定的
實在令人心安 ;-)