CHAOS6斯梅尔在科帕卡巴纳
20世纪60年代初，
年轻的美国数学家史蒂芬·斯梅尔
在科帕卡巴纳海滩上思考时，
得到了一个新的发现。
他发现了一个马蹄铁。
当然，不是在沙滩上！
事实上，他的马蹄铁
自然地，
是个抽象的数学概念。
这又是一个简单的想法
其目的是把混沌简化到
其最基本的形式。
首先我们必须解释一个
追溯到庞加莱的想法。
这是一空间中的向量场。
一道轨线从绿色的圆盘出发
绕一圈后
穿过圆盘
又绕了一圈，如此不断重复下去
等等。
对于盘上的每个点x，
我们可以观察从x出发的轨线，
并等待
它再次打在盘上，
记这新的一点为T(x)。
几秒钟后，
这个新的起点，进一步由T改变：
到达第三个点T(T(x))，
等等。
在每一个次回归，这一点又被T改变。
我们用研究盘上的这一序列点
来代替研究空间中的轨迹，
因为它们更容易画些。
这样我们就把连续变化的
向量场上动力系统，
替换成随离散时间0，1，2，3 等
变化的动力系统。
通常，它相对简单易懂些。
在这里，变换T是一个
三分之一圈旋转。
圆心轨迹对应于
旋转的固定点，既原点。
其他的轨迹
也是周期的。
但需要三倍长的时间
才能返回到起点，
因为旋转的角度是三分之一圈。
在这里，T是一个相似变换。
轨迹不再是周期的，
相反地，它们呈螺旋形
围绕中央轨线向内逼近。
我们说中心周期轨迹是稳定的。
这里是一个不稳定的轨迹。
变换T横向挤压小猫，
同时将它沿竖向拉长。
中心是一个不动点，
其对应的空间路径是周期性的。
你看到，
横轴上点的轨迹
逐渐接近不动点，
而纵轴上的呢，
则远离它。
可怜的小猫咪！
现在来看我们的蹄铁。
看看这个正方形
将如何随着时间变形
这次变换T
结合了伸展、压缩
以及一个反折。
当正方形
回到起初的圆盘上时，
它变成了蹄铁形。
现在我们让时间倒流，
并观察正方形的变化：
这个逆变换
仍然由伸展、压缩以及反折组成。
只不过换了个方向。
想像一下方形的过去与未来
刚刚我们看到，顺时绕一圈过后
它成为一个蹄铁。
而逆时绕一圈后，
它还是变成一个蹄铁，
只不过转动了90度。
你看到的这两个小竖条纹
作为
方形和蹄铁的交集，
又被压缩，
拉长和弯曲。
当然逆时的情况也是一样。
而所有这些结构将无限次复制下去。
这块蹄铁实在是有点复杂！
我们该如何理解它的动力系统？
记这个区域为A，
而这个，B。
令人惊奇的是，
我们得到和阿达玛的台球测地线
几乎相同的结果。
对于每一个由A和B组成的有限序列，
甚至包括那些可重复的，
例如BABB，
都有一个周期点
恰好遵循这条路线。
在该示例中，这是一个B中的点
跳到A，再到B，
再跳回到B中的始发点。
这里是唯一一个
一直停留在A中的点：
它是一个不动点。
这是个在B中的不动点。
这个点在A和B间交替穿梭。
当然，就象台球的情况那样，
轨迹不只限于有限序列。
你可选择任一无限序列，
如BBAABBBAABABA ...
那么总是存在一点，
其未来轨道遵循这条路线。
静下心想想看，
这实在是令人难以置信！
所有未来可能的生活
都至少被一个人实现...
呃...我的意思是说，一个点！
没有任何预测可言
因为一切都可能发生。
完全自由和开放！
一切皆有可能...
做为混沌的口号再好不过。
谢谢你，斯梅尔先生。
斯梅尔还意识到，
要想理解一件事情，
我们并不总是需要
完全彻底地认识它。
一张变了形的图像
往往足以识别脸庞。
他证明了蹄铁是稳定的。
注意！
这并不意味着
轨迹们是稳定的。
正相反，轨迹对于初始条件
是高度敏感的。
他证明的是，所谓的
结构稳定性。
把它变形...你还能认出它。
瞧！
右边是原本的蹄铁
而在左侧
另一个稍微不同的蹄铁正在呈现。
毕竟我们有很多种方式
把方形拉长并折成蹄铁形，
然后再将其放置于
原方块儿之上。
这有如同我们在研究
两个相似的太阳系，
并假设当中的行星
有着稍微不同的质量。
两块蹄铁几乎相同。
我们可以，
对这块新的蹄铁，
照葫芦画瓢，
以相同的方式命名区域A'和B'。
并以同样的方式证明，
新蹄铁的各个轨迹，
仍被由A'和B'组成的序列描述。
因此，变了形的蹄铁
与原来的同样混沌。
混沌确实存在，
而且坚不可摧。
事实上，斯梅尔证明
两块蹄铁的运动
从某种意义上是一样的。
看，
这左右两边的轨迹，
跳着同样的舞步。
它们依序访问着相同的A，A'与B，B'。
所有第一块蹄铁上的轨迹
都对应于第二块蹄铁的一个轨迹；
反之亦然。
正是在这种意义上我们说
蹄铁具有结构稳定性：
蹄铁尽管变了形，
但混沌依存，
且动力系统依旧。
虽然单个的轨迹是不稳定的，
但整体的动态，是稳定的。
庞加莱曾在二十世纪初
以他特有的公式感来诠释
在所知不多的情况下，
如何理解一个动力体系。
「你要我预测
将会发生的现象。
如果我不幸地知道，
这些现象所遵循的法则，
我还是不得不实施
很多棘手的计算。
所以我只好放弃答复你。
所幸的是，我并不知道这些法则，
所以我可以马上回答你。
而且，令人吃惊的是，
我的答案是正确的。」
混沌性，既单个轨迹的不稳定性，
和结构稳定性，一个整体性质，
两者并存，
这绝对是个令人瞩目的现象。
我是不稳定的，
但我周围的世界是稳定的。
这令人心安，是吧？