Κεφάλαιο 6 : ο Smale στην Κοπακαμπάνα
Στις αρχές τις δεκαετίας του ’60
ο νεαρός Αμερικανός μαθηματικός Steve Smale,
δουλεύοντας στην παραλία της Κοπακαμπάνα,
έκανε μια ανακάλυψη...
Ανακάλυψε ένα πέταλο!
Όχι στην άμμο, φυσικά!
Η αλήθεια είναι
ότι το πέταλο αυτό
είναι ένα θεωρητικό μαθηματικό αντικείμενο!
Είναι ακόμα μία απλή ιδέα
που επιχειρεί να μειώσει το χάος
στην πιο στοιχειώδη έκφρασή του.
Πρώτα πρέπει να εξηγήσουμε μια παλιά ιδέα
από την εποχή του Poincaré.
Παίρνουμε ένα διανυσματικό πεδίο στο χώρο.
Μια τροχιά που αρχίζει πάνω σ’ αυτόν τον δίσκο
κάνει μια πλήρη στροφή
και μετά επιστρέφει στο δίσκο
μετά ακόμα μια στροφή, κτλ.
Για κάθε σημείο x του δίσκου
μπορούμε να παρατηρήσουμε την τροχιά
που αρχίζει από εκείνο το σημείο,
και να περιμένουμε μέχρι να ξαναχτυπήσει το δίσκο
σε ένα νέο σημείο Τ(x).
Λίγα δευτερόλεπτα μετά,
αυτό το νέο σημείο μετασχηματίζεται πάλι από το Τ,
και παίρνουμε ένα τρίτο σημείο, το T(T(x)).
...και ούτω καθεξής:
σε κάθε επιστροφή το σημείο μετασχηματίζεται από το T.
Αντί να μελετήσουμε την τροχιά στο χώρο,
μελετάμε μια αλληλουχία σημείων στο δίσκο:
είναι πιο εύκολο να το ζωγραφίσουμε!
Αντικαθιστούμε τις δυναμικές του πεδίου σε συνεχή χρόνο
με τις δυναμικές του μετασχηματισμού T
σε διακριτό χρόνο: 0, 1, 2, 3, κτλ...
Αυτό συχνά είναι πολύ πιο ευκατανόητο.
Εδώ ο μετασχηματισμός T είναι μια περιστροφή
κατά το ένα τρίτο της πλήρους στροφής.
Η κεντρική τροχιά αντιστοιχεί
στο σταθερό σημείο της περιστροφής: την αρχή.
Άλλες τροχιές
είναι κι αυτές περιοδικές,
αλλά τους παίρνει τριπλάσιο χρόνο
να επιστρέψουν στο σημείο εκκίνησής τους:
η περιστροφή είναι το ένα τρίτο της πλήρους στροφής.
Εδώ ο μετασχηματισμός T είναι μια ομοιοθεσία.
Οι τροχιές δεν είναι πια περιοδικές:
Αντιθέτως, πλησιάζουν την κεντρική τροχιά
κινούμενες σπειροειδώς γύρω της.
Η κεντρική τροχιά είναι σταθερή.
Και εδώ έχουμε μια ασταθή τροχιά:
Ο μετασχηματισμός T
συμπιέζει το γατάκι στο πλάτος του
και το τεντώνει στο ύψος του.
Το κέντρο είναι ένα σταθερό σημείο,
οπότε η τροχιά του είναι περιοδική.
Βλέπετε ότι οι τροχιές
που βρίσκονται στο οριζόντιο άξονα
πλησιάζουν το σταθερό σημείο,
ενώ αυτές που βρίσκονται στον κάθετο άξονα
απομακρύνονται από αυτό.
Καημένο γατάκι!
Ας πάμε λοιπόν στο πέταλο...
Κοιτάξτε πώς αυτό το τετράγωνο
παραμορφώνεται με το χρόνο.
Ο μετασχηματισμός T συνδυάζει
διαστολή και συστολή,
αλλά και αναδίπλωση.
Όταν το τετράγωνο επιστρέφει
στον αρχικό δίσκο,
έχει πλέον το σχήμα του πετάλου.
Κοιτάξτε τώρα τη συμπεριφορά του τετραγώνου
καθώς πηγαίνουμε πίσω στο χρόνο,
με τον αντίστροφο μετασχηματισμό.
Διαστολή, συστολή, αναδίπλωση,
αλλά όλα προς την άλλη κατεύθυνση.
Ας φανταστούμε το μέλλον και το παρελθόν του τετραγώνου.
Μετά από μία στροφή, όπως είδαμε,
μετατράπηκε σε πέταλο.
Μετά από μία στροφή προς τα πίσω,
προς το παρελθόν, γίνεται ένα πέταλο
στραμμένο κατά ένα τέταρτο του κύκλου.
Οι δύο μικρές κατακόρυφες λωρίδες που βλέπετε,
στην τομή του τετραγώνου με το πέταλο,
με τη σειρά τους συμπιέζονται,
επεκτείνονται και διπλώνονται.
Η ίδια συμπεριφορά παρατηρείται και στο παρελθόν.
Και όλη αυτή η δομή επαναλαμβάνεται άπειρες φορές.
Λίγο περίπλοκο αυτό το πέταλο!
Πώς να κατανοήσουμε τη δυναμική του;
Ας ονομάσουμε αυτήν την περιοχή Α.
και αυτή Β.
Το καταπληκτικό είναι
ότι παίρνουμε σχεδόν τα ίδια αποτελέσματα
με τις γεωδαισιακές το Hadamard και το μπιλιάρδο:
Για κάθε πεπερασμένη ακολουθία από Α και Β,
ακόμα κι αν επιτρέψουμε επαναλήψεις,
π.χ. ΒΑΒΒ,
υπάρχει ένα περιοδικό σημείο
που θα ακολουθεί αυτήν ακριβώς τη διαδρομή.
Σ’ αυτό το παράδειγμα, αυτό είναι ένα σημείο του Β, που πηδάει στο Α,
μετά στο Β, μετά πάλι στο Β,
και μετά επιστρέφει στην αρχική του θέση.
Αυτό είναι το μόνο σημείο του Α
που παραμένει πάντα στο Α:
είναι ένα σταθερό σημείο.
Αυτό το σταθερό σημείο είναι στο Β.
Εδώ έχουμε ένα που εναλλάσσεται ανάμεσα στο Α και στο Β.
Αλλά, όπως και με το μπιλιάρδο,
δεν περιοριζόμαστε σε πεπερασμένες ακολουθίες.
Δώστε μου μια άπειρη ακολουθία της επιλογής σας
ΒΒΑΑΒΒΑΑΒΑΒΑ κτλ.. κτλ...
Ε, λοιπόν, υπάρχει ένα σημείο που ακολουθεί
ακριβώς αυτήν την πορεία στο μέλλον του...
Αν το καλοσκεφτείτε
είναι απίστευτο:
κάθε πιθανό μέλλον
είναι αληθές για τουλάχιστον έναν άνθρωπο...
(ε... εννοούσα τουλάχιστον ένα σημείο!)
Η πρόβλεψη είναι αδύνατη
επειδή όλα είναι δυνατά.
Η εκ νέου ανακάλυψη της ελεύθερης βούλησης!
Οτιδήποτε είναι δυνατόν,
να ένα ωραίο σύνθημα για το χάος.
Σας ευχαριστούμε, κ. Smale.
Ο Smale συνειδητοποιεί
ότι δεν πρέπει πάντα
να γνωρίζουμε τα πράγματα επακριβώς
για να τα κατανοήσουμε.
Μια παραμορφωμένη εικόνα συχνά αρκεί
για να αναγνωρίσουμε ένα πρόσωπο.
Μας δείχνει ότι το πέταλο είναι σταθερό.
Προσοχή,
αυτό δε σημαίνει
ότι και οι τροχιές είναι σταθερές:
οι τροχιές είναι πολύ ευαίσθητες
στις αρχικές συνθήκες.
Αναφερόμαστε σε δομική σταθερότητα.
Παραμορφώστε αυτήν την εικόνα και πάλι θα τον αναγνωρίσετε.
Κοιτάξτε:
στα δεξιά έχουμε το αρχικό πέταλο.
Στα αριστερά, ένα άλλο πέταλο,
ελαφρώς τροποποιημένο,
σχηματίζεται.
Άλλωστε, όταν τεντώνετε το τετράγωνο
μέχρι να γίνει ορθογώνιο
και μετά το διπλώνετε σε σχήμα πετάλου,
μπορείτε να το κάνετε με πολλούς τρόπους.
Αυτό είναι κάπως ανάλογο με το να εξετάζουμε
δύο ηλιακά συστήματα
όπου οι πλανήτες έχουν
ελαφρώς διαφορετικές μάζες.
Δύο σχεδόν πανομοιότυπα πέταλα.
Μπορούμε να κάνουμε ακριβώς
ό,τι κάναμε
και με το αρχικό πέταλο
και να σχεδιάσουμε περιοχές Α’ και Β’ με τον ίδιο τρόπο.
Και με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να δείξουμε
ότι οι τροχιές αυτού του νέου πετάλου
μπορούν πάλι να περιγραφούν με ακολουθίες από Α’ και Β’.
Το τροποποιημένο πέταλο
είναι εξίσου χαοτικό με το αρχικό!
Το χάος είναι εδώ για τα καλά,
ανίκητο.
Πράγματι, ο Smale δείχνει
ότι οι κινήσεις στα δύο πέταλα
είναι κατά κάποιον τρόπο «πανομοιότυπες».
Κοιτάξτε,
οι δύο τροχιές, δεξιά και αριστερά,
ακολουθούν την ίδια χορογραφία,
επισκέπτονται τα ίδια Α, Α’ και τα ίδια Β, Β’.
Μπορούμε να αντιστοιχήσουμε
κάθε τροχιά στο ένα πέταλο
με μία τροχιά στο άλλο, και αντιστρόφως.
Με αυτήν την έννοια εννοούμε
ότι είναι σταθερή η δομή:
μπορούμε να παραμορφώσουμε το πέταλο όπως θέλουμε
και αυτό, όχι μόνο παραμένει χαοτικό,
αλλά διατηρεί και τις δυναμικές του.
Μεμονωμένες οι τροχιές είναι ασταθείς
αλλά οι δυναμικές σαν σύνολο είναι σταθερές.
Στις αρχές του εικοστού αιώνα
ο Poincaré, με το χαρακτηριστικό ταλέντο του,
εξηγεί πώς είναι δυνατόν να κατανοήσουμε τη δυναμική
ακόμα κι αν δεν τη γνωρίζουμε πολύ καλά.
«Μου ζητάτε να προβλέψω
τα φαινόμενα που θα συμβούν.
Αν είχα την ατυχία να γνωρίζω
τους νόμους αυτών των φαινομένων,
θα μπορούσα να φτάσω εκεί
μόνο μετά από περίπλοκους υπολογισμούς,
και δεν θα μπορούσα να σας απαντήσω.
Αλλά, μιας και έχω την τύχη να τους αγνοώ,
θα σας απαντήσω αμέσως...
Και το πιο ωραίο είναι
ότι η απάντησή μου θα είναι σωστή.»
Η συνύπαρξη του χάους,
που συνεπάγεται την αστάθεια των μεμονωμένων τροχιών,
και της δομικής σταθερότητας, που είναι μια παγκόσμια ιδιότητα,
είναι αξιοσημείωτη.
Είμαι ασταθής,
αλλά ο κόσμος γύρω μου είναι σταθερός!
Καθησυχαστικό ;-)