KAOS - 6. del Smale na Copacabani
V zgodnjih 1960-tih je mladi ameriški matematik Steve Smale
med delom na plaži Copacabana prišel do velikega odkritja...
Odkril je konjsko podkev!
Seveda ne v pesku.
Konjska podkev je v resnici abstrakten matematičen objekt.
Je preprost primer, ki bistvo kaosa predstavi
na najosnovnejši način.
Začnimo z razlago stare ideje, ki izvira pri Poincaréju.
Tu je vektorsko polje v prostoru.
Trajektorija, ki prične pot na rumenem disku,
potuje okrog po obroču in ponovno obišče disk,
nato napravi še en krog in tako dalje.
Za vsako točko x na disku trajektorija z začetkom v x
disk ponovno zadane v novi točki T(x).
Pri naslednjem obhodu se T(x) ponovno preslika s T.
s čimer dobimo še tretjo točko T(T(x)) in tako dalje.
Začetno vektorsko polje določa preslikavo T na točkah diska.
Namesto trajektorij opazujmo le zaporedje preslikanih točk.
To je tudi lažje narisati.
Dinamiko polja v zveznem času smo zamenjali
z dinamiko preslikave T v diskretnem času: 0, 1, 2, 3,...
Pogosto je to bolj razumljivo.
V tem primeru preslikava T zavrti točke za tretjino kroga.
Središčna trajektorija ustreza fiksni točki rotacije: središču.
Druge trajektorije so prav tako periodične,
a potrebujejo tri kroge za vrnitev v začetno točko,
saj preslikava točke diska zavrti za tretjino kroga.
Tukaj je T podobnostna transformacija.
V tem primeru trajektorije niso periodične.
Med kroženjem se približujejo središčni trajektoriji.
Središčna trajektorija je periodična in stabilna.
Tukaj je še en primer nestabilnih trajektorij:
preslikava T stiska mačko po širini in razteguje po dolžini.
Ker središče pri tem miruje, je središčna trajektorija periodična.
Trajektorije na horizontalni osi se bližajo središču,
medtem ko se na vertikalni osi od njega oddaljujejo.
Uboga mala muca!
Nadaljujmo h konjski podkvi...
Oglejmo si, kako se ta kvadrat sčasoma deformira.
Transformacija T združuje razteg in skrčitev,
a tudi upogibanje.
Po vrnitvi na začetni disk dobi kvadrat obliko podkve.
Opazujmo njegovo obliko še med vračanjem v času
glede na obratno preslikavo.
Razteg, skrčitev in upogib, a vse v obratni smeri.
Poskusimo si zamisliti prihodnost in preteklost kvadrata.
Videli smo, da po prvem krogu kvadrat postane podkev.
Po enem krogu v obratno smer, v preteklost,
pa kvadrat postane podkev, zavrtena za četrt kroga.
Navpični črtici na preseku kvadrata in podkve
sta prav tako skrčeni, raztegnjeni in prepognjeni.
Obnašanje v preteklosti je enako.
Vse to lahko neskončnokrat ponovimo.
Zelo zapletena podkev!
Kako razumeti njeno dinamiko?
Imenujmo eno območje A in drugo B.
Osupljivo je, da dobimo skoraj enake rezultate
kot pri Hadamardovih geodetkah in biljardih:
Za vsako končno zaporedje črk A in B,
tudi z dovoljenimi ponovitvami, denimo BABB,
obstaja periodična točka, ki sledi točno tej poti.
V zadnjem primeru bo točka iz območja B skočila v A,
pa nazaj v B in še enkrat v B,
nato pa nazaj v začetno točko.
Tukaj je edina točka iz A, ki vedno ostane v A:
to je fiksna točka.
Ta fiksna točka leži v območju B.
Ta točka pa izmenično preskakuje iz območja A v B.
Podobno kot pri biljardih ta lastnost ni omejena na končna zaporedja.
Izberite mi poljubno neskončno zaporedje, denimo BBAABBBAABABA...
Tedaj obstaja točka, ki bo sledila natanko tej poti.
Razum nam pravi, da je to neverjetno:
vsaka možna prihodnost je torej resnična za vsaj eno osebo,
no, oprostite, točko.
Napoved je nemogoča, saj je vse mogoče.
Svobodna volja je ponovno odkrita!
Vse je mogoče!
To je odličen slogan za kaos. Hvala vam, gospod Smale.
Smale je dojel, da ni vedno nujno, da stvari
natanko poznamo, da bi jih lahko razumeli.
Izkrivljena slika pogosto zadošča, da prepoznamo obraz.
Smale je pokazal, da je konjska podkev stabilna.
Pozor, to ne pomeni, da so trajektorije stabilne.
Nasprotno, trajektorije so zelo občutljive na začetne pogoje.
V mislih imamo strukturno stabilnost.
Popačite sliko gospoda Smalea, pa ga boste še vedno prepoznali.
V kvadratu na desni je začetna podkev,
v obroču na levi pa nastaja druga, malenkost drugačna.
Navsezadnje lahko raztegovanje in pregibanje kvadrata
v podkev opravimo na več načinov.
To nas spominja na primerjavo dveh sončnih sistemov
s planeti, ki imajo nekoliko različne mase.
Dve skoraj identični podkvi.
Na enak način kot pri začetni podkvi
označimo področji A in B oziroma, A' in B'.
Dokažemo lahko, da so trajektorije nove podkve
še vedno opisane z zaporedji črk A in B.
Popravljena podkev je enako kaotična kot prvotna.
Kaos je v resnici tam.
Je neuničljiv.
Smale je pravzaprav dokazal,
da sta gibanji na podkvah nekako identični.
Poglejmo.
Leva in desna trajektorija sledita isti koreografiji.
Hkrati obiščeta isti točki iz A in A' ter isti točki iz B in B'.
Vsaka trajektorija iz druge podkve ima svoj par v prvi in obratno.
V tem smislu je struktura stabilna:
podkev lahko poljubno deformiramo, po bo vseeno ostala kaotična
in bo celo obdržala isto dinamiko kot prej.
Posamične trajektorije so nestabilne, dinamika kot celota pa je stabilna.
Zgodaj v 20. stoletju je Poincaré z značilnim humorjem pojasnil,
zakaj lahko dinamiko razumemo, četudi je dobro ne poznamo.
»Sprašujete me, naj napovem fenomene, ki se bodo zgodili.
Če bi na svojo nesrečo poznal vse zakone teh fenomenov,
bi vprašanje od mene zahtevalo nemogoče izračune,
zato vam ne bi zmogel odgovoriti.
A ker sem na srečo preveč neveden, vam lahko odgovorim takoj.
In, kar je najbolj neverjetno, moj odgovor bo pravilen.«
Soobstoj kaosa kot nestabilnosti individualnih trajektorij
in strukturne stabilnosti, ki je globalna lastnost,
je zares osupljiv.
Jaz sem nestabilen, toda svet okrog mene je stabilen.
Kako pomirjujoče ;-)