CHAOS 6- Smale in Copacabana
In de vroege jaren '60
was de jonge Amerikaanse wiskundige Steve Smale
aan het werk op het strand van Copacabana
toen hij een ontdekking deed ...
Hij ontdekte een hoefijzer!
Niet in het zand natuurlijk!
Zijn hoefijzer is,
hoe kan het ook anders,
een abstract wiskundig object!
Het is opnieuw een eenvoudig idee
waarmee we chaos proberen
voor te stellen in zijn meest elementaire vorm.
Eerst moeten we een oud idee
uitleggen dat teruggaat tot Poincaré.
Bekijk dit vectorveld in de ruimte.
Een baan die begint op deze schijf
maakt een volledige toer,
komt terug op de schijf,
doet een volgende toer enzovoort...
Voor elk punt x van de schijf
kunnen we de baan volgen die uit dat punt vertrekt,
en wachten tot ze opnieuw
de schijf ontmoet
in aan ander punt T(x).
Enkele seconden later is dit
nieuwe punt weer getransformeerd door T:
We bekomen nu een derde punt T(T(x)). Enzovoort:
bij elke doorgang op de schijf is het punt getransformeerd door T.
In plaats van een baan in de ruimte te bestuderen,
bekijken we een opeenvolging van punten in een schijf:
dat is makkelijker om te tekenen!
We hebben de dynamiek van
een vectorveld met een continu tijdsverloop
vervangen door een dynamiek
met discrete tijdssprongen: 0, 1, 2, 3, enz…
Vaak is dat veel gemakkelijker te begrijpen.
De transformatie T is hier een rotatie
over een derde van een toer.
De centrale baan komt overeen
met het vaste punt van de rotatie: de oorsprong.
De andere trajecten zijn
ook periodiek, maar het duurt
voor hen driemaal langer om
terug te keren naar het beginpunt:
de rotatie is een derde van toer
Hier is de transformatie T een gelijkvormigheid:
De trajecten zijn niet meer periodiek:
Integendeel, ze benaderen
via een spiraal de centrale baan.
De centrale periodieke baan is stabiel.
En hier is een onstabiele baan
De transformatie T perst de kat samen
in de breedte en
rekt ze uit in de hoogte.
Het middelpunt is een vast punt,
en de bijbehorende baan is dus periodiek.
Je ziet dat de banen
op de horizontale as
het vaste punt benaderen,
terwijl die op de verticale as
er zich van verwijderen.
Arme kat!
Nu het hoefijzer ...
Zie hoe dit vierkant vervormd wordt.
De transformatie T is een
combinatie van een schaalvergoting,
en een contractie, maar ook een plooiïng.
Wanneer het vierkant opnieuw
bij de schijf aankomt,
heeft het de vorm van een hoefijzer gekregen.
We bekijken nu
wat er gebeurt met het vierkant
wanneer we teruggaan in de tijd,
met de inverse transformatie.
Een schaalvergroting, een contractie, en een plooiïng,
maar dan in de omgekeerde richting.
We bekijken de toekomst en het verleden van het vierkant.
Na één ronde hebben we gezien
dat het een hoefijzer werd.
Na een toer in de andere richting wordt
het een hoefijzer dat
een kwart slag gedraaid is.
De twee kleine verticale stroken waar
het hoefijzer het vierkant overlapt
worden op hun beurt vergroot,
samengetrokken en geplooid.
Naar het verleden toe gebeurt er hetzelfde.
En deze structuur wordt tot in het oneindige herhaald.
Een ingewikkeld hoefijzer!
Hoe kunnen we daarvan de dynamiek begrijpen?
We noemen deze zone A
en deze B
Verbazingwekkend genoeg bekomen
we nagenoeg dezelfde resultaten
als Hadamard met zijn geodeten en biljart. :
Voor elk eindige reeks van A’s en B’s,
zelfs met herhalingen,
zoals bijvoorbeeld in BABB,
is er een periodiek punt
dat exact deze route volgt.
In het voorbeeld is dit een punt van B
dat naar A springt, dan weer naar B,
nog eens naar B en dan terug naar het beginpunt.
Dit is het enige punt van A
dat altijd in A blijft:
Het is een vast punt.
En dit is het vast punt in B.
En hier is het punt dat altijd over en weer springt tussen A en B.
Maar net zoals bij het biljart hoeven we
ons niet te beperken tot eindige woorden met A’s en B’s.
Kies eender welke oneindige rij,
zoals BBAABBBAABABA enzovoort.
Wel, er is een punt
dat precies deze route volgt.
Als je hierover nadenkt,
klinkt het ongelooflijk:
alle mogelijke toekomstige levens
worden gerealiseerd door ten minste een mens
(Oeps, ik bedoelde een punt!)
Je kan de toekomst niet voorspellen
omdat alles mogelijk is.
We hebben de vrije wil teruggevonden!
Alles is mogelijk,
is dat geen mooie slogan voor chaos?
Bedankt meneer Smale.
Smale realiseert zich
dat het niet altijd nodig is
om de dingen precies te kennen
om ze te begrijpen.
Een vervormd beeld is vaak al genoeg
om een gezicht te herkennen.
Hij toont aan dat het hoefijzer stabiel is.
Let op!
Dit betekent niet
dat de banen stabiel zijn:
Integendeel, de banen zijn
zeer gevoelig aan de beginvoorwaarden.
Waar het over gaat is de zogenaamde
structurele stabiliteit.
Vervorm het beeld en je zal de persoon nog herkennen.
Kijk:
rechts het origineel hoefijzer.
Links maken we
een enigszins ander hoefijzer.
Een vierkant uitrekken
tot een rechthoek en die dan plooien
tot een hoefijzer, dat kan je
immers op verschillende manieren doen.
Dit kan je vergelijken met de situatie
waar we twee zonnestelsels
zouden bestuderen met planeten
die licht verschillende massa's hebben.
Twee bijna identieke hoefijzers.
We kunnen precies hetzelfde doen
als met het oorspronkelijke hoefijzer,
en de zones A' en B' op dezelfde manier tekenen.
Op dezelfde manier kunnen we aantonen
dat de banen van dit nieuwe hoefijzer
beschreven kunnen worden met rijen van A’ en B’.
Het vervormde hoefijzer is dus
net zo chaotisch als het originele!
De chaos is prominent aanwezig,
onverwoestbaar.
Smale toont aan dat
de bewegingen op de beide hoefijzers
in zekere zin "identiek" zijn.
Kijk,
de twee banen, rechts en links
volgen dezelfde choreografie,
zij springen naar dezelfde A, A 'en dezelfde B, B'.
Met elke baan van het eerste hoefijzer
komt een baan van het tweede
hoefijzer overeen en vice versa.
Het is in die zin
dat de structuur stabiel is:
We kunnen het hoefijzer vervormen zoveel we willen,
het blijft niet alleen chaotisch,
maar het behoudt dezelfde dynamiek als voorheen.
Individuele banen zijn instabiel
maar de dynamiek als geheel is stabiel.
Met zijn scherpe pen legt Poincaré
in het begin van de twintigste eeuw
uit hoe het mogelijk is om een dynamiek
te begrijpen, zelfs als je haar niet goed kent.
"U vraagt mij om de verschijnselen
te voorspellen die zullen optreden.
Als ik de pech zou hebben
de wetten achter deze verschijnselen te kennen,
dan zou ik er slechts geraken
met ingewikkelde berekeningen en dan zou ik
U uiteindelijk het antwoord schuldig moeten blijven...
maar omdat ik het geluk heb om
ze niet te kennen ga ik U meteen antwoorden,
En het strafste van al is
dat mijn antwoord juist zal zijn "
Dat chaos, met zijn instabiliteit
van individuele banen, naast elkaar kan bestaan
met structurele stabiliteit,
een globale eigenschap, is hoogst merkwaardig.
Ik ben instabiel
maar de wereld om me heen is stabiel!
Geruststellend ;-)