ХАОС Глава 6 — Смейл в Копакабане
В начале 1960-х молодой американский математик Стив Смейл
работал на пляже Копакабана, когда он совершил открытие.
Он открыл подкову.
Не в песке, разумеется!
На самом деле, его подкова,
в том виде, как он её придумал —
абстрактный математический объект.
Это ещё одна простая идея
в попытках свести хаос к его самому простому выражению.
Сначала нам придётся объяснить старую идею,
восходящую к Пуанкаре.
Вот векторное поле в пространстве.
Траектория, которая начинается на этом диске, делает полный оборот
и затем вновь его пересекает,
затем совершает еще один оборот, и так далее.
Для каждой точки x диска,
можно наблюдать за начинающейся с неё траекторией
и ждать, пока она не пересечёт этот диск снова в новой точке T(x).
Несколькими секундами позже,
эта точка опять подвергается преобразованию T,
и мы получаем третью точку T(T(x))
…и так далее:
при каждом возвращении точка подвергается преобразованию T.
Вместо изучения траектории в пространстве
мы изучаем последовательность точек в диске:
её гораздо легче рисовать!
Говоря научно, мы заменили динамику векторного поля с непрерывным временем
динамикой преобразования T с дискретным временем: 0, 1, 2, 3, и т. д.
Её зачастую гораздо проще понять.
Здесь преобразование T — это поворот на треть полного оборота.
Центральная траектория соответствует
неподвижной точке поворота: началу координат.
Другие траектории также периодичны,
но им требуется в три раза больше времени, чтобы вернуться в начальную точку:
ведь мы поворачиваем на треть полного оборота.
Здесь преобразование T — преобразование подобия.
Траектории уже не периодичны.
Напротив, они приближаются к центральной траектории, оборачиваясь вокруг неё.
Центральная периодическая траектория устойчива.
А вот неустойчивая траектория.
Преобразование T сжимает котёнка по ширине и растягивает по высоте.
Центр — неподвижная точка, так что его траектория периодична.
Вы видите, что траектории, находящиеся на горизонтальной оси,
приближаются к неподвижной точке,
в то время, как те, что лежат на вертикальной оси, от неё удаляются.
Бедный котёнок!
Перейдём теперь к подкове.
Посмотрите, как этот квадрат деформируется с течением времени.
Он растягивается в одном направлении, сжимается в другом и сгибается.
Когда квадрат возвращается обратно на исходный диск,
он принимает форму подковы.
Теперь посмотрим на поведение квадрата,
когда мы будем двигаться в прошлое,
применяя обратное преобразование.
Растяжение, сжатие, сгибание,
но все это в другом направлении.
Попробуем предугадать будущее и прошлое квадрата.
После одного оборота, как мы видели, он становится подковой.
После одного оборота в другую сторону, в прошлое,
он тоже становится подковой, повёрнутой на четверть оборота.
Две маленькие вертикальные полоски, которые вы видите на пересечении квадрата и подковы
в свою очередь также сжимаются, растягиваются и складываются.
Поведение в прошлом устроено так же.
И вся эта структура повторяется бесконечное множество раз.
Сложная подкова!
Как же понять её динамику?
Назовем эту область A,
а эту — B.
Удивительная вещь состоит в том,
что мы получаем почти такой же результат,
как Адамар со своими геодезическими и бильярдами.
Для любой конечной последовательности из A и B,
даже разрешая повторения букв, к примеру, BABB,
существует периодическая точка, путешествующая именно этим путём.
В этом примере это точка области B, которая прыгает в A, затем в B,
потом ещё раз в B, а потом возвращается в начальную точку.
Вот единственная точка из A, которая всегда остаётся в A:
это неподвижная точка.
А это неподвижная точка области B.
А эта точка перескакивает из A в B и обратно.
Но, как и в случае с бильярдами,
мы не ограничиваемся конечными последовательностями.
Назовите мне любую последовательность,
например, BBAABBBAABABA… и т.д.
И найдётся точка,
следующая именно этим путём в своем будущем.
Если об этом подумать хорошенько, это невероятно:
любое возможное будущее становится правдой хотя бы для одного человека
(ой, я хотел сказать, хотя бы для одной точки!)
Ничего нельзя предсказать, потому что возможно всё.
Свобода воли обретена вновь!
«Всё возможно» — неплохой девиз для хаоса!
Спасибо, мистер Смейл.
Смейл осознаёт, что не всегда необходимо
знать вещи точно, чтобы их понять.
Искаженного изображения зачастую достаточно, чтобы узнать лицо.
Он показывает, что подкова устойчива.
Внимание!
Это не значит, что траектории устойчивы.
Напротив, траектории очень чувствительны к начальным условиям.
То, что мы имеем в виду, называется структурной устойчивостью.
Исказите картину, и вы ещё сможете её узнать.
Смотрите!
Справа — исходная подкова.
Слева возникает другая подкова, слегка модифицированная.
В конце концов, вытягивать квадрат в прямоугольник
и сгибать его, чтобы получить подкову,
можно многими разными способами.
Это в какой-то степени аналогично тому,
как если бы мы изучали две солнечные системы
с планетами со слегка отличающиеся массами.
Две почти идентичные подковы.
Мы можем действовать так же, как мы действовали в случае исходной подковы
и точно так же выбрать области A' и B'.
Можно показать, что траектории новой подковы
всё так же описываются последовательностями букв A' и B'.
Модифицированная подкова столь же хаотична, сколь и исходная!
Хаос тут,
и он неуничтожим.
На самом деле Смейл показал,
что динамика у этих двух подков в некотором роде одинакова.
Смотрите,
вот две траектории, справа и слева,
выполняют одну и ту же хореографию,
они одновременно оказываются в A и A' и в B и B'.
Любой траектории на первой подкове
можно сопоставить траекторию на второй, и обратно.
И именно в этом смысле структура стабильна:
мы можем деформировать подкову, как захотим,
и она не только остаётся хаотической,
но и сохраняет ту же динамику, что и раньше.
Индивидуальные траектории неустойчивы,
но динамика в целом устойчива.
В начале XX века Пуанкаре, с присущим ему стилем,
объясняет, как можно понять динамику, даже не зная её в деталях.
«Вы просите меня предсказать явления, которые произойдут.
Если бы, к несчастью, я знал законы, управляющие этими явлениями,
я мог бы прийти к этому лишь путём запутанных вычислений,
и мне пришлось бы отказаться от ответа;
но, поскольку мне повезло и я их не знаю, я могу вам ответить немедленно.
И, что самое удивительное, мой ответ будет правильным».
Сосуществование хаоса,
и потому неустойчивости индивидуальных траекторий,
со структурной устойчивостью — глобальным свойством,
абсолютно замечательно.
Я неустойчив,
но мир вокруг меня устойчив!
Это обнадёживает ;-)