CHAOSAS 6 - Smale'as Copacabanoje
Ankstyvajame septintajame dešimtmetyje,
jaunas amerikietis matematikas Steve'as Smale'as
dirbo Copacabanos papludimyje,
kai netyčia padarė atradimą...
Jis rado žirgo pasagą!
Ne smėlyje, žinoma!
Iš tikrųjų, pasaga
yra abstraktus matematinis objektas!
Tai dar viena paprasta idėja,
kuria bandoma supaprastinti chaosą
iki pačios elementariausios išraiškos.
Pirmiausia paaiškinsime senesnę,
Poincaré laikų idėją.
Štai yra vektorinis laukas erdvėje.
Trajektorija prasideda ant disko,
atlieka pilną ratą
ir vėl sugrįžta į diską,
tada kitas ratas, ir t.t.
Kiekvienam disko taškui x,
galime stebėti trajektoriją
kuri prasideda tame taške,
ir laukti kol ji vėl sugrįžtą į diską
naujame taške T(x).
Po kelių sekundžių, šis naujas taškas
yra vėl transformuojamas pagal T,
ir gauname trečią tašką T(T(x))...
Ir taip tęsiame:
kiekvienu ėjimu taškas transformuojamas pagal T.
Vietoj to, kad studijuotume trajektoriją erdvėje,
studijuojame taškų seką ant disko:
lengviau nupiešti!
Tolygaus laiko dinamiką
pakeičiame diskrečia dinamika
pagal transformaciją T.
Dažnai tą yra daug lengviau suprasti.
Čia tranformacija T yra tiesiog pasukimas
per trečdalį pilno rato.
Centrinė trajektorija atitinka
fiksuotą rotacijos tašką: pradžios tašką.
Kitos trajektorijos
taip pat bus periodinės,
tačiau jos užtruks tris kartus ilgiau
iki sugrįžimo į pradinį tašką:
rotacija per trečdalį rato.
Čia, transformacija T yra panašumas.
Trajektorijos nebėra periodinės:
priešingai, jos artėja prie
centrinės trajektorijos sukdamosi apie ją spirale.
Centrinė periodinė trajektorija yra stabili.
O štai yra nestabili trajektorija:
transformacija T perpiešia kačiuką
pagal savo ilgį
ir ištempia jį pagal savo aukštį.
Centras yra fiksuotas taškas,
Todėl jo trajektorija yra periodinė.
Pamatysite, kad trajektorijos,
esančios ant horizontalios ašies,
artėja prie fiksuoto taško,
kuomet esančios ant vertikalios ašies,
juda tolyn nuo jo.
Vargšas kačiukas!
Pereikime prie pasagos...
Stebėkite kaip šis kvadratas
yra deformuojamas laike.
Transformacija T yra ir
didinimas, ir mažinimas,
ir lenkimas.
Kai kvadratas sugrįžta atgal
prie pradinio disko,
jis įgauna pasagos formą.
Stebėkime kvadrato elgesį,
kai grįžtame
laiku atgal,
atvirkščia transformacija.
Didinimas, mažinimas, lenkimas,
bet viskas priešinga kryptimi.
Įsivaizduokime kvadrato praeitį ir ateitį.
Po vieno etapo,
jis tampa pasaga.
Po vieno etapo į praeitį,
jis tapo pasaga,
pasukta per 1/4 rato.
Dvi matomos mažos vertikalios juostelės
ant kvadrato
ir pasagos susikirtimo
yra lygiai taip pat
didinamos ir sulenkiamos.
Elgesys praeityje yra toks pats.
Ir visas šis procesas kartojasi begalinai.
Sudėtinga pasaga!
Kaip mes galime suprasti pokyčius?
Šį regioną pavadinkime A,
o šį - B.
Neįtikėtina, kad gauname
beveik tokius pat rezultatus
kaip Hadamaro geodezijoje ir biliarde:
kiekvienai baigtinei A ir B sekai,
Netgi su raidžių pasikartojimais,
tarkim, BABB,
yra periodinis taškas,
kuris tiksliai paklus šiai sekai.
Pavyzdyje, yra taškas regione B,
kuris eina į A, tada į B,
o tada vėl grįžta į pradinį tašką.
Bus tik vienintelis A taškas,
Kuris visada pasiliks A:
tai yra fiksuotas taškas.
Šis fiksuotas taškas yra B regione.
Šis paeiliui keičia A ir B.
Tačiau, kaip ir biliarde,
nesame apriboti baigtinių sekų.
Duokite man bet kokią begalinę seką
BBAABBBAABABA t.t... t.t...
Išties, yra taškas, kuris tiksliai
seks šią seką savo ,,judėjime''...
Kai pagalvojame apie tai,
tai neįtikėtina:
kiekviena galima ateitis
yra teisinga kažkuriam žmogui...
(Oi, turėjau omenyje taškui!)
Nuspėjimas yra neįmanomas,
nes viskas yra įmanoma.
Atradome laisvą valią!
Viskas yra įmanoma...
Štai geras šūkis chaosui!
Ačiū, Ponas Smale'ai.
Smale'as suprato, kad
ne visada būtina
tiksliai viską žinoti,
kad kažką suprastume.
Sujaukto paveikslo dažnai pakanka,
kad atpažintume veidą.
Jis parodė, kad pasaga yra stabili.
Dėmesio!
Tai visai nereiškia,
kad trajektorijos irgi yra stabilios:
priešingai, trajektorijos yra
labai jautrios pradinėms sąlygoms.
Mes kalbame apie
struktūrinį stabilumą.
Sujaukime šiek tiek paveikslą ir jūs
vis tiek jį atpažinsite.
Dešinėje turime originalią pasagą.
Kairėje - kitą,
šiek tiek modifikuotą
ir vis formuojamą.
Galiausiai, kai ištempiame kvadratą
į stačiakampį
ir sulenkiame iš jo pasagą,
tą galime padaryti keliais būdais.
Tai analogiška situacijai, lyg
studijuotume dvi Saulės sistemas,
kur planetos turi nežymiai
skirtingas mases.
Dvi beveik identiškos pasagos.
Galime pasiselgti taip pat
kaip ir su
pradine pasaga
ir vienodai nupiešti regionus A ir B.
Galime parodyti,
kad šios pasagos trajektorijos yra
apibūdinamos sekomis iš A ir B.
Deformuota pasaga yra
Lygiai taip pat chaotiška kaip ir pirmoji!
Chaosas yra ir jis yra nesunaikinamas.
Dar daugiau: Smale'as parodo,
kad judėjimai ant dviejų pasagų
tam tikra prasme yra vienodi.
Štai,
dvejos trajektorijos: dešinėje ir kairėje
atlieka tą pačią choreografiją,
jos aplanko tą patį A, A' ir tą patį B, B'.
Galime susieti antrosios
pasagos trajektoriją su kiekviena
pirmosios pasagos trajektorija ir atvirkščiai.
Štai tokia prasme
struktūra yra stabili:
mes galime visaip deformuoti pasagą,
tačiau ji ne tik, kad lieka chaotiška,
bet išlaiko tą patį elgesį kaip pradžioje.
Pavienės trajektorijos nėra stabilios
bet visos visumos dinamika tokia yra.
Anksti XX amžiuje Poincaré,
vadovaudamasis sau būdinga nuojauta,
paaiškina, kaip įmanoma suprasti judėjimą,
kai mes gerai jo net nežinome.
,,Jūs manęs prašote nuspėti
kažkokio reiškinio ateitį.
Jei man nepasisektų ir aš sužinočiau
to reikšinio dėsnius, tai
po painių skaičiavimų
aš negalėčiau duoti jums
tikslaus atsakymo;
tačiau, jei man pasisektų tuos dėsnius ignoruoti,
aš tuojau jums atsakyčiau...
Ir, kas labiausiai neįtikėtina,
mano atsakymas bus teisingas.''
Chaoso, pavienių trajektorijų nestabilumo
egzistavimas greta kartu su struktūriniu
stabilumu, globalia savybe,
yra visiškai pribloškiantis.
Aš - nestabilus,
bet pasaulis aplink mane - stabilus!
Nuramina ;-)