CHAOS 6- Smale in Copacabana
Pada permulaan tahun 1960-an,
Steve Smale, seorang ahli matematik Amerika Syarikat yang muda
sedang bekerja di atas pantai Copacabana
apabila dia membuat penemuan...
Dia menemui ladam kuda!
Tetapi bukan dalam pasir!
Sebenarnya, ladam kuda
merupakan objek matematik yang abstrak!
Inilah idea lain yang mudah
untuk memudahkan kaos
kepada ungkapannya yang paling asas.
Terlebih dahulu, kita perlu menjelaskan idea lama
yang bertarikh sejak Poincaré.
Di sinilah lapangan vector di ruang.
Sesuatu trajektori yang bermula daripada cakera tersebut
menjalani satu pusingan yang penuh
sebelum kembali kepada cakera tersebut
dan meneruskan pusingan yang kemudian dan sebagainya.
Bagi setiap titik x pada cakera tersebut,
kita boleh memperhatikan trajektorinya
yang bermula daripada titik tersebut,
dan menunggu sehingga ia kembali ke cakera tersebut
pada titik baru T(x).
Beberapa saat kemudian,
titik tersebut diubah oleh T,
maka kita mendapat titik yang ketiga T(T(x)).
…dan seterusnya:
pada setiap giliran, titik tersebut diubah oleh T.
Di sebalik mengkaji trajektori di ruang,
kita mengkaji sesuatu urutan titik pada cakera:
kerana ia lebih mudah dilukis!
Kita menggantikan
dinamik lapangan tersebut dalam masa berterusan
dengan dinamik transformasi T
dalam masa diskrit: 0, 1, 2, 3,..
Formulasi tersebut sering menjadikannya lebih mudah difahami.
Di sini, transformasi T merupakan putaran
satu per tiga daripada bulatan.
Trajektori pusatnya sepadan dengan
titik tetap dalam putaran tersebut: titik asal.
Trajektori yang lain
juga berkala,
tetapi mereka mengambil masa tiga kali lamanya
untuk kembali ke titik permulaan:
putaran tersebut adalh satu per tiga daipada bulatan.
Di sini, transformasi T merupakan keserupaan.
Trajektorinya tidak lagi berkala:
Sebaliknya, mereka menghampiri
trajektori pusat sambil melingkar di sekitarnya
Trajektori berkala di tengahnya sentiasa stabil.
Inilah trajektori yang tidak stabil:
Transformasi T
mengemikkan anak kucing sepanjang lebarnya
dan meregangkannya sepanjang tingginya.
Pusatnya adalah titik yang kekal,
jadi trajektorinya adalah berkala.
Kamu dapat melihat bahawa trajektori-trajektori
yang terletak pada garis satah mendatar
menghampiri titik tetap
tetapi yang terletak pada garis menegak
menjauhinyat.
Malangnya kucing itu!
Marilah kita berterus kepada ladam kuda...
Perhatikan bagaimanakah segi empat tepat ini
berubah bentuk mengikut masa
Transformasi T menggabungkan
penskalaan dan pengecutan,
tetapi juga lipatan.
Apabila segi empat tepat itu kembali
ke cakera yang asal,
ia berubah bentuk menjadi ladam kuda.
Sekarang pula perhatikan apa yang berlaku kepadanya
apabila kita menterbalikkan aliran masa,
mengikut transformasi songsangnya.
Penskalaan, pengecutan, lipatan,
tetapi dalam arah yang berbeza.
Marilah kita membayangkan masa depan dan masa silam bagi segi empat tepat tersebut.
Seperti yang kita perhatikan, setelah satu giliran,
ia menjadi ladam kuda.
Setelah satu giliran dalam arah songsang,
kembali ke masa silam, ia menjadi ladam kuda,
diputar satu suku bulatan.
Dua jalur menegak yang dapat kamu lihat,
di titik persilangan
segi empat tepat dan ladam kuda
juga dimampatkan,
diskalakan dan dilipat.
Kelakuannya pada masa silam adalah sama.
Dan struktur tersebut terus diulang sehingga infiniti.
Ladam kuda yang rumit!
Bagaimanakah dapat kita memahami dinamiknya?
Marilah kita memanggil kawasan tersebut sebagai A.
dan kawasan ini sebagai B .
Perkara yang menakjubkan ialah
kita mendapat hasil yang hampir sama
dengan geodesik dan biliard kepunyaan Hadamard:
Untuk setiap urutan terbatas daripada huruf A dan B,
walaupun kita membenarkan perulangan,
contohnya BABB,
terdapat titik berkala
yang akan mengikuti trajektori tersebut secara tepat.
Dalam contoh tersebut, titik B melompat ke A,
lalu melompat ke B dan kembali ke B sekali lagi,
sebelum kembali ke titik permulaannya.
Inilah satu-satunya titik di A
yang sentiasa kekal dalam A:
ia merupakan titik tetap
Titik tetap ini berada dalam B.
Inilah titik yang bertukar ganti antara A dan B.
Tetapi seperti dalam kes biliard, hal ini
bukan sahaja dapat diaplikasikan pada urutan yang terbatas.
Berikanlah saya sesuatu urutan infinit kegemaran anda
BBAABBBAABABA dan sebagainya.
Sebenarnya terdapat titik yang mengikut
trajektori ini secara tepat dalam masa depannya...
Apabila anda fikirkannya,
hal ini adalah menakjubkan:
setiap situasi masa depan yang berkemungkinan
adalah benar bagi sekurang-kurangnya seorang …
(Oh, saya maksudkan sekurang-kurangnya satu titik!)
Ramalan adalah mustahil
kerana segala-galanya adalah berkemungkinan.
Kehendak bebas ditemui semula!
Apa-apa sahaja adalah berkemungkinan,
inilah cogan kata yang sesuai bagi kaos!
Terima kasih, Encik Smale.
Smale menyedari bahawa
bukan sentiasa diperlukan
untuk mengetahui sesuatu dengan tepat
untuk memahami mereka.
Gambaran yang diputarbelitkan sering mencukupi
untuk mengenal pasti muka seseorang.
Beliau menunjukkan bahawa ladam kuda adalah stabil.
Ingatlah bahawa,
hal ini tidak bermakna
bahawa trajektori-trajektorinya adalah stabil:
sebaliknya, trajektori tersebut
amatlah sensitif terhadap keadaan asalnya.
Maksud kita ialah kestabilan struktur.
Walaupun kita memutarbellitkan gambar Encik Smale, kamu masih dapat mengenalnya.
Di sebelah kanan, kita diberi ladam kuda yang asal.
Di sebelah kiri, ladam kuda yang lain,
diubahsuai secara sedikit,
sedang dibentuk.
Apabila kamu meregangkan segi empat tepat tersebut
dan menjadikannya segi empat
lalu melipatkannya kepada bentuk ladam kuda,
terdapat beberapa cara yang boleh diikuti.
Hal ini serupa dengan sesuatu situasi
apabila kita mengkaji dua sistem solar
di mana planet-planet mempunyai
jisim yang sedikit berbeza
Dua ladam kuda yang hampir serupa.
Kita boleh melakukan
seperti yang kita membuat
dengan ladam kuda yang asal
dan melukis kawasan A’ and B’ dalam cara yang sama.
Dengan cara yang sama, kita dapat membuktikan
bahawa trajektri ladam kuda yang baru
masih digambarkan oleh urutan A dan B.
Ladam kuda yang diubahsuai adalah
bersifat kaos seperti ladam kuda yang asal!
Kaos memang wujud,
tidak dapat dimusnahkan.
Sebenarnya, Smale membuktikan bahawa
pergerakan pada kedua-dua ladam kuda
adalah “sama”.
Lihatlah,
dua trajektori tersebut, di kiri dan kanan
mengikuti koreografi yang sama,
mereka mencapai A,A’ yang sama dan B,B’ yang sama.
Kita boleh memadankan sesuatu trajektori
bagi ladam kuda yang kedua
kepada setiap trajektori pada ladam kuda yang pertama, dan sebaliknya.
Dalam pengertian ini
strukturnya adalah stabil:
kita boleh memutarbelitkan ladam kuda dengan apa-apa cara yang diingini,
ia bukan sahaja mengekalkan sifat kaosnya
tetapi ia mengekalkan dinamiknya yang sama.
Trajektori individu adalah tidak stabil
tetapi dinamiknya adalah stabil secara keseluruhannya.
Pada awal abad ke-20
Poincaré, dengan gayanya yang tersendiri,
menjelaskan bagaimanakah kita dapat memahami sesuatu dinamik
walaupun kita tidak begitu mengetahuinya.
«Kamu meminta saya meramal
fenomena yang akan berlaku.
Sekiranya saya ditimpa musibah sehingga mengetahui
hukum-hukum fenomena tersebut,
Saya hanya dapat mencapainya
dengan pengiraan yang susah
dan saya tidak akan dapat memberikan kamu jawapannya;
tetapi disebabkan nasib saya yang tidak mengetahuinya,
Saya akan menjawab secara segera..
Dan perkara yang luar biasa ialah,
kenyataan bahawa jawapan saya adalah betul.»
Kewujudan bersama dalam kaos,
dan ketidakstabilan trajektori masing-masing,
bersama kestabilan struktur, kepunyaan global,
adalah menakjubkan.
Saya tidak stabil,
tetapi dunia di sekeliling saya adalah stabil!
Menenangkan ;-)