الفوضى 6 – سمَيل في كوﭘﺎكابانا
في مطلع سنوات 1960
كان الرياضياتي الأميركي الشاب ستيف سمَيل
يعمل على شاطئ كوﭘﺎكابانا
عندما قام باكتشاف.
اكتشف حدوة حصان.
ليس في التراب بالطبع!
في الواقع، حدوة الحصان هذه،
هي تماما
شيء رياضياتي مجرد.
هذه فكرة بسيطة أخرى
تصبو إلى أن تختصر الفوضى
إلى عبارتها البسيطة جدا.
أولا يجب تفسير فكرة قديمة
تعود إلى ﭘﻮانكاري.
ها هو حقل أشعة في الفضاء.
كل مسار ينطلق من هذا القرص
يقوم بدورة كاملة
ثم يعود إلى القرص،
ثم يقوم بدورة أخرى،
وهكذا.
من القرص x من أجل كل نقطة
يمكن أن نشاهد المسار الذي ينطلق منها،
وننتظر إلى أن يأتي ليلتقي
بالقرص من جديد،
.T(x)في نقطة أخرى
بعد ثوان قليلة،
ستتحول هذه النقطة الجديدة بـ T
T(T(x))إلى نقطة ثالثة
وهكذا.
في كل عودة تتحول النقطة بـ T.
بدلا من أن ندرس المسار في الفضاء،
ندرس متتالية من النقط في القرص:
هذا أسهل كثيرا للرسم.
نقول إننا عوضنا
ديناميكية الحقل في الزمن المستمر
بديناميكية التحويل
في الزمن المتقطع : 0، 1، 2، 3، الخ.
في كثير من الأحيان يكون هذا أيسر للفهم.
دوران T هنا، التحويل
بثلث دورة.
المسار المركزي يتعلق
بالنقطة الثابتة للدوران: المبدأ.
المسارات الأخرى
أيضا دورية
لكنها تستغرق ثلاثة أضعاف الزمن
لكي تعود إلى نقطة الانطلاق:
يدور الدوران ثلث دورة.
تشابه. Tهنا التحويل
لم تعد المسارات دورية
بالعكس، هي تقترب
حلزونيا من المسار المركزي.
المسار الدوري المركزي مستقر.
وها هو مسار غير مستقر.
القطة الصغيرة T يسحق التحويل
على طول عرضها
ويمددها على طول ارتفاعها.
المركز نقطة ثابتة
وبالتالي فمساره دوري.
أنتم ترون أن المسارات الواقعة
على المحور الأفقي
تقترب من النقطة الثابتة
بينما تلك الواقعة على المحور العمودي
تبتعد عن هذه النقطة.
يالها من قطة مسكينة!
لننتقل إلى حدوة الحصان.
شاهدوا كيف يتشوه
هذا المربع بمرور الزمن.
T يضم التحويل
تمددا، تقلصا،
لكن أيضا انثناء.
عندما عاد المربع
فوق القرص الأول،
أخذ شكل حدوة حصان.
شاهدوا الآن
سلوك المربع
عندما نعود في الزمن
بالتحويل العكسي:
تمدد، تقلص، انثناء،
لكن كل ذلك في الاتجاه الآخر.
لنحاول التأمل في مستقبل المربع وماضيه.
بعد دورة، مثلما سبق أن رأينا،
يصير حدوة حصان.
بعد دورة في الاتجاه العكسي
يصير حدوة حصان
تعرضت إلى ربع دورة.
هذان الشريطان الصغيران العموديان
اللذان تشاهدونهما على تقاطع
المربع وحدوة الحصان
يخضعان بدورهما لتقلص،
لتمدد ولانثناء.
لدينا نفس التصرف في الماضي.
وكل هذه البنية تتكرر إلى ما لا نهاية.
حدوة الحصان هذه معقدة نوعا ما!
كيف نفهم ديناميكيتها؟
هذه المنطقة A لنسمّ
هذه الأخرى. B و
الشيء الذي يدعو إلى الدهشة
هو الحصول على نفس النتائج تقريبا
كهادامار مع جيوديزياته والبليار.
Bمن أجل كل متتالية منتهية من A و
حتى وإن سمحنا بتكرارات
على سبيل المثال، كـ BBAB
توجد نقطة دورية
تسلك هذا الطريق بالذات.
B في المثال، هي نقطة من
والتي تقفز في A ثم تقفز في B
ثم تقفز في B من جديد ثم تعود إلى نقطة الانطلاق.
A هاهي النقطة الوحيدة من
: A والتي تبقى دائما في
هي نقطة ثابتة.
هذه النقطة الثابتة هي في B.
هذه هي النقطة التي تتناوب بين A وB.
لكن مثلما كان في البليار،
فلن نكتفي بالمتتاليات المنتهية.
هاتوا متتالية غير منتهية من اختياركم،
BBAABBBAABABA...
حسنا، توجد نقطة
تسلك هذا الطريق في المستقبل.
عندما نفكر في ذلك،
شيء لا يصدق!
كل حياة مستقبلية يمكن تخيلها،
سيحياها كائن بشري واحد على الأقل،
عفوا، أقصد تحياها نقطة!
لا يوجد توقع ممكن،
بما أن كل شيء ممكن.
حرية الإرادة استُردت!
كل شيء ممكن ...
ها هو شعار جميل للفوضى!
السيد سمَيل، شكرا.
فهم سمَيل
أنه ليس من الضروري
أن نعرف الأشياء بدقة
لكي نفهمها.
صورة مشوهة تكفي أحيانا
للتعرف على محيا.
إنه يبرهن أن حدوة الحصان مستقرة.
لكن حذار!
لا يعني ذلك
أن المسارات مستقرة.
بالعكس، توجد حساسية كبيرة
للمسارات بالنسبة إلى الشروط الأولية.
المقصود هنا هو ما يدعى
الاستقرار البنيوي.
شوهوه ... ستتعرفون عليه من جديد.
شاهدوا!
عن اليمين، حدوة الحصان الأولية.
عن اليسار، حدوة حصان أخرى
مشوهة قليلا
في طور التشكيل.
في نهاية المطاف، عندما نمدد المربع
لنجعل منه مستطيلا
ثم نثنيه على شكل حدوة حصان،
فإننا نستطيع أن نفعل ذلك بطرق شتى.
يشبه ذلك تقريبا ما يحدث
في دراسة نظامين شمسيين
لكواكبهما كتل
مختلفة قليلا.
حدوتا حصان متطابقتان تقريبا.
نستطيع أن نقوم تماما
بمثل ما فعلناه
مع حدوة الحصان الأولى،
بنفس الطريقة.B'و A'وأن نرسم المنطقتين
وبنفس الطريقة، نستطيع أن نبين
أن مسارات هذه الحدوة الجديدة
.B'و A'مرسومة بمتتاليات من
الحدوة المشوهة هي إذن
فوضوية تماما كالحدوة الأصلية.
الفوضى حاضرة،
وحاضرة بالفعل وهي غير قابلة للزوال.
في الواقع، سمَيل بيّن
أن حركات الحدوتين
متطابقة نوعا ما.
لاحظوا،
هذان المساران، عن اليمين، وعن اليسار
يتبعان نفس الكوريوغرافيا.
.BB'ونفس الـ AA'إنهما تزوران نفس الـ
بكل مسار من الحدوة الأولى،
نستطيع أن نرفق مسارا
من الحدوة الثانية، والعكس بالعكس.
في هذا المعنى
يأتي وجود استقرار في البنية:
كم قمنا بتشويه حدوة الحصان
لكنها لا تظل فوضوية وحسب،
بل إنها تحتفظ بنفس الديناميكية كما في السابق.
المسارات المنفردة ليست مستقرة
لكن الديناميكية، في مجملها، مستقرة.
في مطلع القرن العشرين
يشرح ﭘﻮانكاري، بموهبته المتميزة،
كيف أنه من الممكن فهم ديناميكية ما
حتى ولو لم نكُ نعرفها بصورة جيدة.
"تطلبون مني أن أتوقع
الظواهر التي ستقع.
إذا كنت من سوء الحظ، أعرف
قوانين هذه الظواهر
فلن أستطيع بلوغ ذلك
إلا من خلال حسابات عسيرة
وإذ ذاك سأكون مضطرا إلى التخلي عن إجابتكم؛
وبما أنني محظوظ بجهلها
فسأعطيكم الجواب فورا.
والأروع في كل هذا
هو أن جوابي سيكون صحيحا."
تعايش الفوضى،
وبالتالي تعايش عدم استقرار المسارات الفردية،
مع الاستقرار البنيوي،وهي خاصية عامة،
هو شيء رائع فعلا.
أنا غير مستقر
لكن العالم من حولي مستقر.
شيء مطمئن؛-).