ক্যাওস -৬ কোপাকাবানায় স্মেল
১৯৬০-এর দশকের গোড়ার দিকে
নবীন আমেরিকান গনিতজ্ঞ স্টিভ স্মেল
কোপাকাবানা সমুদ্রসৈকত নিয়ে কাজ করার সময়
আবিষ্কার করেন...
এক ‘হর্সশু’!
…অবশ্যই তীরের বালিতে নয়!
বস্তুত ‘হর্সশু’ হল
এক বিমূর্ত গাণিতিক বস্তু!
'ক্যাওস' ব্যাপারটাকে
সবচেয়ে সহজ করে বুঝিয়ে বলতে
এটা এক অন্যতম সরল ধারণা।
গোড়ায় আমরা বহুদিন আগে পোয়াঁকাহ্রে-র
বলে যাওয়া এক ধারণাকে বুঝিয়ে বলবো।
এটা ত্রিমাত্রিক দেশে এক ভেক্টর ফিল্ড।
এই চাকতি থেকে শুরু হওয়া যেকোনো ট্রাজেক্টোরি
পুরো একপাক ঘুরে এসে
আবার এই চাকতিতেই প্রবেশ করে,
তারপর আবার একপাক ঘুরে আসে, ইত্যাদি।
চাকতির ওপর প্রতিটা বিন্দু x-এর জন্যে
ওই বিন্দুতে শুরু হওয়া ট্রাজেক্টোরিটা লক্ষ্য করুন।
খেয়াল করে দেখুন, কিছুক্ষণ পরে
এটা ঘুরে এসে আবার চাকতিতে প্রবেশ করছে,
তবে, তা নতুন বিন্দু T(x)-এ।
কয়েক সেকেন্ড পরেই,
এই নতুন বিন্দুটা আবার T-এর দ্বারা রূপান্তরিত হবে,
এবং আমরা তৃতীয় বিন্দু T(T(x)) পাব,
... আর এভবেই চলবে,
প্রত্যেক ধাপে বিন্দুটা আবার T-এর দ্বারা রূপান্তরিত হবে।
ত্রিমাত্রিক দেশে ট্রাজেক্টোরিদের লক্ষ্য করার বদলে,
আমরা চাকতির ওপরে পাওয়া বিন্দুদের অনুক্রমকে লক্ষ্য করবো -
এটা দেখা অনেক সোজা !
একটানা সময়ের সাপেক্ষে ঘটা
এই ফিল্ডের ডায়নামিক্সকে আমরা
T-রূপান্তরের ডায়নামিক্স দিয়ে বদলে দেবো,
যা গণনা করা হবে বিচ্ছিন্ন সময় - ০,১,২,৩, ইত্যাদিতে...
অনেক সময়-ই এভাবে বোঝা বেশী সহজ।
এখানে T–রূপান্তরটা হল পুরো এক পাক-এর
এক-তৃতীয়াংশ ঘূর্ণন।
এর কেন্দ্রীয় ট্রাজেক্টোরিটা ঘূর্ণন-এর স্থির বিন্দুর সাথে সম্পর্কিত,
যা এখানে মূলবিন্দু ।
এখানে অন্য ট্রাজেক্টোরিগুলো-ও
পর্যাবৃত্ত।
তবে শুরুর-অবস্থানে ফিরতে
তাদের তিনগুন সময় লাগে-
ঘূর্ণনটা এখানে পুরো এক পাক-এর এক তৃতীয়াংশ ।
এখানে T রূপান্তরটা একটা ‘সদৃশতা’।
ট্রাজেক্টোরিগুলো-ও আর পর্যাবৃত্ত নয় -
উল্টে, কেন্দ্রীয় ট্রাজেক্টোরির চারপাশে পাক খেতে খেতে
তারা ক্রমশ কেন্দ্রীয় ট্রাজেক্টোরির দিকেই এগিয়ে চলতে থাকে।
এখানে কেন্দ্রীয় পর্যাবৃত্ত ট্রাজেক্টোরিটা স্থিতিশীল।
স্থিতিশীল নয় এমন একটা ট্রাজেক্টোরি:
এখানে T রূপান্তরটা
বেড়ালছানাকে দুপাশ থেকে পিষে ফেলছে,
আর সেই সঙ্গে লম্বালম্বিভাবে টেনে বড়ো করছে।
এখানে কেন্দ্রটা স্থির বিন্দু,
তাই এর ট্রাজেক্টোরি পর্যাবৃত্ত।
লক্ষ্য করুন, আনুভূমিক অক্ষ বরাবর থাকা
ট্রাজেক্টোরিগুলো ক্রমশ
স্থির বিন্দুর দিকে এগিয়ে চলেছে,
ওদিকে উল্লম্ব অক্ষ বরাবর ট্রাজেক্টোরিগুলো
ক্রমশ ওই বিন্দু থেকে দূরে সরে যাচ্ছে।
বেচারা ছোট্ট বেড়ালছানা!
এবার ‘হর্সশু’-র কথায় আসা যাক ...
লক্ষ্য করুন কীভাবে সময়ের সাথে
এই বর্গাকার ক্ষেত্রের চেহারা বদলে যাচ্ছে।
এখানে রূপান্তর T একসাথে একটা 'স্কেলিং' ও
একটা 'সংকোচন'-ই শুধু নয়,
একটা 'ফোল্ডিং'–ও বটে।
বর্গাকার ক্ষেত্রটা যখন
মূল চাকতির ওপর ফিরে আসছে
সেটা একটা 'হর্সশু'-র চেহারা নিচ্ছে।
এবার লক্ষ্য করুন,
বিপরীত রূপান্তর-এর সাহায্যে
আমরা যদি পিছন দিকে যাত্রা করি,
তাহলে বর্গাকার ক্ষেত্রটা কী চেহারা নেয়।
একটা 'স্কেলিং', একটা 'সংকোচন' এবং একটা 'ফোল্ডিং',
তবে সবই উলটো মুখে।
আসুন, বর্গাকার ক্ষেত্রের ভবিষ্যত এবং অতীতকে কল্পনা করার চেষ্টা করি।
একপাক ঘোরার প‌রে, আমরা আগেই দেখেছি যে,
এটা একটা 'হর্সশু'-র আকার নেয়।
আবার, উলটো মুখে একপাক ঘোরার প‌রেও,
এটা একটা 'হর্সশু'-র আকার নেয়,
তবে তা এক-চতুর্থাংশ ঘোরানো।
বর্গাকার ক্ষেত্র এবং 'হর্সশু'-র সংযোগস্থলে,
যে ছোট্ট উল্লম্ব টুকরো দুটো দেখছেন
সেগুলোর মধ্যেও কিন্তু 'সংকোচন',
'স্কেলিং' ও 'ফোল্ডিং'-এর
প্রভাব-ই রয়েছে।
উলটো মুখে ঘোরার ক্ষেত্রেও ব্যাপারটা একইরকম।
এবং এই গোটা ব্যাপারটাই ঘটছে 'অসীম-সংখ্যক' বার।
খুবই জটিল 'হর্সশু'!
আমরা কীভাবে এর গতিতন্ত্রকে বুঝতে পারি?
এই ক্ষেত্রটার নাম দেওয়া যাক A,
আর এটার B ।
অদ্ভুত ব্যাপার হল,
এখানকার ফলাফলগুলোও প্রায় বিলিয়ার্ডস্ বলের মতন
অথবা আদামাহ্‌-র জিওডেসিক-এর মতনই হয়।
A এবং B-এর যেকোনো সসীম অনুক্রমে,
এমনকি তা পুনরাবৃত্ত হলেও,
যেমন ধরুন BABB,
এমন একটা পর্যাবৃত্ত বিন্দু থাকবে
যেটা ঠিক ওই পথ মেনেই চলবে।
যেমন এই উদাহরণে, B-এর বিন্দুটা লাফিয়ে পড়ছে A-র ওপর,
তারপর আবার B-তে, সেখান থেকে আবারও B-তে,
এবং তারপর লাফিয়ে পড়ছে শুরুর বিন্দুতে।
এটা হল A-র একমাত্র বিন্দু
যা সবসময় A-তেই ফিরে আসে-
এটা একটা 'স্থির বিন্দু'।
এই 'স্থির বিন্দু'টা রয়েছে B-তে।
এটা আবার A আর B-এর মধ্যে পালা করে বদলাবদলি করে।
তবে বিলিয়ার্ডস্-এর মতনই, এখানেও তা
সসীম অনুক্রমে সীমিত থাকেনা।
আপনার পছন্দ মতন একটা অসীম অনুক্রম বলুন-
BBAABBBAABABA ইত্যাদি... ইত্যাদি...
লক্ষ্য করুন, ভবিষ্যতে ঠিক এই পথেই চলবে
এমন একটা বিন্দু রয়েছে...
যদি ভাবতে বসেন,
সত্যিই অসাধারণ ব্যাপার-
সম্ভাব্য সবরকম ভবিষ্যত-ই
অন্তত একজন-না-একজন মানুষের জন্য সত্যি...
(উপ্‌স্..., মানে অন্তত একটা-না-একটা বিন্দুর জন্য সত্যি!)
ভবিষ্যতবাণী অসম্ভব,
কারণ সবকিছুই সম্ভব।
স্বাধীন ইচ্ছাশক্তির পুনর্জন্ম হল।
সবকিছুই সম্ভব-
এটা 'ক্যাওস'-এর জন্য খুব উপযোগী স্লোগান!
ধন্যবাদ মিঃ স্মেল।
স্মেল বুঝতে পারলেন,
কোনো বিষয়কে বুঝতে গেলে
সবসময় এমনটা নয় যে,
সেটার সম্বন্ধে নিখুঁত তথ্যই জানতে হবে।
মুখের ছবি দেখে কাউকে চিনতে গেলে,
অনেকসময় বিকৃত ছবিই যথেষ্ট।
তিনি দেখালেন যে 'হর্সশু' স্থিতিশীল।
খেয়াল করুন,
এর মানে কিন্তু এই নয় যে
ট্রাজেক্টোরিগুলো স্থিতিশীল-
উল্টে বরং ট্রাজেক্টোরিগুলো
প্রারম্ভিক শর্তের ওপর অতি সংবেদনশীল।
আমরা বলতে চাইছি কাঠামোগত স্থিতিশীলতার কথা।
মিঃ স্মেল-এর ছবিটা বিকৃত করুন, তাহলেও দিব্যি চেনা যাচ্ছে।
ডানদিকে আমরা দেখছি মূল 'হর্সশু'-টা,
বাঁদিকে সামান্য অন্যরকম
আরেকটা 'হর্সশু'
গড়ে উঠছে।
আসলে একটা বর্গক্ষেত্রকে টেনে
আয়তক্ষেত্র বানালে
এবং তারপর তাকে ভাঁজ করে 'হর্সশু'-র চেহারা দিতে হলে,
তা অনেক ভাবেই করা যায়।
এটা অনেকটা সেই অবস্থার মতন
যেখানে আমরা এমন দুটো সৌরজগৎ নিয়ে ভাবছি,
যার গ্রহগুলোর
ভরে সামান্য তফাৎ রয়েছে।
দুটো প্রায় অবিকল একই 'হর্সশু'।
মূল 'হর্সশু' দুটো নিয়ে
আগে যা করেছিলাম,
এবারও তাই করতে পারি।
অর্থাৎ একইভাবে A এবং B ক্ষেত্রদুটো নিতে পারি।
এবং এটাও একইভাবে দেখানো যায় যে
নতুন 'হর্সশু'-র ট্রাজেক্টোরিগুলোও
আগের মতনই A এবং B-এর অনুক্রম দিয়ে বোঝানো যাচ্ছে।
পরিবর্তিত 'হর্সশু'-টাও
আগেরটার মতনই 'ক্যাওটিক'!
এখানে 'ক্যাওস'-এর অস্তিত্ত্ব
অবিনশ্বর।
বস্তুত স্মেল দেখালেন যে
উভয় 'হর্সশু'-র ওপর গতিবিধি
এক অর্থে "অবিকল একই"।
লক্ষ্য করুন,
ডান আর বাঁ-দিকের ট্রাজেক্টোরি দুটো
একই ছন্দ মেনে চলে,
একই ক্রম অনুসারে A, A অথবা B, B-তে ফিরে ফিরে আসে।
দ্বিতীয় 'হর্সশু'-র যেকোন ট্রাজেক্টোরির সাথে
প্রথমটার কোনো একটাকে সবসময়-ই মেলানো যাবে
এবং তা বিপরীতপক্ষেও সত্যি।
এই অর্থেই বলা হয় যে
এই কাঠামোটা স্থিতিশীল-
আমরা যেমনভাবে খুশী 'হর্সশু'-র আকারকে বাঁকাতে পারি,
এটা যে শুধু ক্যাওটিক-ই থেকে যাবে তা নয়,
এমনকি এর গতিতন্ত্রেরও কোনো পরিবর্তন হবে না।
বিচ্ছিন্নভাবে দেখলে, ট্রাজেক্টোরিগুলো স্থিতিশীল নয়,
কিন্তু সামগ্রিকভাবে গতিতন্ত্রটা স্থিতিশীল।
বিশ শতকের গোড়ার দিকে,
পোঁয়াকাহ্রে, তাঁর একান্ত নিজস্ব ঢঙে
ব্যাখ্যা দিয়েছিলেন, কীভাবে খুব ভালো করে না বুঝেও
কোনো গতিতন্ত্রের ব্যাখ্যা দেওয়া যেতে পারে।
"মনে করুন, কেউ আমাকে
ভবিষ্যতের কোনো 'ঘটনা'র পূর্বানুমান করতে বললেন।
আমার যদি দুর্ভাগ্যজনকভাবে
ওই 'ঘটনা'-র নিয়ন্ত্রক সূত্রগুলো জানা থাকে,
তাহলে আমি সেখানে পৌঁছতে চেষ্টা চালাবো
এক অকথ্যরকম গণনার মাধ্যমে-
এবং আমি কখনোই আপনার প্রশ্নের উত্তর দিয়ে উঠতে পারবো না ;
কিন্তু যদি ভাগ্যগুণে সেটা আমার অজানা থাকে,
তাহলে আমি তক্ষুনি উত্তর দিয়ে দেবো...
আর আশ্চর্যের বিষয় হল যে,
আমার উত্তরটা ঠিক হবে।"
'ক্যাওস'-এর সুবাদে,
বিচ্ছিন্নভাবে একেকটা ট্রাজেক্টোরির স্থিতিশীল না হওয়া,
এবং সেইসঙ্গে সমগ্র সিস্টেমের কাঠামোগত স্থিতিশীলতা-
এটা সত্যিই এক অসামান্য ব্যাপার।
আমি স্থিতিশীল নই,
কিন্তু আমার চারপাশের জগৎ স্থিতিশীল!
ব্যাপারটা মন্দ নয়!