カオス６ コパカバーナのスメール
1960年代の始め，
若いアメリカ人数学者スティーブ・スメールは，
コパカバーナの浜辺で，
ある発見をした．
彼は馬蹄を見つけた．
もちろん砂の中からではない！
彼の馬蹄は，実際には，
当然のことだが，
抽象的な数学の対象だ．
カオスの最も基礎的な要素を探すという
単純なアイデアから
得られたものだ．
まずポアンカレによる古典的な考え方を
説明しなければならない．
空間にベクトル場があるとしよう．
この円板から出る軌道は
ぐるっと回って，
この円板に戻って突き抜け，
再びぐるっと回るということを
繰り返す．
円板の各点ｘに対して，
ｘを出る軌道を観察すると，
やがてそれが戻ってきて
円板の他の点
Ｔ(ｘ)にぶつかる．
何秒か後に，この点Ｔ(ｘ)は，
再び変換Ｔで写される：第３の点Ｔ(Ｔ(ｘ))が
得られるのである．
そしてこれが続く．
毎回，点は変換Ｔで写される．
空間内の軌道を研究するかわりに，
円板上の点の列を研究するのだ：
描くのはずっと簡単になる．
連続時刻の力学系を
離散時刻の力学系に
置き換えたということだ．
離散時刻は：0, 1, 2, 3, …だ．
多くの場合，この方がずっとわかりやすいのだ．
さて，ここでは変換Ｔは
３分の１回転だ．
中央の軌道は回転の固定点，
すなわち円板の中心に対応する．
他の軌道も，
同様に周期的であるが，
出発点に戻るための周期は
３倍である：
回転が３分の１回転だからだ．
今度の変換Ｔは相似変換だ．
軌道は，もはや周期的ではない：
逆に中央の軌道に
巻き付きながら近づいている．
中央の周期軌道は安定である．
今度は，不安的な軌道だ．
変換Ｔは子猫を横方向には縮め，
縦方向には
引き延ばしている．
中心は固定点だから，
その軌道は周期的だ．
横軸上の軌道は，
固定点に近づき，
縦軸上の軌道は，
固定点から離れていくのが
わかるだろう．
かわいそうな子猫だ！
さて，馬蹄の話をしよう．
この正方形が時刻とともに
変形する様子を見てみよう．
変換Ｔは，
引き延ばし，縮めるが，
さらに折り曲げている．
正方形が，元の円板に
戻ってきたとき，
その形は馬蹄形だ．
今度は，
時刻をさかのぼったら，
逆変換で正方形がどうなるか
見てみよう：
引き延ばし，縮め，折り曲げているが，
すべて逆向きになっている．
正方形の未来と過去を考えてみよう．
１回目で，前に見たように，
馬蹄形になる．
逆向きの，つまり過去への，
１回目で，正方形は，
４分の１回転した馬蹄形になる．
正方形と馬蹄形の
共通部分の
２つの縦向きのバンドも，
縮められ，引き延ばされ，
折り曲げられる．
過去に向かっても同じことが起こる．
この構造が，無限回繰り返される．
この馬蹄は，少し複雑なのだ！
このダイナミックスをどのように理解すれば良いだろうか？
この部分をＡと呼び，
この部分をＢと呼ぼう．
驚いたことにアダマールの測地線や
ビリヤードのときと，
ほとんど同じことが起こるのだ．
ＡとＢの任意の有限列に対して，
今度は，BABBのように
繰り返しがあっても，
ちょうどその道順をたどる
周期点がある．
BABBの例では，それはＢの点で，
Ａに跳び，Ｂに跳び，またＢに跳ぶ．
そして最初の点に戻る．
これはＡの点で，
ずっとＡにとどまる唯一の点だ：
これは固定点だ．
こちらは，Ｂにある固定点だ．
今度は，ＡとＢを交互に跳ぶ点だ．
ビリヤードのときと同じように，
有限の点列に限らなくて良いのだ．
任意に無限列
BBAABBBAABABA…を選んでみよう．
それに対し，これから
この道順をたどる点が存在するのだ．
考えてみると，
信じ難いことだ！
どんな将来への道も少なくとも
１人の人間が実現するのだ…
しまった．１点が実現すると言うはずだった！
すべてが可能なのだから，
予測は不可能だ．
自由が再発見されたのだ！
すべてが可能だ…
これがカオスのスローガンだ．
スメールさん，ありがとう．
カオスについて
完全に知らなくとも
カオスを理解できると，
スメールは気が付いていた．
ゆがんだ絵からでも
顔は見分けられるものだ．
スメールは，馬蹄は安定であることを示した．
気をつけよう！
軌道が安定だと
言っているのではない．
軌道は，安定どころか，
初期条件に対して非常に鋭敏に変化する．
ここで言う安定とは，前とは違い，
構造安定と呼ぶものである．
ゆがめても…まだ見分けられるということだ．
見てごらん！
右側は元の馬蹄だ．
左側は
少し変形した馬蹄が
作られているところだ．
結局のところ，正方形を引き延ばして
長方形にして
折り曲げて馬蹄の形にする方法は
色々とある．
これは，惑星の重さが
わずかに異なる
２つの太陽系を考えるのと
少し似たところがある．
２つのほとんど同じ馬蹄を考える．
元の馬蹄に対して
おこなったのと
全く同じように，
部分Ａ’とＢ’をとることができる．
このとき，新しい馬蹄の軌道も
Ａ’とＢ’の列で記述されることが，
前と同じようにして証明される．
従って，変形された馬蹄も
元の馬蹄と同じようなカオスを示している．
カオスが存在し，
その存在を壊すことができないのである．
実際，スメールは，
２つの馬蹄は，
ある意味で同じであることを示した．
見てごらん．
右と左の２つの軌道は
同じ振付に従っている．
同じようにＡ，Ａ’とＢ，Ｂ’を通過している．
１つ目の馬蹄の軌道に対して，
２つ目の馬蹄の軌道を対応させることができ，
逆方向にも対応させられる．
この意味で，
構造が安定なのだ：
馬蹄を色々と変形しても，
それはカオスであるだけでなく，
前と同じダイナミックスが現れるのである．
１つ１つの軌道は不安定であるが，
全体のダイナミックスは安定である．
２０世紀の初め，ポアンカレは，
たとえダイナミックスの詳細がわからなくても，
ダイナミックスを理解できることを，
彼らしい言い方で説明している．
「これから起こる現象を
予言してくれというのだね．
たとえ運悪く，この現象の法則を
知っていたとしても，
手に負えない計算を
しなければいけなくなって，
答を与えることはできないのだ；
しかしね，うまいことに法則は無視しても
良いのだから，すぐに答が出せる．
そして，とんでもないことに，
私の答は，正しいのだ．」
カオスの共存性，すなわち，
各軌道の不安定性と
全体の性質としての構造安定性，
これは本当に驚くべきことだ．
私は不安定だが，
私を取りまく世界は安定なのだ．
安心した ;-)