CHAOS6- Smale in Copacabana
Am Anfang der 1960er Jahre
arbeitet der junge amerikanische Mathematiker
Steve Smale am Strand in Copacabana,
als er etwas entdeckt.
Er findet ein Hufeisen.
Natürlich nicht im Sand !
Tatsächlich ist sein Hufeisen,
wie es sich gehört,
ein abstraktes mathematisches Objekt.
Das ist noch eine einfache Idee,
die das Choas auf einen
elementareren Ausdruck reduzieren will.
Wir müssen erst eine alte Idee erklären,
die auf Poincaré zurück geht.
Hier ist ein Vektorfeld im Raum.
Eine Laufbahn von dieser Scheibe
macht eine Runde
und kommt dann zurück,
macht dann eine andere Runde
und so weiter.
Für jeden Punkt x der Scheibe
können wir die dort ausgehende Laufbahn betrachten
und warten, bis sie
die Scheibe wieder durchstößt
an einem anderen Punkt T(x).
Einige Sekunden später wird
dieser neue Punkt wieder mit T transformiert:
Das ist ein dritter Punkt T(T(x))
und so weiter.
Nach jeder Runde wird der Punkt mit T transformiert.
Um seine Bahn im Raum zu untersuchen,
untersuchen wir eine Punktfolge in der Scheibe:
Das ist einfacher zu malen.
Wir haben so zu sagen die Dynamik
des Feldes mit kontinuierlicher Zeit ersetzt
durch die Dynamik der Transformation
in diskreter Zeit : 0, 1, 2, 3, usw.
Oft ist dies einfacher zu verstehen.
Hier ist die Transformation T
eine Dritteldrehung.
Die zentrale Bahn entspricht
dem Fixpunkt der Drehnung: dem Ursprung.
Die anderen Bahnen
sind auch periodisch,
aber sie brauchen dreimal so viel Zeit,
um zum Startpunkt zurück zu kehren :
die Drehung dreht um eine Drittelrunde.
Hier ist die Transformation T eine Ähnlichkeit.
Die Bahnen sind nicht mehr periodisch,
im Gegenteil, sie nähern sich
spiralförmig an den Lauf der zentralen Bahn.
Die periodische zentrale Bahn ist stabil.
Und hier ist eine instabile Bahn.
Die Transformation T drückt die kleine Katze
in der Breite
und dehnt sie in ihrer Höhe.
Der Mittelpunkt ist ein Fixpunkt
und seine Bahn ist daher periodisch.
Sie sehen, dass sich die Bahnen
auf der waagerechten Achse
dem Fixpunkt annähern,
während diejenigen auf der senkrechten Achse sich
von ihm entfernen.
Arme kleine Katze !
Lasst uns nun zum Hufeisen kommen.
Sehen Sie, wie sich dieses Quadrat
mit der Zeit verformt.
Die Transformation T besteht aus
einer Scherung, einer Stauchung und
aus einer Zusammenfaltung.
Wenn das Quadrat zurück
zur Anfangsscheibe gekommen ist,
hat es die Form eines Hufeisens angenommen.
Beobachten wir jetzt
den Verlauf des Quadrats
bei Zeitumkehr,
durch die inverse Transformation :
eine Scherung, eine Stauchung, eine Zusammenfaltung,
aber alles anders herum.
Untersuchen wir nun die Zukunft und Vergangenheit des Quadrats.
Nach einer Runde wird es
wie schon gesehen ein Hufeisen.
Nach einer Runde rückwärts, in die Vergangenheit,
wird es ein Hufeisen,
mit einer Vierteldrehung.
Die zwei kleinen senkrechten Streifen,
die Sie im Durchschnitt
des Quadrats und des Hufeisens sehen,
werden auf ihrer Runde geschert,
gestaucht und zusammen gefaltet.
Wir haben das gleiche Verhalten in der Vergangenheit.
Und diese ganze Struktur wiederholt sich ins Unendliche.
Etwas kompliziert, dieses Hufeisen !
Wie sollen wir seine Dynamik verstehen ?
Nennen wir diese Zone A
und diese hier B.
Die Überraschung ist dann, dass
wir fast die gleichen Ergebnisse haben
Wie Hadamard mit seinen Geodätischen und Billard.
Für jede endliche Folge aus Buchstaben A und B,
wie die Durchläufe erfolgen,
wie zum Beispiel BABB,
gibt es einen periodischen Punkt,
der genau diesem Verlauf folgt.
In unserem Beispiel ist es ein Punkt aus B,
der nach A springt, nach B springt,
nach B springt und an seinen Ausgangspunkt zurück kommt.
Hier ist der einzige Punkt von A,
der immer in A bleibt:
es ist ein Fixpunkt.
Dieser Fixpunkt ist in B.
Hier ist der zwischen A und B abwechselnde.
Aber genau wie beim Billard
haben wir nicht nur endliche Folgen.
Geben Sie mir eine unendliche Folge Ihrer Wahl,
BBAABBBAABABA...
und dann gibt es einen Punkt,
der dieser Route in seiner Zukunft folgt.
Wenn wir daran denken,
ist es unglaublich !
Alle vorhersehbaren zukünftigen Lebensweisen werden
durch mindestens einen Menschen ausgeführt,
oops... ich meinte durch einen Punkt !
Wir können nichts vorhersagen,
weil alles möglich ist.
Wieder die Willensfreiheit !
Alles ist möglich...
Hier ein guter Spruch für das Chaos.
Danke Herr Smale.
Smale wird bewusst,
dass es nicht immer nötig ist,
die Dinge genau zu kennen,
um sie zu verstehen.
Also reicht ein verschwommenes Bild,
um ein Gesicht wieder zu erkennen.
Es zeigt die Stabilität des Hufeisens.
Achtung !
Das heißt nicht,
dass die Bahnen stabil sind.
Im Gegenteil, die Bahnen hängen sehr empfindlich
von den Anfangsbedingungen ab.
Es handelt sich viel mehr um
strukturelle Stabilität.
Verformen Sie es... Sie werden es noch erkennen.
Sehen Sie !
Rechts das ursprüngliche Hufeisen.
Links ein anderes Hufeisen,
leicht abgewandelt,
es bildet sich gerade.
Wenn wir nach alledem das Quadrat verlängern,
um ein Rechteck zu machen,
um es dann umzufalten zu einem Hufeisen,
können wir es auf unterschiedliche Weisen machen.
Es ähnelt ein bisschen einer Situation,
in der wir zwei Sonnensysteme studieren würden,
in denen die Planeten etwas
verschiedene Massen hätten.
Zwei fast identische Hufeisen.
Wir können genau das gleiche machen,
was wir mit dem ursprünglichen
Hufeisen gemacht haben,
und die Zonen A' und B' genauso zeichnen.
Und man kann genauso zeigen, dass die Bahnen
dieses neuen Hufeisens immer noch durch
Folgen aus A' und B' beschrieben werden.
Daher ist das neue Hufeisen
genau so chaotisch wie das ursprüngliche.
Das Chaos herrscht
und ist unweigerlich verhanden.
Tatsächlich zeigt Smale, dass
die Bewegungen beider Hufeisen
gewissermaßen identisch sind.
Schauen Sie,
diese beiden Bahnen, rechts und links,
folgen der gleichen Choreographie.
Sie besuchen die gleichen AA' und die gleichen BB'.
Zu jeder Bahn des ersten Eisens
können wir eine des zweiten Eisens
zuordnen und umgekehrt.
Genau das bedeutet Existenz
der Stabilität der Struktur :
Wir können das Hufeisen ruhig verformen,
es bleibt nicht nur chaotisch,
sondern es zeigt die gleiche Dynamik wie vorher.
Die individuellen Bahnen sind verschieden,
aber die Dynamik ist als Ganzes stabil.
Mit seinem Sinn für die Form
erklärt Poincaré am Anfang des 20. Jahrhunderts,
wie wir eine Dynamik verstehen können,
obwohl wir sie nicht gut verstehen.
«Sie fragen mich nach einer Vorhersage
der sich ergebenden Phänomene.
Wenn ich durch Unglück die Gesetze
der Phänomene kennen würde,
könnte ich es nur durch
umständliche Rechnungen herleiten
und ich könnte Ihnen nicht antworten ;
da ich sie aber vernachlässigen kann,
kann ich Ihnen sofort antworten.
Und die Besonderheit ist,
dass meine Antwort richtig ist.»
Das Nebeneinander des Chaos
und damit der Instabilität der individuellen Bahnen
mit der strukturellen Stabilität, einer globalen Eigenschaft,
ist tatsächlich sehr bemerkenswert.
Ich bin unstabil,
aber die Welt um mich herum ist stabil.
Beruhigend ;-).