CAOS, Capítulo 6. Smale en Copacabana
A principios de los sesenta,
el joven matemático estadounidense Steve Smale
estaba trabajando en la playa de Copacabana,
cuando hizo un descubrimiento.
Descubrió una herradura.
No en la arena, ¡por supuesto!
Su herradura es,
como debía ser,
un objeto matemático abstracto.
Es otra idea simple
que intenta reducir el caos
a su expresión más elemental.
Primero explicaremos una vieja idea
una vieja idea de Poincaré.
He aquí un campo vectorial en el espacio.
Una trayectoria que empieza en este disco
da una vuelta
y después vuelve al disco.
Después da otra vuelta
y así sucesivamente.
Para cada punto x en el disco,
podemos observar la trayectoria que empieza en este punto,
y esperar hasta que toque el disco,
otra vez,
en un nuevo punto, T(x).
Pocos segundos después,
este nuevo punto es transformado por T,
y obtenemos un tercer punto T(T(x)).
Y así sucesivamente.
En cada retorno, el punto es transformado por T.
En lugar de estudiar la trayectoria en el espacio,
estudiaremos una sucesión de puntos en el disco:
¡es mas fácil de dibujar!
Reemplazamos la dinámica del campo
en tiempo continuo
por la dinámica de la transformación T
en tiempo discreto: 0,1,2,3, etc..
Esto es, en ocasiones, mucho mas fácil de entender.
Aquí, la transformación T es una rotación
por un tercio de vuelta.
La trayectoria del centro
corresponde al punto fijo de la rotación: el origen.
Las otras trayectorias
son también periódicas,
pero les toma el triple de tiempo
regresar a su punto inicial:
la rotación es de un tercio de vuelta.
Aquí, la transformación T es una similitud.
Las trayectorias ya no son periódicas.
Por el contrario, se aproximan a la trayectoria central
mientras dan vueltas alrededor de ella.
La trayectoria periódica central es estable.
He aquí está una trayectoria inestable:
La transformación T aplasta al gatito
en una dirección
y lo estira en la otra.
El centro es un punto fijo.
Por lo tanto, su trayectoria es periódica.
Ves cómo las trayectorias localizadas
en el eje horizontal
se aproximan al punto fijo,
mientras que las que están en el eje vertical
se alejan de él.
¡Pobre gatito!
Ahora vamos a la herradura.
Observa cómo este cuadrado
se deforma en el transcurso el tiempo.
La transformación T asociada
combina una expansión y una contracción,
y además un doblez.
Cuando el cuadrado regresa
al disco original,
ha tomado la forma de una herradura.
Ahora observa
el comportamiento del cuadrado
cuando retrocedemos en el tiempo,
con la transformación inversa:
una expansión, una contracción y un doblez,
pero todo en la otra dirección.
Intentemos imaginar el futuro y el pasado del cuadrado.
Después de una vuelta, como hemos visto,
se vuelve una herradura.
Después de una vuelta en el otro sentido, hacia el pasado,
se vuelve una herradura,
girada un cuarto de vuelta.
Las dos pequeñas bandas verticales que ves,
en la intersección
del cuadrado y de la herradura,
son también comprimidas,
expandidas y dobladas.
El comportamiento en el pasado es el mismo.
Y toda esta estructura es repetida una y otra vez un número infinito de veces.
¡Una herradura complicada!
¿Cómo podemos entender su dinámica?
Llamemos a esta área A,
y a ésta, B.
Lo impresionante es que
obtenemos casi los mismos resultados
que las geodésicas de Hadamard y el billar.
Para cada sucesión finita de A's y B's,
aun cuando se permitan repeticiones,
como por ejemplo BABB,
existe un punto periódico
que seguirá exactamente este camino.
En el ejemplo, hay un punto de B
que brinca a A, que luego brinca a B
y después brinca a B de nuevo, y después brinca de regreso a su punto inicial.
Aquí está el único punto de A
que siempre permanece en A:
es un punto fijo.
Este punto fijo está en B.
Aquí está uno que se alterna entre A y B.
Pero, como en el billar,
esto no está limitado a sucesiones finitas.
Elige una sucesión infinita
BBAABBBAABABA...
Pues bien, existe un punto
que sigue exactamente esta ruta en su futuro.
Cuando piensas en esto,
es increíble:
cada futuro posible
es cierto para al menos una persona...
digo, ¡para al menos un punto!
Predecir se vuelve imposible
porque todo es posible.
¡El libre albedrío redescubierto!
Todo es posible.
¡Éste es un buen eslogan para el caos!
¡Gracias, Mr. Smale!
Smale se da cuenta
que no siempre es necesario
conocer las cosas con exactitud
para entenderlas.
Casi siempre, una fotografía distorsionada
es suficiente para reconocer un rostro.
Smale mostró que la herradura es estable.
¡Ojo!
Esto no significa
que las trayectorias sean estables.
Por el contrario, las trayectorias
tienen una gran sensibilidad a las condiciones iniciales.
A lo que nos referimos es a lo que se llama
la estabilidad estructural.
Distorsionemos la foto de Mr. Smale, y seguiremos reconociéndolo.
!Mira!
A la derecha tenemos la herradura original.
A la izquierda, otra herradura,
ligeramente modificada,
se está formando.
Después de todo, cuando estiramos el cuadrado
en un rectángulo
y después lo doblamos en forma de herradura,
lo podemos hacer de diferentes maneras.
Esto es algo análogo al estudio
de dos sistemas solares
donde los planetas tienen masas
ligeramente diferentes.
Dos herraduras casi idénticas.
Podemos hacer
exactamente lo mismo que hicimos
con la herradura original
y dibujar áreas A prima y B prima de la misma manera.
Se podría demostrar, del mismo modo,
que las trayectorias de esta nueva herradura
son también descritas por sucesiones de A primas y B primas.
¡La herradura modificada
es igual de caótica que la original!
El caos está realmente ahí,
presente, indestructible.
De hecho, Smale mostró
que los movimientos de las dos herraduras
son, de alguna manera, idénticos.
Mira,
las dos trayectorias, a derecha e izquierda,
siguen la misma coreografía.
pasan del mismo A, A’ al mismo B, B’.
Podemos relacionar una trayectoria de la segunda herradura
con cualquier trayectoria de la primera
y vice versa.
Es en este sentido
que la estructura es estable:
Podemos deformar la herradura.
No solo seguirá siendo caótica;
además, tendrá la misma dinámica que antes.
Las trayectorias individuales son inestables,
pero la dinámica, en conjunto, es estable.
A inicios del siglo veinte,
Poincaré, con su estilo característico,
explicó como es posible entender una dinámica
aún cuando no se la conozca muy bien.
«Me piden predecir
los fenómenos que ocurrirán.
Si tuviera la desgracia de saber
las leyes de estos fenómenos,
solo podría lograrlo
mediante cálculos muy complicados
y debería renunciar a responderles;
pero como tengo la suerte de ignorarlas,
puedo contestarles inmediatamente.
Y, lo que es aún más sorprendente,
es que mi respuesta sería correcta.»
La coexistencia del caos,
y por lo tanto, la inestabilidad de trayectorias individuales,
y una estabilidad estructural, una propiedad global,
es absolutamente notable.
Soy inestable,
pero... ¡el mundo a mi alrededor es estable!
¡Menos mal!