CAOS 6- Smale a Copacabana
All'inizio degli anni 60,
il giovane matematico americano Steve Smale
lavorava sulla spiaggia di Copacabana
quando fece una scoperta.
Scoprì un ferro di cavallo.
Beh, ovvio, non nella sabbia!
Infatti, il suo ferro di cavallo,
é, naturalmente,
un oggetto matematico astratto.
È ancora una volta una semplice idea
che cerca di ridurre il caos
alla sua espressione più elementare.
Dobbiamo prima di tutto spiegare una vecchia idea
che risale a Poincaré.
Ecco un campo vettoriale nello spazio.
Una traiettoria che parte da questo disco
fa un giro
e poi ritorna per attraversarlo,
poi fa un altro giro,
e così via.
Per ogni punto x del disco,
possiamo osservare la traiettoria che parte da x,
e aspettare che ritorni per toccare
di nuovo il disco,
in un altro punto T(x).
Dopo qualche secondo,
questo nuovo punto è di nuovo trasformato da T:
è un terzo punto T(T(x)),
e così via.
Ad ogni ritorno, il punto viene trasformato da T.
Invece di studiare la traiettoria nello spazio,
viene studiata una successione di punti sul disco:
è più facile da disegnare.
Diciamo di aver sostituito
la dinamica del campo a tempo continuo
con la dinamica della trasformazione
a tempo discreto: 0, 1, 2, 3, etc.
È spesso molto più semplice da capire.
Qui, la trasformazione T è una rotazione
di un terzo di giro completo.
La traiettoria centrale corrisponde
al punto fisso della rotazione: l'origine.
Le altre traiettorie
sono sempre periodiche
ma impiegano un tempo tre volte più grande
per tornare al punto di partenza:
la rotazione ruota di un terzo di giro completo.
Qui, la trasformazione T è una similitudine.
Le traiettorie non sono più periodiche,
al contrario, si avvicinano
volteggiando attorno alla traiettoria centrale.
La traiettoria centrale periodica è stabile.
Ed ecco una traiettoria instabile.
La trasformazione T schiaccia il gattino
per largo
e lo stira per lungo.
Il centro è un punto fisso
e la sua traiettoria è dunque periodica.
Vedete che le traiettorie situate
sull'asse orizzontale
si avvicinano al punto fisso
mentre quelle che sono sull'asse verticale
se ne allontanano.
Povero micio!
Allora, passiamo al ferro di cavallo.
Guardate come questo quadrato
si deforma con lo scorrere del tempo.
La trasformazione T associa
una dilatazione, una contrazione
ma piega anche.
Quando il quadrato è tornato
sul disco iniziale,
ha preso la forma di un ferro di cavallo.
Osserviamo adesso
il comportamento del quadrato
tornando indietro nel tempo,
attraverso la trasformazione inversa:
una dilatazione, una contrazione, e si piega,
ma tutto questo nell'altro senso.
Cerchiamo di prevedere l'avvenire e il passato del quadrato.
Dopo un giro, lo abbiamo visto,
diventa un ferro di cavallo.
Dopo un giro al contrario, verso il passato,
diventa un ferro di cavallo.
ruotato di un quarto di giro.
Le due piccole bande verticali
che vedete nell'intersezione
del quadrato con il ferro di cavallo
sono a loro volta contratte,
dilatate e riempite.
Si ha lo stesso comportamento nel passato.
E l'intera struttura si replica all'infinito.
Un po' complicato questo ferro di cavallo!
Come capire la sua dinamica?
Chiamiamo A la zona seguente
e questala chiameremo B.
Allora, ciò che stupisce
è che abbiamo quasi gli stessi risultati
che Hadamard aveva con le sue geodetiche ed il biliardo.
Per ogni successione finita di A e di B,
permettendosi anche delle ripetizioni,
come per esempio BABB,
esiste un punto periodico
che segue esattamente questo itinerario.
Nell'esempio, è un punto di B
che salta in A, che salta in B,
che salta in B e che ritorna al punto di partenza.
Ecco il solo punto di A
che resta sempre dentro A:
è un punto fisso.
Questo punto fisso è dentro B.
Ecco quello che alterna tra A e B.
Ma, come nel biliardo,
non ci si limita alle successioni finite.
Datemi una successione infinita a vostra scelta,
BBAABBBAABABA...
ebbene, esiste un punto
che segue questo itinerario nel suo futuro.
A pensarci bene,
è incredibile!
Ogni futura vita immaginabile
è realizzata da almeno un essere umano...
oops... volevo dire da un punto!
Non ci sono possibili previsioni
poiché tutto è possibile.
Ecco ritrovato il libero arbitrio!
Tutto è possibile...
Ecco un bello slogan per il caos.
Grazie Sig. Smale.
Smale realizza
che non è sempre necessario
conoscere esattamente le cose
per capirle.
Un immagine deformata spesso è sufficiente
per riconoscere un volto.
Dimostra che il ferro di cavallo è stabile.
Attenzione!
Ciò non vuol dire
che le traiettorie siano stabili.
Al contrario, c'è una grande sensibilità
delle traiettorie alle condizioni iniziali.
Si tratta invece di quello che si chiama
stabilità strutturale.
Deformatelo... lo riconoscerete ancora.
Guardate!
A destra, il ferro di cavallo iniziale.
A sinistra, un altro ferro di cavallo,
leggermente modificato,
e in corso di deformazione.
Dopo tutto, quando si allunga il quadrato
per farne un rettangolo,
per poi ripiegarlo a forma di ferro di cavallo,
si può farlo in tanti modi diversi.
È un po' analogo ad una situazione
in cui si possono studiare due sistemi solari
dove i pianeti avessero delle masse
leggermente diverse.
Due ferri di cavallo quasi identici.
Si può fare esattamente
la stessa cosa che abbiamo fatto
con il ferro di cavallo iniziale,
e disegnare delle zone A' e B' allo stesso modo.
E si può dimostrare, allo stesso modo,
che le traiettorie di questo nuovo ferro di cavallo
sono ancora descritte da successioni di A' e B'.
E così, il ferro di cavallo deformato
è caotico tanto quanto il ferro di cavallo iniziale.
Il caos è presente,
e ben presente, indistruttibile.
In realtà, Smale dimostra
che i movimenti dei due ferri
sono in qualche modo identici.
Guardate,
queste due traiettorie, a destra e a sinistra,
seguono la stessa coreografia.
Visitano le stesse AA' e le stesse BB'.
Ad ogni traiettoria del primo ferro,
possiamo associare una traiettoria
del secondo ferro, e viceversa.
È in tal senso
che c'è stabilità della struttura:
si può ben deformare il ferro di cavallo,
non soltanto resta caotico,
ma presenta la stessa dinamica di prima.
Le singole traiettorie sono instabili
ma la dinamica, nella sua globalità, è stabile.
Con il suo senso per le formule,
Poincaré spiega, all'inizio del XX secolo,
come sia possibile capire una dinamica
anche se non la si conosce troppo bene.
«Voi mi chiedete di predire
i fenomeni che si produrranno.
Se, per sfortuna, conoscessi
le leggi di questi fenomeni,
potrei arrivarci soltanto
con dei calcoli inestricabili
e dovrei rinunciare a rispondervi;
ma come ho la fortuna di ignorarle,
vi risponderò immediatamente.
E, cosa più straordinaria,
la mia riposta sarà giusta.»
La coesistenza del caos,
e dunque l'instabilità delle singole traiettorie,
con la stabilità strutturale, una proprietà globale,
è un fatto assolutamente stupefacente.
Sono instabile
ma il mondo che mi circonda è stabile.
Rassicurante ;-).