CHAOS6- Smale em Copacabana
No início dos anos 60,
o jovem matemático americano Steve Smale
trabalhava na praia de Copacana
quando fez uma descoberta...
Ele descobriu uma ferradura!
E certamente que não foi na areia...
De fato, sua ferradura,
correspondendo a nossas expectativas,
é um objeto matemático abstrato.
É mais uma ideia simples
que procura reduzir o caos
à sua expressão mais elementar.
Precisamos primeiro explicar uma velha ideia
que remonta a Poincaré.
Temos aqui um campo de vetores no espaço.
Uma trajetória que parte deste disco
faz uma giro
e depois volta a atravessa-lo
depois faz outro giro
e assim por diante.
Para cada ponto x do disco,
podemos observar a trajetória que parte daí,
e esperar que ela volte a tocar
de novo o disco
num outro ponto T(x).
Alguns segundos depois,
este novo ponto é, por sua vez, transformado por T
num terceiro ponto T(T(x)).
E assim por diante:
a cada volta, o ponto é transformado por T.
Em vez de estudar a trajetória no espaço,
estudamos a sequência de pontos no disco
é mais fácil para desenhar.
Dizemos que substituímos
a dinâmica do campo em tempo continuo
pela dinâmica da transformação T
em tempo discreto: 0, 1, 2, 3, etc.
Normalmente, fica bem mais fácil de entender.
Aqui, a transformação T é uma rotação
de um terço da volta.
A trajetória central corresponde
ao ponto fixo da rotação: a origem.
As outras trajetórias
são igualmente periódicas,
mas precisam de três vezes mais tempo
para voltar ao ponto de partida:
a rotação é de um terço de volta.
Aqui, a transformação T é uma similitude:
As trajetórias não são mais periódicas
ao contrário, elas se aproximam
espiralando da trajetória central.
A trajetória periódica central é estável.
E aqui temos uma trajetória instável
A transformação T achata o gatinho
na sua largura
e estica sua altura.
O centro é um ponto fixo,
e sua trajetória é, portanto, periódica.
Observe que as trajetórias situadas
no eixo horizontal.
se aproximam do ponto fixo
enquanto as que estão no eixo vertical
se afastam dele.
Pobre gatinho!
Então, passemos à ferradura …
Veja como este quadrado
se deforma com o passar do tempo.
A transformação T combina
uma dilatação, uma contração,
mas também um dobradura.
Quando o quadrado retorna
sobre o disco original,
ele tomou a forma de uma ferradura.
Observemos agora
o comportamento do quadrado
quando se volta no tempo,
pela transformação inversa:
Uma dilatação, uma contração, uma dobradura,
mas tudo isto no sentido inverso
Tentemos imaginar o futuro e o passado do quadrado.
Depois de uma volta, nós vimos
que ele se torna uma ferradura.
Depois de uma volta para trás, em direção ao passado,
ele se torna uma ferradura
girada em noventa graus.
As duas faixinhas verticais
que você vê, na interseção
do quadrado e da ferradura
são, por sua vez, comprimidas,
dilatadas e dobradas.
Temos o mesmo comportamento no passado.
E toda esta estrutura se reproduz infinitamente.
Um pouco complicada esta ferradura!!
Como podemos entender sua dinâmica?
Vamos chamar de A esta zona.
de B esta outra.
Então, a coisa surpreendente
é que temos quase os mesmos resultados
de Hadarmad com suas geodésicas e o bilhar.:
Para cada sequência finita de A e B,
mesmo permitindo repetições,
como por exemplo BABB,
existe um ponto periódico
que segue exatamente este itinerário.
Neste exemplo é um ponto de B
que vai em A, depois em B
depois em B outra vez, e volta ao ponto de partida.
Aqui temos o único ponto de A
que fica sempre em A:
é um ponto fixo.
Este ponto fixo está em B.
Veja este que alterna entre A e B.
Mas, da mesma forma que no bilhar,
não nos limitamos às sequências finitas.
Dê-me uma sequência infinita de sua escolha
BBAABBBAABABA...
Pois é, existe um ponto
que segue este itinerário no seu futuro...
Quando se pensa nisto
é incrível!
Todos os destinos futuros imagináveis
São vividos por pelo menos um ser humano...
oops... quero dizer, por um ponto!
Não é possível fazer previsão,
porque TUDO é possível.
O livre arbítrio reencontrado!
Tudo é possível...
Eis um belo slogan para o caos!
Obrigada Sr. Smale.
Smale se deu conta
de que nem sempre é necessário
conhecer exatamente as coisas
para compreendê-las.
Uma imagem distorcida é muitas vezes suficiente
para reconhecer um rosto.
Ele mostra que a ferradura é estável
Atenção!
Isto não quer dizer
que as trajetórias sejam estáveis:
ao contrário, há uma grande sensibilidade
das trajetórias às condições iniciais.
Trata-se, na verdade, do que chamamos
de estabilidade estrutural.
Deforme-o e ainda o reconhecerá.
Veja:
a direita está a ferradura inicial.
À esquerda uma outra ferradura
ligeiramente modificada
está se formando.
Afinal, quando alongamos o quadrado
para transformá-lo num retângulo
e em seguida dobramos na forma de uma ferradura,
podemos fazê-lo de diversas maneiras
É um pouco análogo a uma situação
em que estudamos dois sistemas solares
cujos planetas têm massas
ligeiramente diferentes.
Duas ferraduras quase idênticas.
Podemos fazer exatamente
a mesma coisa que fizemos
com a ferradura inicial
e desenhar zonas A´ e B´ da mesma forma.
E podemos demonstrar da mesma maneira
que as trajetórias desta nova ferradura
são ainda descritas por sequências de A´ de B´.
Assim, a ferradura deformada
é tão caótica quanto a ferradura inicial
O caos está presente
e bem presente. Indestrutível.
De fato, Smale mostra
que os movimentos nas duas ferraduras
são de certo modo “idênticos”.
Veja,
estas duas trajetórias, à direita e à esquerda
seguem a mesma coreografia,
elas visitam os mesmos A, A´e os mesmos B, B´.
A toda trajetória da primeira ferradura
se pode associar uma trajetória
da segunda e reciprocamente.
É neste sentido
que temos estabilidade da estrutura:
Podemos deformar a ferradura
Que ela, não apenas continua caótica
como também apresenta a mesma dinâmica de antes.
As trajetórias individuais são instáveis.
mas a dinâmica em sua globalidade é estável.
Com a sua percepção de fórmula,
Poincaré explica, no início do século XX,
como é possível compreender uma dinâmica
mesmo sem conhecê-la bem.
" Você me pede para prever
os fenômenos que vão acontecer.
Se, por azar, eu conhecesse
as leis destes fenômenos,
eu não poderia utilizá-las
sem passar por cálculos inextricáveis
e teria que desistir de lhe responder;
mas como eu tenho a sorte de ignorá-las
eu vou responder imediatamente
E o que é mais extraordinário,
é que minha resposta será exata."
A coexistência do caos,
e portanto da instabilidade das trajetórias individuais,
com a estabilidade estrutural, uma propriedade global,
é um fato absolutamente notável.
Eu sou instável
mas o mundo que me rodeia é estável!
Ainda bem ;-).